什么是动力系统理论 | 集智百科

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一、什么是动力系统理论？

二、综述

三、历史

四、相关概念

五、相关领域

六、应用

七、相关概念与学者

八、相关资源推荐

九、集智百科词条志愿者招募

1. 什么是动力系统理论？

动力系统理论 dynamical systems theory ，也常译作动力学理论、或动力系统理论，它是数学研究的一部分。它主要利用微分和差分方程，来描述和研究复杂的动力系统。

当系统由微分方程描述时，该理论被称为连续（时间）动力系统 continuous dynamical system。当系统由差分方程描述时，该理论被称为离散（时间）动力系统 discrete dynamical systems。

当动力系统由微分或差分方程描述时，这个方程被称为动态方程、也常被称为动力方程；动力系统的变化过程也被称为动态过程 dynamic process。

还有一些情境下的动力系统可以由微分-差分方程 differential-difference equations [1] 来建模，例如动态过程中存在时间延迟的情况时，动力系统可以由时滞微分方程 delay differential equation 来描述。

从物理学的角度来看，连续动力系统是经典力学的推广。具体来说，我们不再受限于利用最小作用原理，从Euler-Lagrange方程导出运动方程，而是直接构造运动方程，并把它接受为公设，接下来主要研究由这一运动方程所描述系统的演化。

这项理论对动力系统的长期行为进行定性研究，研究系统运动方程的基本性质以及方程的解（当可解的时候）。这些系统主要是机械系统或其他物理过程系统，例如行星轨道和电子电路，以及出现在生物学、经济学、以及其他领域内的系统。大量现代研究主要着眼于探究混沌系统chaotic systems，这一研究领域也被称为动力系统、动力系统、动力学系统、数学动力系统理论、或动力学系统的数学理论。

2. 综述

动力系统理论和混沌理论 chaos Theory 都对动力系统的长期行为进行定性研究。这里说的定性研究，是指侧重于研究动力系统的性质，去回答诸如“系统长期来看，会达到或趋于稳态吗？”、“如果可以，都有哪些可能达到或趋近的稳态？”、”系统的长期行为受初始条件影响吗？“之类的问题，而不那么关注于（经常也不可能）求动力系统方程的精确解。

描述和寻找给定动力系统的不动点（或稳态），是动力系统理论研究的重要目标。稳态（或不动点），是指，”系统状态量不会再随时间变化“这种情况下的状态值（或定义动力系统的方程中的因变量不会随方程中的自变量变化而变化的值），一些稳态（或不动点）具有“吸引性” attractive，意思是如果系统的初始状态在这个稳态”附近“，那么系统的状态量将会随着时间逐渐靠近这一稳态，我们称其”收敛“于此不动点。也就是说如果系统的初始值在它的附近，系统最终会收敛到这个不动点。

类似于不动点（或稳态），周期点 periodic points 也是动力系统理论研究的重要目标。周期点是指系统的某种情况下状态量的值，这种情况是说，系统经过了一段时间之后，其状态量的值只取这些周期点。有些周期点也具有吸引性。Sharkovskii定理描述了一维离散动力系统的周期点的个数。

即使是简单的非线性动力系统也常常表现出看似随机的行为，这种行为被称为混沌 chaos 。动力系统理论的一个分支，混沌理论chaos theory，就是界定和研究混沌行为的。

3. 历史

动力系统理论的概念源于牛顿力学。像在其他自然科学和工程学科中一样，动力系统的演化律隐含在系统状态量的变化关系中，这一变化关系描述了系统当前状态量，和经过一个很短的时间间隔后的系统状态量，之间的关系。

在能进行高速计算的机器出现之前，人们需要通过复杂巧妙的数学技巧才能求解定义动力系统的方程，这样还只能求解一小类动力系统问题。随着电子计算机的诞生和计算资源的不断提升，动力系统理论中的数学技巧也逐渐和科学计算方法相结合，同时继续着眼于定性研究。

一些优秀的动力系统理论专著包括：Luenberger (1979), Padulo & Arbib (1974), and Strogatz (1994).

