导语

一种观念可以是美吗？数学家和科学家们似乎总爱赋予一些概念美的内涵：一段数学证明要么是“漂亮”或者“优雅”的，要么就是“琐碎”或“无聊”的。甚至有一些著名的科学家断言数学之美可以引导我们通向真理。如果是这样，那么一般人能感受到数学之美吗？

今年在2019 年4月《Cognition》杂志上发表的一篇名为《Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas》论文中，研究者们采用了相似性判断的方法，让参与受试者分别就风景绘画和古典音乐作品，与一组经典数学证明之间的相似性进行了打分，证明了不同人群在数学和艺术审美中存在相一致的共识，并给出了数学和艺术中共同的审美维度：优雅、深刻和清晰。

证明与风景

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切 —— 克莱因（F. Klein）

在数学被称为自然科学的皇后，被科学家们冠以严格、精确的之名，成为探索世界必不可少工具的同时，还有一种声音一直在述说着数学的简洁与优美。

在数学与艺术的关系中，我们可以想到毕达哥拉斯与音乐、想到达芬奇与绘画。还有美国著名学者、认知科学家侯世达（Douglas R. Hofstadter）在《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》中为我们描述的一条贯穿科学与艺术的永恒金带：从芝诺悖论到莫比乌斯带，从环食蛇到DNA的双螺旋，从螃蟹卡农到六祖慧能，从埃舍尔的版画到哥德尔不完备定理，所有一切都通过自指与递归结构这同一个母题巧夺天工般地串联起来了。

读过《GEB》这本书的人，都丝毫不会怀疑，埃舍尔版画中带来的扑面而来的奇异与震撼，与巴赫在哥德堡变奏曲中展现赋格音乐的精巧与奇妙，都来自这一自指递归结构。

人们不禁要问，数学和美究竟是一种什么样的关系？一个数学定理所展现的美，和一幅风景画的美，和一段古典音乐的旋律之美，究竟有什么异同？

顺着这样的思路，两位分别来自英国巴斯大学和美国耶鲁大学数学家研究了这个问题，找到了审美直觉的共通维度，论证了数学美和艺术美在不同人群之间存在共识，且随着数学水平提高，审美判断也会提高并与专业数学家趋于一致。

论文题目：

Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas

论文地址：

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0010027719300927

测试你的数学审美

在详细介绍之前，对应研究，我们可以对自己的数学-审美水平做一个小测试。

下面是无穷等比数列求和公式，阅读并理解它：

图1：无穷等比数列求和公式

问下自己，在下面两幅风景画中，对于这个公式，你觉得最像下面哪一幅？

第一幅画是“ Looking Down Yosemite Valley”，由德裔美国风景画家 Albert Bierstadt 所画地处美国加州优胜美地国家公园的峡谷。Yosemite 曾作为 MAC OS 的一个版本，右边是著名的酋长岩。

图2：Looking Down Yosemite Valley

第二幅画是“The Heart of the Andes”，是美国风景画家 Frederic Edwin Church 在南美旅行后所画的安第斯山脉腹地，他受到德国著名博物学家亚历山大·冯·洪堡的影响，以艺术表现自然之爱。

图3：The Heart of the Andes

在选择后，你的审美判断更接近一般水平还是专业数学家水平，答案会在文中揭晓。

数学与艺术之美

研究者们在2019 年4月《Cognition》杂志上发布的这篇名为《Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas》的论文，对于“一个观念可以是美的吗？”这个问题给出了肯定的答案：数学证明是美的，即使是非专业群体也会在绘画和音乐中体验到相似的数学之美，有着彼此一致的审美直觉。

研究者通过采用了相似性判断[1]的方法进行研究。要求参与受试者对不同艺术作品与一组经典数学证明的相似性进行打分。在前两项研究中，分别考察了与风景画和古典音乐作品相似性的对比情况。

与风景绘画的相似性对比

在与风景画的对比研究中，研究者招募了300名参与者，称之为MT样本[2]，其中有99名具备大学数学水平，称为经验丰富样本。

所有参与者都需要阅读并理解以下四个数学证明过程：无穷等比求和（Geometric）、高斯求和（Gauss）、鸽笼原理（Pigeonhole）、平方求和（Faulhaber），然后将证明过程与四幅不同山水风景画相似度进行打分（0-10），并进行排列。

对 MT样本，表1基于以下四个指标，给出了证明与绘画的相似性评分的结果：

图4：数学论证与绘画的相似性比较评分

对于以上结果，为了搞清参与者之间的判断是否随机，研究者使用标准分数(z-scores)计算了最高和最低配对排名的差异，大约为0.85 标准差，这属于标准中较大的效应；并计算了评分者之间的 alpha 信度：α= 0.93，表明这些参与者之间的审美判断一致性很高。

