导语


物理学探索自然界的奥秘,有三个基本的认识发展方向。对于微观世界的研究,从分子、原子、原子核到 “基本” 粒子,涉及越来越小的时间和空间尺度,其小无内,不可穷尽。引力理论、天体物理,探讨大范围的宇观的时空结构和物质运动,其大无外,同样不可穷尽。另一方面,“一生二、 二生三、 三生万物”,量的变化导致物质运动由简单到复杂、由低级到高级的各种形态和阶段,直至生命和意识,这个发展过程同样是没有止境的。基础自然科学的多数分支,其实都是以第三个发展方向为对象。物理学研究的只是其中比较初始因而也更为基本的过程。统计物理学则在宏观与微观描述之间、物理学和其他学科之间,起着一种桥梁作用。本文拟从几个侧面, 粗浅地讨论一下统计物理学的对象和方法,介绍它的一些概念与范畴。


关键词:统计物理

郝柏林 | 作者

中国科学院理论物理研究所,原载于 自然杂志 | 来源





宏观与微观:

物质结构的层次和物理学描述的层次




分子、 原子、 原子核、 电子以及其他各种 “基本” 粒子, 作为物质结构的单位是人们所熟悉的, 它们又是物质运动的单位, 而且在一定的相互作用条件下, 组成与结构单位并不等同的运动单位。例如, 金属中的电子通过与组成晶格骨架的原子核的相互作用, 可以在条件适合时产生有效的相吸作用, 成双配对地运动。又如, 一个在固体中运动的电子, 可以使周围的晶格稍有畸变, 它走到哪里畸变随到哪里, 宛如一个更复杂的粒子。这样的运动单位有自己的动量、 能量、 相当长的寿命, 甚至独特的光谱线等, 通常称之为 “准粒子” 或 “元激发”。各类宏观物体中的准粒子名目繁多:声子、 极化子、 激子、 等离激元、 超导金属中的电子对、 液氦中的旋子……它们与作为物质结构单位的粒子有一个根本区别, 就是不能离开环境独立存在。然而它们作为物理对象的确定性, 并不亚于任何 “基本” 粒子。

无论粒子或准粒子, 都可能有许多不同的运动方式:前后、 上下、 左右的平动, 各种振动和转动, 还可能有一些不那么直观的内在运动和集体运动。每一种运动方式叫作一个自由度。统计物理的研究对象, 就是由大量粒子、 准粒子组成, 具有大量自由度的系统。由于它突出抓住 “大量” 这一特点, “微观” 和 “宏观” 的划分也就更为相对, 通常首先不是指物质结构的层次, 而是用以区别物理描述的层次。

现代自然科学使人类对自然界的认识跨越了很大的时空尺度。空间范围从基本粒子 “内部” 的10-15厘米, 到现代天文观测手段所及的一百亿光年1028厘米, 相去1043倍。时间范围从强子寿命10-23秒, 到我们所知的这一部分宇宙的寿命一百亿年即1017秒, 也差10 40倍。物理思维中常把10倍左右的数量变化忽略掉, 视为同一个 “量级”。现代科学所知的物理世界,在时间和空间两方面都跨越了40个量级。然而就我们对物理世界的描述而言,必须把这几十个量级划分成许许多多的层次。这不仅是因为物质的结构和运动本来表现出阶段和层次, 而且因为我们的每种观测手段, 从高能加速器到射电望远镜, 都局限于某些层次。尺有所短, 寸有所长。每种物理仪器都有它所瞄准的主要层次,虽然有一定的调整变化余地(“动态范围”),也不可能跨越许多个量级。同时,每种仪器还有其观测精度或分辨能力, 超乎这一限度的物质运动必须改用其他手段研究。这有如用放大镜看油画, 作品的整体结构和主题自然是在视野之外, 颜料和画布的分子结构也还无法觉察。描述层次的划分,可以举两个极端的例子。研究银河系的旋臂结构, 把单个天体看成 “微观” 粒子,讨论这种粒子组成的连续的气体中物质的运动和分布;研究单个原子核或基本粒子,为了强调其内部的无限多自由度, 又可以把它看成 “宏观” 系统, 和液滴类比等,这两个例子都可引用统计物理的概念和方法来处理。