Luenberger, David G. (1979). Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications. Wiley. ISBN 978-0-471-02594-8. OCLC 4195122.
Padulo, Louis; Arbib, Michael A. (1974). System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems. Saunders. ISBN 9780721670355. OCLC 947600.
Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC 49839504.

4. 相关概念

动力系统

动力系统这一概念，是一种数学形式，它是对某种固定“规则”的数学抽象模型，这种固定规则描述了一个点在其的周围环境中，这个点的空间位置随时间变化的关系。举例来说，描述钟摆摆动、管道中的水流以及每年春天湖中鱼的数量的数学模型，都属于动力系统的概念范畴。

动力系统在某个时刻的系统状态，由一组实数所表示和确定，或者更一般的说，由适当的状态空间中的一组点的集合来表示和确定。系统状态的微小变化对应于数值的微小变化。这些数字也是某种几何空间——某种流形 manifold——的坐标值。动力系统的演化律是一种固定的规则，它描述了系统从当前的状态如何演化为未来的状态。这个规则可能是确定性的（可以由给定的系统当前状态，精确地预测，系统经过某给定时间段后，那一瞬间的系统状态），也可能是随机性的（系统状态的演化只能用确切知晓的概率进行预测）。

动力主义

动力主义 dynamicism，也称动态假设 dynamic hypothesis ，或称认知科学的动态假设 dynamic hypothesis in cognitive science 或动态认知 dynamic cognition，是一种认知科学领域的新方法，以哲学家Tim van Gelder的工作为典型。这种方法提出，相比于传统的计算机模型，微分方程更适合于对认知进行建模。

非线性系统

数学上来讲，非线性系统 nonlinear system是指系统不是线性的，即这一系统不满足叠加原理。更通俗地说，非线性系统的系统状态量（在定义系统的微分/差分方程中，所要求解的因变量）不能被写成某些独立分量的线性组合。

非齐次线性系统是一类特殊的线性系统。和齐次线性系统一样，在这些系统的定义方程中，因变量（以及因变量关于自变量的导数）之间是线性组合在一起的。但是和齐次线性系统的区别在于，这些非齐次线性系统的定义方程中，也有若干项和因变量无关只和自变量有关的函数，通过加法和其他项结合在一起。

由于这些函数的”次数” degree 是0，因此我们说这样的系统是非齐次的，这些函数所构成的项被称为非齐次项。根据线性系统的严格定义，即需要满足叠加定理，非齐次线性系统实际上不能算作线性系统，而是仿射系统 affine system。（这里可以对比齐次线性方程组和非齐次线性方程组的区别）。

即便如此，考虑到这类系统和线性系统只差一个“常数项”（这里的常数，是相对于系统的定义方程中的因变量而言的），总可以被转化成线性系统来研究。这种转化一般由两类方法，第一类是采用齐次解+特解的形式。只要知道一个满足系统的定义方程的特解（或者特解的形式），就通过求解这一方程所对应齐次线性系统的解，而获得齐次解，从而得到解。

第二类是利用线性代数，把系统的定义方程转化为一阶形式的方程组，从而能写成矩阵形式，同时非齐次项也能在这种形式中被纳入整体考虑，整个系统就还原为线性系统的标准形式，从而可以用研究线性系统的方法来研究这样的系统。

5.相关领域

算术动力学

算术动力学 Arithmetic Dynamics是20世纪90年代出现的一个领域，融合了动力系统和数论这两个数学领域。经典的离散动力学研究的是复平面或实实数轴的自映射的迭代，算术动力学是在反复应用多项式或有理函数的情况下对整数，有理数，p进数(p-adic)和/或代数点的数论性质进行研究。