随后，研究者通过将 MT 样本、经验样本、专业样本进行横向对比，考察是否存在相似性（具体数据请看原论文附录），结果表明三个群体的审美判断在整体性呈正相关，然而在不同群体间，彼此共识又存在差异。

例如， MT 样本的参与者更确信无穷等比求和类似于Yosemite，然而专业样本却有43%的数学家认为它更像 Andes。到此，你已经能看出你开始的测试结果了。

——如果你有较高的数学训练，你更可能选择第二张图。

对证明与绘画的相似性测试结果表明，二者存在共通的审美维度，业余与专业数学家之间也存在相同的审美共识。

与古典音乐的相似性对比

在第二项研究中，研究者测试了四组数学论证与古典音乐作品相似性情况。选用了舒伯特、巴赫、贝多芬和斯特拉文斯基的音乐作品。

结果表明，对音乐作品的总体相似性评分（M= 4.66）要远高于绘画（M= 2.66），这证明了人们常强调的“音乐更具有数学性”的观点。然而，在对音乐组进行了与绘画组相同的一致性与信度检验后，发现结果虽然并非随机，却比绘画组数值要更低。

研究者认为，音乐组的共识度不如绘画组那么强烈。这可能由于抽象感知本身就不如具体刺激那么更容易形成共识[3]，音乐感知会随着时间衰减，难以形成稳定的审美直觉，从而导致参与者对判断的不确信。

图5：数学论证与古典音乐的相似性比较评分

在音乐组，相对 MT 样本，经验样本和专业样本排名更加相似，呈现显著的强相关性。这说明数学的审美直觉可能随着高等数学的训练而发展。

先前的美学研究支持专业知识可以影响审美判断的观点，例如摄影专业人员处理照片的能力更高，更喜欢新颖和不确定的照片[4]，艺术专家在关注艺术品时更有可能体验到审美趣味，更不容易陷入困惑[5]。

对于数学专业知识的影响猜测，下面会进行更细致的论证。

共同的审美之维

既然已经证明了数学和艺术在审美中的共识，那么参与者们是如何达成这种审美共识的呢？

在传统美学研究中，美学家们认为存在着不同审美经验维度。人们根据艺术品的分类性质或唤醒潜力相关的高阶性质做出美学判断，如复杂性与新颖性[6]。但这些属性很难直接适用于数学之美。

为此研究者选取了英国数学家哈代提出的数学之美的六个核心维度[7]，并将其转换分解成更适合艺术品的近义词，最终一共九个维度：严肃（serious）、普遍（universal）、深刻（profound）、新颖（novel）、清晰（clarity）、简洁（simple）、优雅（elegant）、精细（intricate）和复杂（sophisticated）。

同样，研究者招募了 300 人的MT样本，包括 194 人业余样本、104经验样本，排除了参与过先前测试 94 人，对包括整体的美一共十个维度，进行了任务测试。

测试包含两部分，首先要求一部分参与者与第一项研究类似，对选取的四幅画从十个维度进行打分评级（“在你的判断中，以下描述在多大程度上适合这幅画？”），其次对另一部分参与者则要求与前两项研究相同的标准进行打分。

混合样本的结果如图表3所示。

图6：从9个审美维度，比较被试对绘画与数学论证的判断

通过对审美细分维度的评分计算表明，参与者之间评分的一致性相当高，对绘画和数学证明alpha 信度分别是0.98 和0.97。

研究者还使用两个分层回归模型（hierarchical regression models）研究不同审美维度在艺术和数学之间跨领域影响情况。结果表明，对绘画和数学最重要的三个审美维度分别是优雅、深刻和清晰，其中优雅是对数学证明最重要的因素。有三个维度对绘画有很强影响：简洁（绘画负面，证明正面）、普遍（正面）、严肃（负面）。剩余三个维度在这两个领域则都没什么作用。

在对这两个领域进行相关性检验后，结果支持参与者在审美判断中使用了相同的维度，并且表明跨领域审美判断趋于相似性的评分是由数学经验丰富的样本造成的，而非经验不足样本。

例如，包括对绘画，专业组中数学家们主要依靠深刻、简洁和优雅进行审美判断，而在非专业组则几乎一边倒地依赖于优雅，以及对复杂程度的重视。

这个结果这进一步支持对数学美的直觉会随着高等数学经验而变得敏锐的观点。

研究者们还通过研究不同审美维度，对先前绘画组测试情况进行了预测和建模，结果表其显著相关，说明此审美维度模型具有很强的预测性。

美从何来

综述以上研究，论文证明了在不同群体之间对数学审美直觉存在共识，参与者主要依靠相同的三个维度来评价艺术和数学美——优雅、深刻和清晰，然而，随着高等数学训练提升，专业组会越来越其他维度进行判断，例如深刻和清晰，而非大多数参与者只依赖的优雅。