描述单个或少量粒子的运动和相互作用的科学,可以统称之为“力学”。无论是描述天体运行的经典力学、反映电子运动的量子力学、表征电子与电磁场相互作用的量子电动力学,包括相对论力学,从统计物理的观点看来, 都是 “微观” 理论。即使我们透彻地掌握了它们, 同时还知道了粒子间的全部相互作用力, 也不可能直接运用这些规律来刻画宏观物体的性质, 即使可以写出来全部方程, 也无法准确知晓和利用全部初始条件来求解这些方程。

应当强调指出,这并不仅仅是一种技术性的困难。“大量” 相互作用粒子的行为, 出现本质上新的特点, 我们的认识和描述方法也必须做质的改变。一滴水里面有近百万亿亿个分子,一片最纯的半导体中杂质原子的数目仍有成千上万亿。每立方厘米普通液体或固体中的原子数目大致是10 23的量级。即使是所谓 “稀薄” 气体或“低密度” 等离子体, 其中每一块小体积中的粒子数目, 至少仍要以亿计量。这些数量是如此之大, 以至于把它们看成 “无穷大” 往往更合乎实际一些。统计物理中常令粒子数和系统的体积趋向无穷大,但保持单位体积内的粒子数有限,这叫热力学极限。只有取了热力学极限之后, 许多数量关系才得以简化, 物理图像也更为清楚。

为了得到一些启示, 设想一个粒子在三角形三个顶点之间随机跳跃 
图一:粒子随机跳跃模型

三种可能的初始状态, 即粒子处于第1、2或 3点上, 可以用三个矢量(1,0,0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)代表。如果粒子现在处于某点, 则一次跳跃后它必定离开此点, 以各为1/2 的概率达到另外两点之一。新的状态可以用一个方阵 ( “转移矩阵”) 乘代表初始状态的矢量来得到。 例如 


从任何给定的状态出发, 经过N次跳跃后达到各点的概率, 都可以用转移矩阵乘N次求得。计算虽不难, 但每种具体条件都有其特殊的答案。然而有一种情形却很简单, 那就是不论从什么状态出发, 经过无穷多次跳跃后, 粒子达到每个点的概率都是1/3。事实上也很容易证明, 转移矩阵的无穷次方是


统计物理学中的热力学极限当然更为复杂。然而这个随机过程的简例, 反映了统计物理的一种基本精神:研究那些不受具体初始条件影响的普遍性质。“大量” 这个背景, 使我们从微观物理出发研究宏观系统的性质时引用概率统计方法, 如同力学中使用微分方程一样自然和精确。统计物理学的名称也就由此而来。它并不是一门新学科,19世纪麦克斯韦 (J.K. Maxwell) 和玻尔兹曼 (L.E.Boltzman) 研究气体动理学理论是它的诞生,20世纪初在吉布斯(J.W.Gibbs)和爱因斯坦的工作中已经形成它的理论体系。它作为无穷多自由度系统理论的威力, 则是近20多年来在与量子场论的互相影响中逐步显现出来。

一个 “层次”, 一个 “大量”, 抓住这两条才能理解统计物理学的特殊地位。它并不像原子或分子物理学那样具有确定的研究领域。任何由大量较小的单位或层次组成的系统, 都可以成为统计物理学讨论的对象。正是在这个意义上, 我们说统计物理学既是物理学, 又是方法论。作为物理学, 它的主要对象是气体、 液体、 固体、 等离子体等 “多体系统”, 也涉及更复杂的化学和生物过程;作为方法论, 它探讨如何从单个或少量粒子的运动规律出发, 以概率统计的方法推断和说明由大量粒子组成的物体的性质。也正是由于 “大量” 这一特殊的矛盾, 使得量子力学的创立并未从根本上改变统计物理学的理论体系。微观粒子的行为和不可区分性, 以新的统计分布 (玻色 爱因斯坦分布和费米 狄拉克分布) 丰富了统计物理学的内容, 自然地解决了经典统计中曾经存在的一些困难, 例如由粒子的不可区分性说明了原来推导中需硬行引进的 N! 因子。从基本精神看, 统计物理学与量子力学更为一致。量子力学的诠释受益于统计观念, 这是大家所熟悉的。近几年的研究表明, 甚至处理纯经典的具有无穷多自由度系统的涨落时,也要自然地引入不对易的算子,遇到某种不含普朗克常量的波动力学。这方面的研究,还在继续 。

