导语

黑天鹅形容罕见但影响巨大的事件，金融海啸、新冠危机等黑天鹅事件层出不穷，然而一篇刊登于 Nature 杂志的论文《城市的发展等式》指出，罕见事件对复杂系统的影响巨大。该文提出的模型，对城市规划具有重要意义。

论文题目：

The growth equation of cities

论文地址：

https://www.nature.com/articles/s41586-020-2900-x

将每个城市的人口数量为横轴，城市人口排序后的序数（对数化后）为纵轴，可以看到下图的直线，这就是著名的Zipf法则，它也是更为普遍的幂律法则在城市科学中的体现。

美国2010年最大的135个城市大小按照Zipf法则画的散点图

然而近来，学者开始质疑该法则是否正确[1, 2]，例如上图中，为何对大城市的拟合会出现显著偏差。这使得学界希望能通过理论模型，解释Zipf法则。

例如下图展示的各国Pareto系数，反映了各国城市中人口分布的均匀情况，纵轴的数值越大，说明城市的人口分布越均匀，横轴的值代表进行统计的城市数。

不同国家城市的Pareto系数

该图除了反映各国之间，城市人口的均匀分布与否存在显著差异外，还说明如果考虑不同大小的城市集合，对城市人口的分布估计也会有显著差异。这意味着Zipf法则并不是一个通用的规律。

最初zipf法则的基础是，假设各城市人口都在以一个同分布的随机速度增长。然而城市的人口增长，除了来自本城市内人口的生老病死，还涉及不同城市间的迁入和迁出。下图展示了来自法国、美国、英国、加拿大不同大小的城市之间，城市大小（横轴）与人口迁入迁出数量（纵轴）比值之间的散点图。

城市大小之比和人口迁入迁出数量之比，呈现线性分布

上图表明，将历史中的人口迁移事件汇总，会发现越是人口差异巨大的两个城市，越有可能在某一年中，人口多的城市迁入的人更多，人口少的城市迁出人更多。

正是从这一点出发，该研究构建了能够精确预测城市人口数量变化，并解释为何当前城市人口分布状况的数学模型。该模型能动态地预测，在一个较长的时间尺度，有多少城市可能衰败，又有多少城市的人口会增长。

城市的人口增长不是正态分布，如下图所示，分别展示了美国（2013-2017）和法国（2003-2008）年间城市人口增长率的概率密度分布统计。

城市人口增长率的概率密度不符合高斯分布（红线）

这意味着，尽管从静态来看，城市的人口是满足Zipf法则的，但存在着非普遍且分布差异显著的波动，即所谓的黑天鹅事件。黑天鹅模型相比Zipf法则，能更准确地反映城市的微观动态，指出城市间的人口流动等这些城市规划科学中被忽略的因素，对研究大城市的兴起，发挥着关键指导作用。

此外，该研究还显示了复杂系统的行为与非平衡态之间存在有趣的联系。复杂系统既可以有微观上的剧烈动态变化，又能呈现出宏观上的规律，这更有可能是一个普遍规律，而非只出现在城市人口这一问题上的特例。后续进一步的研究，可以尝试考虑公司雇员及营收的变化，是否与公司间的幂率分布有关等课题。

[1] Arshad, S., Hu, S. & Ashraf, B. N. Zipf’s law and city size distribution: a survey of the literature and future research agenda.

[2] Gan, L., Li, D. & Song, S. Is the Zipf law spurious in explaining city-size distributions

作者：郭瑞东

审校：赵雨亭

编辑：邓一雪

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