随着数学能力的提升，人们会改变审美直觉向数学家倾向发展。这与其他领域内容相似度判断研究一致：不仅专业知识会改变我们在分类中使用的维度[8]，在传统美学研究中，同样发现专业艺术家能体验到更细微的审美情感[9]。

这种因知识改变知觉和审美的现象被称为自上而下（Top-down processing），也对数学的审美直觉之所以会影响对艺术品的审美判断根本原因。

例如分维度来看，对于简洁，已有研究解释了简单性如何指导人们进行更更广泛的判断[10]，但人们对如何判断优雅或深刻等这类审美品质却知之甚少。审美中情感和语义的作用，似乎在不同领域有不同程度重要的影响[11]，例如在摄影领域语义和内容是影响审美判断更重要的因素[12]

那么针对数学，或许可以抛开对细分审美维度领域考察，直接从知觉研究的格式塔心理学中获得整体启示。

格式塔心理学

神经科学家研究发现，在进行物体识别时，知觉会首先对几种基本三维物体（Geons，几何子）进行识别：圆柱体，圆锥体和长方体。譬如一个带把的手提箱，就会首先被识别为长方体和圆柱体的部分[13]。

图7：基于三维物体的识别

也就是说，在进行基本物体识别时，会以基本图形整体方式进行识别，而不是孤立的点、线或者曲面。在这种情况下，大脑视觉皮层特征检测器对应的细胞集群会同步激活并放电，因此我们就看到了整个的物体。

格式塔中有很多原则，其中简单率 （Principle of Pragnanz，即当大脑感知环境时，会选取最简洁-最可能的方式对场景进行解释）可以直接解释审美的简洁性，而配置优势效应（含有基本特征元素和更复杂的图形的更容易被察觉），则可能进一步解释深刻——当复杂图案因为专业知识能被理解后，那么在整体审美知觉中就会增加“额外信息”，以演化心理学来看，这种获得前所未有的新奇（新颖性）将毫无疑问成为一种良好的生存适应。所以人类需要深刻。

通过格式塔原则，可以解释为什么数学尤其对几何图形的审美是跨文化人类共通的，也解释了为什么会数学审美会影响艺术尤其造型艺术（包括绘画、雕塑等）。那么对于音乐呢？实际上对大脑而言，图形和声音只是信息两种不同的模态，在进行处理时都是统一的神经电信号。例如，在语言学中，有所谓的 “Bouba-kiki 效应”，在下图中，有超过90%的人都会将两种不同的图形正确对应到 Bouba 和 kiki 两个单词的发音上。这种人类被称为“跨模态抽象”的能力，有研究认为很可能来自大脑中的镜像神经元[14]。

图8：90%的人都认为左图对应 kiki 发音，右图对应 Bouba 发音。你的跨模态是否属于 90%的人？

也正因为如此，杰出的艺术家们往往也具备超常的通感和联觉能力。

如果从演化视角和认知视角来看，那么可以认为审美是演化的产物[15]，人类种种审美倾向都是适应性的副产品。例如人类更喜欢对称的面孔，因为对称能发出健康信号[16]，人类喜欢大草原般的景色，因为它们通常有水和能居住的庇护所[17]。

在其它情况下，审美偏好往往与更抽象的刺激目标相关，例如在寻求最佳新颖程度时对视觉刺激的编排顺序[18]。从这些刺激特性建构物体是自适应的，就如视觉机制原因一样：这种建构方式有助于有机体理解并探索周边环境。

并且，人们从自然习得的适应性，即生物演化的原始心理素材，也会因为继续通过文化演变，被推广到更多文化产物中去，如绘画、设计和艺术[19]。当然，这其中也会包括人们对解释的偏好，人们会更偏好引导我们走向真实（可能性高）和更有用（更具指导和理解）的解释[20]。一些学者甚至研究指出，人们更偏好选择中等复杂程度的解释[21]，它往往具有在解释范围、抽象水平更加适中等“解释美德”[22]。

也许，真只是一种美

真之所以为真，是因为在它周围洋溢着美 ——爱·伦坡（Edgar Allan Poe）

在将数学审美直觉与艺术联系起来后，我们不禁想起数学与科学之间的关系。在数学实在主义看来，数学不仅是导向真理，数学就是现实的根基，组成了整个宇宙本身。从毕达哥拉斯到哥德尔、到彭罗斯和泰格马克，都持有这种观点。因此，最终我们会发现，数学处于艺术与科学、美与真的焦点中心，是真正意义上“第三种文化”的枢纽。