大量相互作用粒子组成的系统,有哪些本质上不同于力学系统的新的行为呢?至少可以指出三类:一是出现不平衡、 不可逆的过程;二是在温度或其他参数改变时系统的状态会发生突变;三是出现大量粒子协同动作才可能产生的有序和结构。




平衡与非平衡:平衡附近和远离平衡的差别




历史上统计物理学的任务首先在于说明平衡态的性质。早在人类认识物质的微观结构之前, 就形成了描述宏观物体的科学体系。这就是使用体积、 温度、 压力、 比热、 压缩率、 膨胀率等可以测量的参数,坚持能量守恒、 热过程不可逆等基本规律的热力学体系。热力学主要描述平衡态。对于非平衡态, 它除了指出孤立系统最终必须趋向平衡外, 几乎没有给出更为积极的知识。平衡态的统计物理学, 作为热力学的微观基础, 已经是发展完备的理论。除了少数孤立难题和它本身的理论基础所引起的数学问题外, 平衡统计目前并不是活跃的研究领域。研究重心早已转入非平衡现象, 我们在后面再谈。为了说明平衡态统计的基本方法, 不妨先介绍一个至今悬而未决的难题。

解决任何一个平衡统计问题的过程, 可以归结为如下三部曲:第一步是求解一个 “力学” 问题, 得到系统的能量谱En, 它可能依赖于一些参数;第二步是对一切可能的能量状态计算如下的指数和


其中T 是绝对温度, k是玻尔兹曼常量, Z称为配分函数或统计和;第三步是建立与热力学的关系, 实际上就是把指数和换成单个指数, 令Z=e -F/kT, F就是热力学中的自由能。一切热力学量都通过求F对各个参数的导数得到, 而不需使用其他运算。除了理想气体等少数特例, 真正用这个三部曲得到解决的实际问题微乎其微。因为第一步并非统计的力学问题, 对于多粒子系统已经极难求解, 而第二步的数学困难很大, 通常要靠各种近似方法或避开计算去寻求定性结论。

由于指数是极为光滑的连续函数, 求和更使函数的性质变好,历史上对这一套三部曲的严重怀疑, 就在于它能不能说明磁铁在升温过程中突然失去磁性这类相变现象, 以及相变点附近许多物理性质的反常。为了试图回答这个责难, 伊辛 (E. Ising) 在1925年提出一个非常简单的统计模型。在晶体的每个格点犻上放一个磁矩σi。它可以有向上(σi=1)或向下(σi=-1) 两种取向。只考虑最近邻磁矩的相互作用, 当它们取向相同(σiσj=1)时, 能量是负J,而取向相反(σiσj=-1) 时, 能量是J。这样就绕过了力学问题,直接给出了能谱


中字母σ代表各个格点上的σi 取+1或-1的一种具体分布方式。计算配分函数


的手续并不简单。伊辛本人只解决了一维链 (即磁矩排列成一条直线) 的情形, 发现没有相变。他还给出一些似是而非的论据, 说明二维和三维情形下也不会有相变。直到1944年昂萨格 ( L.Onsager) 以精美的数学技巧解出了二维伊辛模型, 人们才明白二维是有相变的, 但比热尖峰 (图2) 只有在取了热力学极限之后才突出起来。这是平衡态统计物理的一项辉煌成就, 是后来授予昂萨格诺贝尔奖奖金的根据之一(注[1])。  杨振宁对于二维伊辛模型也做过重要贡献。然而半个多世纪以来一直未能严格计算出更为实际的三维伊辛模型, 甚至连解决途径也不清楚。