混沌理论

混沌理论 Chaos theory 描述了某些状态随时间演化的动力系统的行为，这些系统可能表现出对初始条件高度敏感的特点（通常被称为蝴蝶效应 Butterfly Effect）。由于这种敏感性，在初始条件下表现为扰动呈指数增长，因此混沌系统的行为似乎是随机的。即使这些系统是确定性的，也会发生这种情况，这意味着它们的未来动力完全由其初始条件定义，而没有涉及随机元素。这种行为称为确定性混乱，或简称为混乱。

复杂系统

复杂系统 Complex Systems 是研究自然、社会和科学中复杂现象的共同性质的科学领域。它也被称为复杂系统理论、复杂性科学、复杂系统研究和关于复杂性的科学。这些系统的关键问题在于对系统的形式化建模与仿真的困难。因此，复杂系统是根据在不同的研究语境中的不同属性来定义的。

复杂系统的研究为许多科学领域带来了新的活力，在这些领域中，更为典型的简化主义策略已经不足以提供研究动力。复杂系统通常被用作一个应用广泛的研究方法术语，并涵盖许多不同的学科，包括神经科学、社会科学、气象学、化学、物理学、计算机科学、心理学、人工生命、进化计算、经济学、地震预测、分子生物学以及对活细胞的研究等许多不同学科的问题的研究方法。

控制理论

控制理论 Control Theory 是工程和数学的一个交叉学科。控制理论是一个研究如何调整动力系统特性的理论，它也是工程和数学的一个交叉学科，逐渐的应用在许多社会科学中，例如心理学、社会学（社会学中的控制理论）、犯罪学及金融系统。

控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。维持设定值保持小范围稳定甚至不变的控制行为称为控制调节，设定值快速变化，对于跟踪速度加速度等的控制要求较高的控制行为称为伺服。控制理论的研究的一部分研究对于动力系统行为的研究产生了深远的影响。

遍历理论

遍历理论 Ergodic Theory 是数学的一个分支，它起源于为统计力学提供基础的”遍历假设”研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。

泛函分析

泛函分析 Functional analysis 是数学分析的一个分支，研究向量空间和作用于向量空间的算子。它源于对函数空间的研究，特别是对函数变换的研究，例如傅里叶变换，微积分方程的研究等。泛函分析的名称“Functional Analysis”中，“functional”这个词的用法可以追溯到变分法，也就是说函数的参数是一个函数。这个词的使用一般被认为归功于数学家和物理学家Vito Volterra，其创立很大程度上归功于数学家Stefan Banach。。

图动力系统

图动力系统 Graph dynamical systems(GDS) 可以用来描绘图或网络上发生的各种过程。图动力系统的数学和计算分析的一个主要主题是将其结构特性(例如：网络连接性)与其所产生的全局动力学联系起来。

投影动力系统

投影动力系统 Projected Dynamical Systems 一种数学理论，用于研究将解决方案限制为约束集的动力系统的行为。这门学科与静态理论中的最优化和平衡问题以及动态理论中的常微分方程都有联系和应用。一个投影动力系统是由投影微分方程的流形给定的。通过对投影微分方程的流形分析，给出了一个投影动力系统的表达式：

其中K为约束集。这种形式的微分方程因具有不连续的向量场而受到许多研究人员的注意。

符号动力学

符号动力学 Symbolic Dynamics 是通过离散空间对拓扑或平滑动力学系统进行建模的方法，该离散空间由无限的抽象符号序列组成，每个抽象符号对应于系统的一个状态，并且动态（演化）由移位运算符给出。

系统动力学

系统动力学 System Dynamics 是一种理解系统随时间变化行为的方法。它是用来处理影响整个系统行为和状态的内部反馈回路和时间延迟的方法。系统动力学不同于其他系统研究方法的地方在于它使用了反馈环、存量 stocks和流量 flows的元素。这些元素有助于描述看似简单的系统如何显示复杂的非线性行为。