那么我们该如何看待真与美、科学与艺术之间的关系呢？

英国诗人济慈（John Keats）说：“美即是真，真即是美”。

从本文的研究来看，可以说验证了数学家们有关“美引导向真理”的审美直觉。可是，这种说法上的等同，并没有在根本上解决问题：美和真，到底哪一个更本源？

如果只能选一个，那答案也许就是美。

从演化视角和格式塔心理学，我们已经知道，在先于逻辑理性判断之前，生物体有的只是基于审美知觉对周围环境的适应性。而人类大脑中负责决策的前额叶皮层在晚期智人阶段才渐渐成熟起来的。

神经学家安东尼奥·达马西奥（Antonio Damasio）在《笛卡尔的错误》一书提出，生物躯体标记了情绪，情绪位于推理回路中，情绪可以帮助决策，而不是像大多数人所认为的那样只会干扰决策；相反，情绪障碍的人会失去决策能力。这就说明了作为审美愉悦的情绪体验，是人类推理决策的前提。

在莱考夫的认知语言学（Cognitive linguistics）中，甚至认为人的理性能力来自大脑种种范畴化（大脑自发的“聚类”过程，范畴是对存在的基本分类）活动和几种基本意象图式（人基于与现实空间互动获得的基本认知结构，例如“原因-结果”），而它们都来自于人现实的躯体经验。“理性，是具体化和富于想象的”[23]。而这个过程，对于侯世达来说，就是类比[24]。原来，在推理的背后，是无穷无尽富于诗意的比喻和隐喻在支持。

所以我们能理解，为什么在逻辑因果之外，世界还存在随机和概率，为什么在哲学中还存在辩证逻辑，现代逻辑中还存在多值逻辑、弗协调逻辑、时序逻辑、量子逻辑等非线性因果逻辑。

因此，如果我们把通常意义的上的真当做“逻辑理性”的产物，那么美就是“生态理性”的产物。

在源头上，美的感受先于真的判断。如果以物理学比喻，真就像是混沌系统的吸引子，一片水波上涡纹。也正因为如此，所有经验科学理论，都不是真理，只是一种近似模型，会随时科学发展根据包括若干审美判断的解释原则不断修正（其中包括简洁、经济、新颖即预测性等）。

不知不觉中，在量子不确定性和非线性不确定性的复杂时代，科学家们已经慢慢接受了科学的模型观，取代了之前在经典物理时代的客观规律观。

真理这个词，也实际成为了某种象征，即使科学家们尤其物理学家还在努力进行着终极理论之梦。

已故的物理学家霍金，曾在2002年在中国举办的世界数学家大会做出出题为“哥德尔与Ｍ理论”的报告，指出目前所有物理理论“既不协调，又不完善”，说明在物理学领域很可能存在类似哥德尔不完备性定理的规律，因此不太可能建立一个单一的能协调和完善描述整个宇宙的理论。

2018 年来华的《GEB》的作者侯世达教授，向记者介绍了自己在个人主页上归纳的个人风格和目标：

永远地探寻美。

那么，真存在吗？当然存在，因为美存在。

参考文献

（列表可上下滑动）

[1] Palmer et al.,2013

[2] 在线众包平台 Amazon Mechanical Turk，故后面简称为 MT 样本

[3] Vessel&Rubin,2010

[4] Axelsson,2007

[5] Silvia,2013

[6] Berlyne,1960

[7] A Mathematician’s Apology,1940。中译本为《一个数学家的辩白》

[8] Chi et al., 1981; Medin et al., 1997

[9] Fayn et al., 2018

[10] Bonawitz & Lombrozo, 2012; Johnson, Johnston, et al., 2017; Johnson, Valenti, et al., 2017; Lombrozo, 2007

[11] Brielmann & Pelli, 2017; Palmer et al., 2013; Vessel & Rubin, 2010

[12] Blijlevens et al., 2017; Inglis & Aberdein, 2015

[13] Galotti, K. M. (2014). Cognitive psychology in and out of the laboratory (5th ed.). Thousand Oaks, CA: Sage

[14] Ramachandran, 2007

[15] Dutton, 2009; Hekkert, 2014; Pinker, 1997; Thornhill, 2003

[16] Rhodes et al., 1998; Thornhill & Gangestad, 1993; cf. Reber, Schwarz, & Winkielman, 2004

[17] Dutton, 2009; Orians & Heerwagen, 1992

[18] Berlyne，1960; Boselie＆Leeuwenberg，1985; Hekkert，2014

[19] Boyd & Richerson, 1985; Hekkert, 2014

[20] Douven & Schupbach, 2015; Johnson, 2017; Lipton, 2004; Lombrozo, 2016

[21] Johnson, Valenti, & Keil, 2017

[22] Johnston, Sheskin, Johnson, & Keil, 2018

[23] 乔治·莱考夫，《女人、火与危险事物：范畴显示的心智》

[24] 侯世达，《表象与本质》

作者：十三维

编辑：荣玉琪

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原文始发于微信公众号（集智俱乐部）：集智

科学家为什么钟情艺术？因为数学和绘画、音乐有相似的美感

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