图二:伊辛模型的比热

非平衡统计问题的提出虽然与平衡问题同样悠久但是直到近几十年才逐渐形成一些重要概念勾画出理论体系一个稳定的平衡态附近主要的趋势是走向平衡如果对系统施以短暂的扰动则取消扰动后系统经一段时间后就重新回到平衡所需的这一段时间称为弛豫时间这类过程称为弛豫过程如果强行维持使系统处于不平衡的外界条件 (“”)则系统的响应是产生持续不断的”。例如维持电位差导致电流保持温度差出现热流造成浓度差形成粒子流……这些流就是电荷能量质量等的转移是要消耗能量的这类过程称为输运过程或耗散过程如果离开平衡不远,和 是成比例的比例系数是物质本身的 一种宏观参数称为输运系数电导率热传导系数黏滞系数等都是输运系数宏观的平衡态对应瞬息万变的微观运动方式是微观运动的一种平均的表现因此各种宏观参数总是在平均值附近起伏摆动如果对系统中 微观大宏观小的部分做测量则这种围绕平均值的涨落尤为清楚

弛豫输运涨落是平衡态附近主要的非平衡过程它们都是由趋向平衡这一总的倾向决定的因而有深刻的内在联系非平衡统计物理的重要成果是证明了输运系数对称原理和涨落耗散定理输运过程可以错综复杂地进行例如温度差不仅直接引起热流还可以引起质量流 (这就是用于同位素分离的热扩散)电流 (温差电效应另一方面浓度差不仅造成扩散流还能引起扩散热如果适当选择物理量则甲种力形成的乙种流乙种力导致的甲种流这两个交叉的输运过程其输运系数是相等的这就是输运系统对称原理其实早在1854年汤姆孙 (W.Thomson用热力学方法分析热电效应时就建立了第一个这种对称关系但是这一原理的普遍证明则是1931年昂萨格给出的涨落耗散定理说明输运系数由相应物理量的涨落平均值决定 1928年证明电路中热噪声形成的随机电动势的平均值与元件的电阻 (这也是输运系数成正比,这也就是 涨落耗散定理的一种表达。 1905 年爱因斯坦研究布朗运动时把它与扩散系数联系起来也是另一种意义上的涨落耗散定理定理的一般证明20世纪50年代才臻于完备

关于平衡与非平衡的描述与物理世界时间层次的划分有密切关系。如果考察气体分子的碰撞过程,它持续约10-13 10-12 秒,这里只能使用微观的力学描述碰撞过程的 力学总是可逆的相对于两次碰撞之间的自由飞行时间 (10-9~10-8)而言碰撞过程可以略而不计输运系数对称原理就是在这一描述水平上证明的这时可以看到输运系数虽然出现在不可逆过程中对称原理本身却恰恰是微观运动可逆性的表现如果进一步忽略碰撞间隔只关心宏观状态发生显著变化的时间尺度例如流体各部分温度达到平衡的时间我们就采用了与热力学类似的宏观描述流体力学就是这样的体系它只剩下五个量来代表每个微观大宏观小范围内的运动自由度从统计物理出发我们不仅知道了流体力学方程中的黏滞系数等怎样与微观描述发生联系还懂得如何改进这些方程本身,我们并不是说宏观不可逆性是随着描述层次变粗才出现的而是强调要正确反映客观存在的不可逆性我们必须采用较粗的描述方式这个由细到粗由微到宏的过程正是统计物理的研究对象

平衡态比较单纯非平衡态丰富多彩只考虑平衡附近的现象只抓住趋向平衡这一种倾向统计物理就是极不完全的理论我们必须往远离平衡的方向前进初看之下这里有千奇百怪的自然现象似乎很难建立统一理论事实上直到现在还不清楚能否把类似输运系数或涨落耗散定理这样的概念普遍地推广到离平衡较远的状态

