黎曼Zeta函数可视化

困扰人类159年的最重要数学猜想被证明了?

刚刚公布的德国海德堡获奖者论坛日程中,9月24日著名数学家 Michael Atiyah 将会做一场关于“证明黎曼猜想”的报告。消息传出,数学物理计算机各路豪杰,纷纷炸了锅。

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海德堡获奖者论坛官网的日程显示,该报告是在9月24日上午

网址:https://www.heidelberg-laureate-forum.org/event_2018/

瑞典籍澳大利亚数学家Steve McCormick在社交网络上发布了这一消息,引起大量关注,小编在论坛官网证实的确有这样一个日程。(论坛官网一直到今天下午才能访问,可能是全球数学爱好者听说消息纷纷赶来围观,服务器都被拖垮了)

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翻译一下摘要:“黎曼猜想是1859年提出的著名问题,至今悬而未决。我会基于冯诺依曼(1936)、希策布鲁克(1954)和狄拉克(1928)的相关工作,给出一个使用全新方法的简洁证明。”

德国海德堡获奖者论坛(Heidelberg Laureate Forum)是一个由国际顶级奖项(图灵奖、阿贝尔奖、林奈奖、菲尔兹奖)得主与青年学者交流的研讨会,自2013年开始举办,顶尖学者每年齐聚一堂,相关讨论在数学届甚至整个科学界都受到广泛关注。在这样一个大场合,倒配得上公布黎曼猜想得证的消息。

黎曼猜想——最重要的数学猜想

早在1737年,大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系,给出并证明了欧拉乘积公式,使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。

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欧拉乘积公式,其中p为质数,n为自然数

黎曼猜想(Riemann Hypothesis)由大数学家黎曼在1859年首次提出,讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。

黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一,被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题,悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生,你会做什么?”,他的回答是,“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人。

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伯恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann,1826-1866)

集智俱乐部在今年5月,曾经报道过研究者用晶体衍射实验研究质数分布问题的最新进展。质数分布间隔的规模至今是未解之谜,而研究者发现,如果用质数序列作为准晶体微粒的分布间隔,就可以在其光学衍射结果中发现出分形结构。这为解开质数之谜提供了新的灵感,但仍然不能直接证明黎曼猜想。

质数分布、分形几何、晶体衍射——竟然被一个小实验联系到一起

如何用 Mathematica 窥探质数分布中隐藏的分形规律

Michael Atiyah爵士是何许人也,竟然有这样的野心?

数学最高奖获得者,Michael Atiyah爵士

Michael Atiyah(1924-)是当代著名数学家,主要研究领是几何,他于1966年获得4年颁发一次的数学界最高奖菲尔兹奖,而且在1990-1995年担任英国皇家学会主席。

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Michael Atiyah(1924-)

Atiyah最重要的工作都是在上世纪六七十年代完成的。但作为一位年届九旬的科学家,他仍然活跃在学术前沿,并时常有惊人之举,2016年他因为给出一个“6维球面上不存在复结构(原文)”的证明被质疑而颇具争议。

而黎曼猜想本身的确非常难,所以在Michael Atiyah 证明黎曼猜想的消息公开之后,社交媒体上多数人仍在观望,毕竟太多人都曾声称自己证明了黎曼猜想但之后却被推翻,连大数学家哈代也犯过这种错误。

难以证明又无法推翻的黎曼猜想

回到黎曼猜想上。黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子:

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黎曼Zeta函数有两种零点,一种是位于实数轴线上的零点,被称为平凡零点,另一种是位于其他复平面区域上的零点,被称为非平凡零点,目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内,而黎曼则大胆猜想,这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。

“所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想,但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上,无一例外。

视频《什么是黎曼猜想》

不止如此,黎曼猜想还跟幂律分布有关

我们都知道幂律分布是指

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其中x如果只能取1,2,3,...,n的整数,c为归一化常数,满足:

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而这里面的

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就是Zeta函数,黎曼猜想就是关于这个函数的,但是a可以取复数值。

黎曼猜想真的会被证明吗?

质数分布没有简单规律,但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立,但至今没有完全证明。黎曼猜想得证,对质数研究、数论研究意义重大。

黎曼猜想对许多数学领域都意义重大,质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的,如果黎曼猜想被证伪,数学体系将失去重要根基。

作为菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主,Michael Atiyah爵士已经功成名就,而且培养出许多优秀的年轻学者。如果真的证明了黎曼猜想,那Michael Atiyah就会登顶最伟大数学家的行列中。

真相如何?9月24日见分晓!

关于黎曼猜想的推荐阅读:

  1. 卢昌海 《漫谈黎曼猜想》 清华大学出版社

  2. 德比希尔《素数之恋——黎曼和数学中最大的未解之谜》上海科技教育出版社

  3. 视频-可视化黎曼Zeta函数和解析延拓

    https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw&feature=youtu.be

编辑:集智小编

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