埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

《画廊》,埃舍尔(1956)

导语

不得不说,埃舍尔是一个...“ 天‘ 天“ 天才”才 ’才 ”....

来源:原理

美术馆里,一个年轻人正凝视着一副描绘马耳他森格利亚海港的画。画中的建筑是一个画廊,这个年轻人站在画廊里,再次看着描绘这个地中海码头的画;在这幅画的建筑里,再次出现这个画廊和这个年轻人。

这幅包含了无限的画作名为《画廊》(Print Gallery),它出自荷兰艺术家埃舍尔(M. C. Escher, 1898-1972)之手。在画中,埃舍尔还扭曲了这种无休止的重复,它膨胀和扭曲,形成不可能的形状。

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

埃舍尔(M. C. Escher)

如果不是因为这幅画中央、地中海风格的建筑与画廊窗户之间印着埃舍尔名字的白色圆形斑点,这幅画的冲击效果将是完美的。埃舍尔创作这幅画的时间是1956年,要等到大约五十年后,荷兰莱顿大学的一位数学家才设法完成了这幅作品。

在从旧金山飞往阿姆斯特丹的航班上,Hendrik Lenstra教授在杂志上第一次看到埃舍尔的平版印刷画作,他利用这次旅途的闲暇,试图找到解开谜团的办法。Lenstra解释说:“我想知道,如果你继续向内画这些线,是否会出现一个无法解决的数学问题。我还想知道这幅画背后的结构是什么,作为一名数学家,我该如何画出这样一幅画?”

这些问题的答案并没有在短暂的飞行途中揭晓,所以Lenstra决定开展一个为期两年的调查,在这个过程中他发现,破解《画廊》的空白斑点也就是破译埃舍尔本人的秘密。

数学与艺术的结合

埃舍尔从来都不是一个优秀的学生,他的正规数学知识仅限于中学阶段获得的那些。他最初学习建筑,但后来将他的职业生涯专注于成为一名绘画艺术家。尽管在理论知识方面存在缺陷,数学和几何却是埃舍尔作品的关键元素。

1936年,这位荷兰人来到西班牙格拉纳达的阿尔罕布拉宫,在这里,他对伊斯兰密铺艺术和平面的规则分割等概念非常着迷,花了几天时间仔细复制那些装饰宫殿的几何设计。而这些,也在日后成为了他作品的核心元素。他的许多版画都充满了重复的动画人物,这些人物的空间创造了新的形状。

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

阿尔罕布拉宫的密铺瓷砖。| 图片来源:Wikipedia

后来,埃舍尔想知道能否更进一步,保持图像的形状不变,并固定图像间的相对位置,用图像而非几何图形来填充绘画,并以一种连贯的方式改变图像的大小。

在H.S.M. Coxeter的数学文章《晶体对称性及其推广》中,埃舍尔找到了组合图形的方法。埃舍尔承认,自己并没有理解当中的所有概念,但是,从这些科学研究中,他发展了主要是视觉和直觉的数学知识。

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

骑马的人,埃舍尔(1946)

在下一个阶段,埃舍尔的作品开始探索结构中透视的错误,这些错误乍一看似乎是合理的,但仔细观察就会发现,根本不可能在现实中创造出这些情景。

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

升与降,埃舍尔(1960)。画中包含彭罗斯阶梯。

1954年,埃舍尔的一些版画在阿姆斯特丹的国际数学家大会上展出。从那时起,他与数学家和晶体学家之间的对话就成为他创作不可能的作品光学幻象无限表象的灵感源泉。

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

手与发射的球面,埃舍尔(1935)

无限递归

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

这种数学与艺术的交叉在《画廊》中得以具体化。在平板印刷中,埃舍尔违反透视法则,创造了无限的、扭曲的重复,而在他完成这些重复时,既没有凭借工具,也没有依靠计算

为了解释这一现象,Lenstra教授发现了一种被称为“德罗斯特效应”的现象。例如在《画廊》中,如果年轻人所在的美术馆在画中被再次复制,那么同样的事情也应该发生在白色斑点处。

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

德罗斯特效应是指,一张图片的部分与整张图片相同,是一种递归模式。以荷兰的巧克力品牌命名,在这种巧克力的广告画面中,女子拿的杯子及纸盒上的图与整张图片相同。| 图片设计:Jan Misset

在与埃舍尔的朋友,也是《埃舍尔的魔镜》一书的作者Hans de Rijk交谈之后,Lenstra发现,埃舍尔曾试图以闭合圆环的形式进行连续的圆形扩展,没有起点也没有终点。

因此,在埃舍尔的变形中,网格中正方形的尺寸从中心向外递增,在相反的方向上则递减,从而形成一个循环,就像是从装满水的水槽中拔掉塞子时水流动的形状。这就是图像背后的结构。

为了找到埃舍尔扭曲他的平板印刷时所用的精确值,Lenstra的团队花了几个月时间进行实验(甚至是猜测),将旋转、指数函数、对数函数结合,同时缩小尺寸或比例。由于现代技术的发展,一旦有了精确的公式,填补空白的步骤就变得简单明了。

他们用计算机程序去除埃舍尔画中的变形,将其转换成一个平面网格,填补平面图像上的空洞,完成整个场景,最后,通过使用已经识别出的变形,让图像恢复原来的形状。

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

相对性,埃舍尔(1953)

在那次飞行两年之后,Lenstra和他的团队终于解开了与一位最神秘的艺术家有关的最大谜团之一。然而,答案早就在那里,埃舍尔是一个天才中的天才中的天才…...

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

《哥德尔、埃舍尔、巴赫:集异璧之大成》一书对自指、递归有深入的探讨

原文链接:

https://www.bbvaopenmind.com/en/the-mathematical-secrets-of-escher/

编辑:王怡蔺

推荐阅读

自指:连接图形与衬底的金带

侯世达:机器可以“翻译”但不能真正理解

信息论视角下的生命起源与进化

自指机器的奥秘

加入集智,一起复杂!

推荐课程

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

观看地址:

http://campus.swarma.org/gcou=10135


埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

集智俱乐部QQ群|877391004

商务合作及投稿转载|swarma@swarma.org

搜索公众号:集智俱乐部

加入“没有围墙的研究所”

埃舍尔画作中的数学秘密-集智俱乐部

让苹果砸得更猛烈些吧!

原文始发于微信公众号( 集智俱乐部 ):集智