论文题目：

Estimating entropy production from waiting time distributions

论文链接：

https://journals.aps.org/prl/accepted/4d075YbbR541d185849704f9f6367aec6ec68f0ef

对一个活系统来说，运动、生长及繁衍，都会产生额外的熵。但是由于我们观察到的生物自由度通常只是一小部分，看到的一个系统能够产生的熵的最大值也只是冰山一角，因此估计系统产生熵的最大值，变得很困难。尤其是，很多系统中观测到的状态，只包含开或关两个状态，例如基因调控网络，但这样的系统实际上是远离平衡态的。

该研究提出的方法是，根据系统在不同状态停留时间的长短变化，估计系统的典型组成，之后通过解最优化问题，找出所有系统都必须满足的熵增速率，由此估计熵产生率。下图所示的是符合马尔可夫性的系统，处于状态A和状态B的时间的概率密度分布。由于状态A的分布不符合单调性，这一特征意味着系统处于非平衡态。

图1. 该模型使用的数据展示

研究中利用了牛的行为动力学数据来说明方法的有效性。根据牛运动和趴下的时间，或处于静态基因调控网络中的基因表达量分布，来预估牛产生的熵的数值。下图中，图 (c) 展示了观察状态是牛趴下或站立的时长，图 (b) 展示在不同状态下，Glutaminase和Bmal1基因调控网络的对应蛋白的表达量概率密度分布。

经过实验，图 (a) 展示了根据多个状态估计的标准化后的熵产生率（横轴）和不同状态间时间的差异（纵轴），由此得出的基因调控网络的熵的产生量，以及不同运动量的牛产生的熵，都和模型预估的数值一致。即奶牛趴下的时间分布最偏左（经常起来），其次是室外的肉牛，而室内养殖的肉牛趴下时间最长，由此预估的其产生的熵也越少。

而在连续状况下，采样率的提升会使得估计更准确。下图展示了根据心电图得到的心率数据估计的不同动物的熵产生率。相比狗来说，小鼠的心跳分布更加集中在特定的时间段上（差异不明显），对应的其产生的熵也比狗低（左图）。而10-19岁处在发育期的少年，比40-49岁的中年产生的熵要多（左图），由此说明了该方法的可行性。

图3. 根据不同动物的心率数据，估计的熵的产生

总结来看，熵的产生是活系统能够对抗热力学第二定律的源泉，而根据粗粒化观察到的状态持续时间，经由算法可以推算熵的产生，为活系统的研究提供了帮助，例如量化不同处于远离平衡态的系统面对的权衡。该发现还未对不同活系统的发育及衰老过程进行对比。甚至对于金融系统、物流网络这样的人造活系统，也可能能使用该模型提出的方法，估算其熵产生率。

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