拓扑动力学

拓扑动力学 Topological Dynamics 是动力系统理论的一个分支。在拓朴动力学中，动力系统的定性性质和渐近性质是从一般拓扑学的观点来研究的。

6. 应用

在运动生物力学中的应用

在运动生物力学中，动力系统理论在运动科学中展露头角，成为一种对运动表现建模的可行框架。从动力系统的角度来看，人类的运动系统是由高度复杂和相互依赖的子系统网络（如呼吸、循环、神经、骨骼肌系统和知觉系统等）组成的，它们由大量相互作用的部分组成(包括血细胞、氧分子、肌肉组织、代谢酶、结缔组织和骨骼等)。动力系统理论中，运动模式通过物理系统和生物系统中的一般自组织过程出现。没有任何研究证实与这一框架的概念应用相关的任何主张。

在认知科学中的应用

动力系统理论已经被应用于神经科学和认知发展领域，特别是在认知发展的新皮亚杰学派 neo-Piagetian中。人们相信，物理学理论比句法学 Syntax 理论和人工智能理论更能代表认知发展。人们还相信微分方程是人类行为建模最合适的工具。人们认为微分方程可以解释为通过状态空间代表一个主体的认知轨迹的算式。换句话说，动力学家认为心理学应该是（或者就是）（通过微分方程）描述在一定的环境和内部压力下的主体的认知和行为的学科。混沌理论在相关领域也经常被采用。

在学习的过程中，旧的模式被打破，学习者的思维达到了一种不平衡的状态。这是认知发展的阶段性转变。自组织随活动水平 Activity Levels 相互联系时产生。新形成的宏观和微观结构相互支持，加速了这一过程。这些联系在头脑中形成了一种有序的新状态结构，这个过程被称为“扇贝化 Scalloping”，也就是头脑的复杂表现的不断累积和崩溃的过程。这种新的状态是渐进的、离散的、异质的的和不可预知的。

动力系统理论最近还被用来解释儿童发展中一个长期没有答案的问题，即 A-not-B 错误。

在第二语言发展中的应用

动力系统理论在第二语言研究中的应用归功于 Diane Larsen-Freeman教授，她在1997年发表的一篇文章中认为，第二语言学习应该被看作是一个包括语言流失和语言习得在内的发展过程。她在文章中认为，语言应该被看作是一个动态的、复杂的、非线性的、混沌的、不可预知的、对初始条件敏感的、开放的、自组织的、反馈敏感的和适应性的动力系统。

7. 相关概念与学者

相关概念

贝克地图 Baker’s map
分支理论 bifurcation theory
动力系统 Dynamical system
具身嵌入认知 Embodied Embedded Cognition
斐波那契数 Fibonacci numbers
分形 Fractals
Gingerbreadman map
Halo 轨道 Halo orbit
振动性 Oscillation
Postcognitivism
递归神经网络 Recurrent neural network
组合数学和动力系统 Combinatorics and dynamical systems
协同学 Synergetics Haken

著名学者

德米特里·阿诺索夫 Dmitri Anosov
弗拉基米尔·阿诺德 Vladimir Arnold
尼古拉 Nikolay Bogolyubov
安德烈·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov
尼古拉·克雷洛夫 Nikolay Krylov
于尔根·摩泽 JürgenMoser
雅各布·G·西奈 Yakov G. Sinai
斯蒂芬·斯玛莱 Stephen Smale
希勒尔·弗斯滕伯格 Hillel Furstenberg
格里高里·马古利斯 Grigory Margulis
伊隆·林登斯特劳斯 Elon Lindenstrauss

8. 相关资源推荐

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Chaos: Making a New Science

本书由普利茨奖获得者James Gleick撰写。它是一本易读科普书籍，侧重介绍对混沌概念的发展做出重大贡献的科学家和数学家们。

现代动力系统理论导论 Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems

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