然而离平衡足够远时出现了新的现象有些宏观系统突然进入新的更有序更有组织的状态出现这些状态的条件各不相同但有一些共同的规律第一通常有某个参数达到一定阈值新状态才突然出现这是一种临界现象很像普通平衡态下的相变第二新状态具有更丰富的时间和空间结构例如呈现周期变化或宏观尺度上的花纹图案第三只有不断从外界提供能量这些结构才能维持下去第四新结构一旦出现就具有和平衡态类似的稳定性不容易因外界条件的微小改变而消失这类现象目前常称为耗散结构”,在日常生活中也能遇到质量欠佳的日光灯管在一定条件下突然进入辉纹放电状态出现黑白相间的条纹有时这些条纹还沿着灯管运动这就是一种耗散结构这是非平衡统计物理中迅速发展的新的一章生物体是不是更高级的耗散结构也许这里会打开一条通向生命科学的道路

现在我们有了比较完整的图像平衡附近是以趋向平衡为主的各种过程远离平衡时可能经过突变形成耗散结构这两个在一定意义上相反的过程都是宏观系统所特有的




对称与相似:自相似变换和重整化群的妙用




无论平衡态的相变还是远离平衡的突变有序和结构的出现通常都伴随着对称的改变其实最对称的世界是没有任何秩序和结构的那是在 盘古开天地之前天地混沌无所谓上下左右没有任何特殊方向和特殊点也无从区分过去和未来一切 对称操作都是允许的有无穷多种 对称元素”。一旦可 以看到 对称”,有一个立方或六角晶体摆在我们面前已经是失去了不计其数的对称元素只剩下寥寥数十个首先明白这一点的可能是老居里 (P.Curie)他曾经有过 非对称创造了世界的妙语更复杂的物质结构形式,其实没有任何原来意义下的对称但是又有着大量局部的近似的对称性质对称变换在统计物理中如同在理论物理的其他分支中一样起着重要的建设作用我们结合这一点介绍近几年统计物理学中一项重要突破——重正化群概念的引入

先考虑一类具有自相似性的几何图案请看图3其中每个方框内套有四个小方框如此无限嵌套下去每个黑点内部还有无穷多同样的结构而图3本身只不过是更大的方框中的一个小框整个图形往大小两个方向无限地重复下去把它适当地放大或缩小若干倍都可以和原有图形重合连续放大两次的效果也能用一次 放大做到我们说这个图案有一个自相似变换群如果加一条限制只许不断缩小尺度但不准放大方框小到一定程度就把它抹黑不再分辨其内部结构这样就只剩下单方向的自相似变换这是一个 半群”。这里的 抹黑”,很像统计物理学中的平均带来了某种不可逆性的味道

自相似图案

这种几何游戏式的考虑在统计物理学中找到了重大应用取一块相当大的磁铁 (把它看成无穷大!)在温度远高于相变点时其中磁矩的排列是完全混乱的表现不出宏观的磁性当温度下降接近相变点时每个磁矩的影响范围都逐渐扩大要求其他磁矩采取与自己平行的取向这个影响半径又称为关联长度到了相变点,关联长度成为无穷长于是整个晶体内的磁矩突然沿一个方向排列好 (究竟沿哪个方向,倒是由偶然因素决定的)设想在很接近相变点处用统计物理的方法研究这块磁铁把单个磁矩间的相互作用能量写出来然后计算配分函数这很像前面介绍过的伊辛模型原则上也可以把每四个磁矩看成一组计入各组之间的相互作用能只要适当改变一下相互作用强度和缩小空间尺度这样得到的物理图像和算得的配分函数应当基本上与原来相同在相变点上则完全相同换句话说配分函数在一个自相似的半群变换下具有不变性正如反映线性变换本质的是变换中的一些不变量——变换矩阵的本征值自相似变换的不变量决定物理量在相变点上的奇异行为1972年威耳孙 (K.G.Wilson引用量子场论中的重正化群技术在相变理论中实现了一次突破终于越出了统治多年的平均场理论重正化群的数学相当复杂但是物理图像就像上面介绍的那样简单它在统计物理学中开辟了一条新的途径不是去直接计算配分函数而是研究配分函数在某些变换下的不变性质由之得出深刻的结论八年来的进展表明重正化群技术已经成为统计物理学武库中的必备兵器




