集合论中单射与满射的概念，在赋予了代数结构后对应特定范畴中的单同态与满同态。引入左右交换律来定义单态射与满态射，可以看出明确的左右对偶性，并且推到范畴论的一般情况，产生了许多同调代数的方法。

子集、子群、线性子空间等概念，在范畴中统一用子对象刻画。描述子对象的工具是单态射下的内射嵌入。用类似于极限的方式可以构造中介态射，形成子对象之间的偏序。类似地，也可以用满态射下的投射，以及相应的中介态射，构造商对象。子对象与商对象构成了一对应用广泛的对偶概念。

同调的方法着重于对Abel范畴的研究，最基本的例子就是Abel群范畴。注意到平凡Abel群，也就是范畴中的零对象，作为终对象与始对象，自动构造了单态射与满态射。并且产生了一个平凡的正合的情况。正合是同调的基本设定。同调方法关注的是相邻两次复合态射退化的问题设定，例如拓扑中 “边界没有边界” 的现象。相邻两次复合态射退化等效于前一次态射的像是后一次态射的核的子集，若核与像这两个集合相等则是正合。

正合和同调的描述方式代表着现代数学的观点。为了阐明正合的意义，我们回顾了代数中基本的Abel群的第一群同构定理。首先介绍了核、像、余核、余像这些对偶的概念，它们在子对象与商对象中也是成对出现的。同构定理本质上是描述了核与余核的同构，这种同构是子对象与商对象的同构。满足这种条件的范畴往往被纳入到Abel范畴的框架下。

态射序列的正合性质是许多现代数学问题的基本设定。从方法而言，短正合序列则是更加基础的研究工具。短正合序列高度对偶化，其中出现的零对象，同时体现了始对象与终对象的对偶，单态射与满态射的对偶，子对象与商对象的对偶。更重要的是，在短正合序列中出现了核与余核的对偶。代数中基础的同构定理，不限于具体的范畴，在短正合序列中都有了对偶的体现。

• 单与满

• 子对象与商对象

• 正合

• 短正合序列 

J-CAT猫圈

教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第一季）：

1. 线性代数——范畴的视角

2. 集合范畴和等价关系

3. 偏序集范畴

4. Abel群范畴

5. 线性空间的范畴化构造

6. Hom函子

7. 线性空间的对偶性

8. 正向极限与逆向极限

9. 正合

10. 从集合到拓扑空间

11. 自由函子

12. 从几何到代数——同调群的构造

课程目的

• 为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程

课程适用对象

如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

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