与自然语言描述为主的科学哲学不同，范畴论是数学领域抽象程度的顶峰，是可以以公式或者其它数学表达方式明确指导具体研究的。学习范畴论的过程，也是在体验系统、精确、抽象的科学方法论。理解范畴论促进学科联系的过程，并付诸各领域考察的问题，有望寻找到跨领域的解决之道。
为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。希望这门课程可以帮助大家破除门槛，顺利入门。
此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。今日更新第6课，主题为Hom函子。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。
本次课介绍范畴论最基础的Hom函子，它广泛地描述了诸多的数学问题，也是驱动范畴论自身发展的基本概念。
首先回顾过去初步探讨过的函子，它把对象映射为对象，态射映射为态射，恒等映射为恒等。函子在保持结构方面类似于态射，如群同态和线性映射。函子可以保持同构，因此在一个范畴中在同构的意义上相等的对象，通过函子可以保持到另一个范畴。
用一些例子理解函子。首先介绍集合范畴上的函子。集合的子集族构成幂集，从集合生成幂集的过程视为集合范畴上的函子。本节课之后会进一步讨论这个函子的共变和反变性质，并讨论它和特征函数的关系。有限集合上还可以构造其它的结构。从正整数的构造可以发展出形式语言领域Kleene星的运算，它是自动机、程序设计等领域的基础模型，它描述了有限字符串的幺半群结构，也构成了有限生成的实例。从函子、幺半群的角度理解，从字母表就可以生成全部的字符串，从二元集就可以生成全部的有限二进制信息。
接下来考虑双函子。类比于笛卡尔积上的二元函数，容易理解乘积范畴上的双函子。二元函数固定了变元可以产生一对一元函数，重要的双线性函数就是如此来定义的。类似的双函子固定了变元也可以产生一对函子。这样自然引入了Hom双函子，乃至一对Hom函子。这对Hom函子分别称为共变Hom函子和反变Hom函子。
对于共变和反变的理解，在Hom函子上具有明确的意义。我们介绍了两种Hom函子在构成态射复合交换图方面的联系和精细的区别，这种联系和区别正反映了范畴论重要的对偶的概念。根据共变/反变Hom函子的态射方向的区别，交换图的构造、态射的复合方式是相反的。深刻体会到这种区别，就可以理解为什么共变和反变在Hom函子上是必然的。
本节课的剩余部分用各种例子来说明函子的共变/反变，以及Hom函子的意义。接着前面幂集函子，我们讨论了幂集函子的共变和反变的两种对应方式，构成了函数所诱导的正向像 (direct image) 即像 (iamge) 和反向像 (inverse image) 即原像 (pre-image) ，在幂集函子的角度会有深刻的理解。
几何中常出现参数曲线的问题，我们把这个问题总结为共变Hom函子，它固定了一个单位区间，Hom函子产生的态射集，可以产生几何体上的参数曲线的像。共变Hom函子的共变性质，则体现在两个几何体之间的态射，共变地诱导出两个集合体的参数曲线之间的映射。将这个单位区间替换为圆周，则可以用于研究拓扑学中的许多基本的问题。
反变Hom函子在范畴论和整个数学中具有更大的普遍性。首先讨论了如何用反变Hom函数来描述集合上的函数全体，典型的应用之一就是线性空间上的对偶线性空间，以及相应的拉回(pullback)的概念。反变Hom函子可以描述各种函数集，回顾一开始幂集函数的例子，我们介绍了特征函数，它是取值在二元集上的一种函数，它和子集一一对应，于是幂集和特征函数的集合同构。进一步抽象地看，幂集函子和反变Hom函子本质上相同，这种内在的联系未来在范畴论中还会有进一步的讨论。
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函子的概念和实例
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乘积范畴、双函子、Hom函子
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交换图，复合律，共变和反变的区分
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共变Hom函子
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J-CAT猫圈
教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。
课程大纲（第一季）：
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线性代数——范畴的视角
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集合范畴和等价关系
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偏序集范畴
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Abel群范畴
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线性空间的范畴化构造
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Hom函子
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线性空间的对偶性
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正向极限与逆向极限
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正合
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从集合到拓扑空间
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自由函子
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课程目的
课程适用对象
如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！
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