有限与无限:无穷多自由度和无穷维数学




统计物理研究具有大量运动自由度的宏观系统在每个具体情形下这个 大量都是有确定上限的数然而它是如此之大增加或减少几个粒子也没有影响因此认为粒子数无限多才更好地反映了客观世界这就是上面所说的取 热力学极限”:令粒子数和系统的体积趋向无穷但单位体积内的粒子数 (粒子数密度仍是有限的事实上统计物理中的一些根本问题只有在取了热力学极限之后才变得更明朗

首先统计物理的方法能否描述相变这类突变现象,人们曾经有过怀疑因为统计平均使一切函数变得更为光滑而相变是 连续性的中断”, 是尖峰和跳跃。 自从 20 世 纪 40 年代初求得伊辛模型的数学严格解之后懂得了无穷尖峰等都是取热力学极限的结果对于有限个粒子组成的系统比热即使冒尖也是有限的后来实验也证实了这些看法

其次统计 平均是什么意义下的平均对于微观运动而言物理测量是一种时间平均这里还取了另一个极限测量时间比微观运动的特征时间大无穷多倍因此微观运动的初始状态等都不应当影响测量结果实际上统计物理中不会去计算时间平均而是把它换成了另一种平均取同一个系统的无穷多个样本它们的差别只在于初始条件不同既然时间平均不依赖于初始条件它就可以换成对同一时刻一切系统样本的平均统计物理学把这叫作 系综平均”。

这两种平均究竟相同否这就是著名的遍历 (又称 各态历经”) 问题因为如果一个力学系统从一个初始状态出发确实要经历一切可能的状态的话就很容易证明时间平均等于系综平均最近几年遍历理论中又得出一些具体结果例如证明了有限个非简谐振子是不遍历的而有限个弹性刚球组成的系统反而是遍历的这两个结论都有点与物理直观相违因为非简谐振子是经常用来代表各种 实际的物理模型的系统它应能趋向平衡用统计方法处理而没有相互作用的简谐振子或弹性刚球组成的系统根本不会趋近热平衡出路何在呢看来在于无穷多自由度已经证明无穷多个简谐振子组成的系统是遍历的统计物理学的基础要从无穷多自由度出发来建立

无穷多自由度带来了一套无穷维的数学无穷维的函数空间无穷维的矩阵对无穷多个函数变量的连续积分……一句话进入了泛函分析的领域还有另一类处理无穷多自由度系统的物理理论那就是量子场论从数学结构上看统计物理与量子场论是彼此相通的20多年来这两方面的发展经常互相促进形成了 一些强有力的方法解决了一批难题统计物理和量子场论也遇到 完全相似的困难例如发散问题但是在统计物理中可以回避相对论不变性规范不变性乃至算子的不对易性等复杂的原则和细节使发散的出现和消除过程看得更清楚

在结束本文之前关于统计物理学与数学的关系想再说几句平衡统计与概率论非平衡统计与随机过程理论的关系顾名思义即显而易见相变耗散结构理论是托姆 (R.Thom的突变论以及非线性方程分叉点理论的实例特别是重正化群技术在概念上可能稍稍超越托姆理论因为后者相当于平均场理论至于 从平衡统计理论中发展起来的遍历问题早就成为泛函分析的一支当然物理学工作者仍关心其结论统计物理学的对象比较容 易有感性的认识和类比希望它也能引起数学工作者的关注





附录1:
致 自然杂志编辑的信

编辑同志:
贵刊1980年第9期所载拙作 谈谈统计物理学的对象和方法一文中关于二维伊辛模型严格解是 后来授予昂萨格诺贝尔奖奖金的根据之一”,说法不对最近杨振宁教授来信指出:授奖决定中并未明显提及伊辛模型落笔之前未曾核对出处治学不严应当引为教训请赐一角发表此信以谢读者又该文引居里 非对称创造了世界一语原文créelephénomène还是译 创造现象为妥一并志此并请


撰安
本文原载于 自然杂志》,1981,(4)

郝柏林
1981127


非平衡统计物理读书会启动!


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