导语


范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。


为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。希望这门课程可以帮助大家破除门槛，顺利入门。此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新，首次开放三节，欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。


特别提醒：我们也为大家提供了交流的微信群，请报名的小伙伴，在报名页面，找到并添加助教微信哦，期待你的加入。


在当代数学根深叶茂的体系中，范畴论是最年轻、最抽象、离生活最远的分支，到如今已经发展了数十年，其影响波及许多领域。范畴论不仅早已摆脱在发展初期连数学工作者都认为是“抽象的废话(abstract nonsense)”的形象，如今反而不断渗透到数学的各大分支，影响到物理、信息、生命科学、社会科学、哲学等诸多领域，大有一统江湖的势头。

2021年5月，集智学园开出了范畴论精品入门系列的第一季课程。我们以 “人人可学范畴论” 为宗旨，从相当低的起点组织内容，帮助大家用范畴的角度看待熟知的问题，感受范畴论的思维方式，获得从例子中学习抽象的范畴论知识的能力。课程中补充了必要的前置数学知识，以便更多的学员破除门槛登堂入室。

现在第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新，首次开放四节，欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入。

特别提醒：我们为大家提供了交流的微信群，请报名的小伙伴，在报名页面，找到并添加助教微信哦，期待你的加入。




什么是范畴论




范畴论提供了系统、精确、抽象的跨领域科学方法论。不同知识领域的问题按照特定的范畴来组织，范畴论通过函子来连接不同领域的不同范畴，实现跨领域的研究。函子把源范畴的结构映射到目标范畴。复杂的范畴可能转化到简单的范畴，陌生的范畴可能转化到熟悉的领域中的范畴，抽象的范畴可能转化到易于计算的范畴。

范畴论尽可能地用函子来构造这种跨范畴的联系，构造一个好的函子，把原有领域范畴重要的结构信息，更多地保持到目标范畴中。具体构造时就需要特定领域的知识了。

在范畴论发明前，并没有系统化的跨领域联系的方法论，许多科学的进展都依靠科学家天才的联想能力。比如 Galois 对群和域这两个范畴的联想，促进了数论和群论的大幅发展。如今在范畴论中这种联想系统化地发展成为了 Galois 连接。

与自然语言描述为主的科学哲学不同，范畴论是数学领域抽象程度的顶峰，是可以以公式或者其它数学表达方式明确指导具体研究的。学习范畴论的过程，也是在体验系统、精确、抽象的科学方法论。理解范畴论促进学科联系的过程，并付诸各领域考察的问题，有望寻找到跨领域的解决之道。

范畴论诞生于 20 世纪 40 年代，背景是人们试图用更简单的代数方法来解决一个困难的拓扑问题。上世纪初几何学的发展亟待为拓扑学注入新的思想，范畴论成为研究拓扑学、代数学、数论等不可缺少的工具。数学家们将这些工作整合为范畴论，许多名家在自己的领域用范畴论的方法开拓疆土，反过来又促进了范畴论的发展。

数十年前，范畴论在代数学家和拓扑学家的小圈子里，也有“抽象的废话(abstract nonsense)”的“声誉”。Mac Lane 经典的范畴论教材 Categories for the Working Mathematician (GTM系列，数学工作者必知的范畴学，世界图书出版公司有影印版) ，更被黑为“代数学家的范畴学”，言下之意其抽象程度也只有数学领域最抽象的代数学家才能学会。

数十年后，新颖的数学教材和专著，纷纷以范畴论替代集合论，作为建立领域知识体系的基础。许多数学界的研究人员放下了历史包袱，愿意在自己的研究领域体会范畴论的思想，在代数几何、数论、乃至分析等方面开拓疆土。不仅如此，物理学家、计算机科学家、语言学家、系统学家等也纷纷投入范畴论在各自领域的应用中。




我们怎么讲授范畴论




许多偏理论的文献往往以集合论的章节作为开篇的预备知识。而当代前沿的研究文献，越来越多以范畴论作为开场白，范畴论已经成为一种方便的描述语言。经过范畴论第一季和第二季的课程学习，你将对范畴论的描述方式不再陌生，可以直接进入相关的研究主题。

如果你有数学专业背景，在第一季中看到的都是熟悉的知识：群、环、模、线性空间、拓扑……然而，在我们的课程中，采用了范畴论的语言对其进行了再叙述，用范畴的角度来看待熟知的问题，感受范畴论的思维方式。在熟悉基本的范畴论语言后，即便在代数拓扑、代数几何中遇到范畴化的描述，也不会成为学习的障碍。

总的来说，第一季课程的主要目的是为了让学员能够看懂一些范畴论中常见的例子，这样才能从例子中，学习抽象的范畴论知识。我们已经习惯于把各种具体的问题转化为范畴的问题——一切问题都是箭头的问题。在各种箭头之间进行抽象的研究，并非是一种抽象废话的智力游戏，而是对现实问题的高度抽象和广泛联系。

习得这种思维方式后，范畴论第二季的课程将站在一个新的起点上，会更多关注范畴论内在的问题。对抽象的箭头本身的研究，通常涉及到范畴论研究的主要话题，如函子范畴、2-范畴、自然变换、可表函子、Yoneda引理、泛性质、伴随函子、单子等等。

第一季课程从线性代数入门，自然第二季中也会从线性代数展开张量的概念，从线性空间的张量，到模的张量、张量代数，以及范畴论中的 Abel 范畴和幺半范畴。第二季的内容基本上涉及到了通常范畴论教程的主要内容，包括拓扑、代数几何、量子物理、量子信息等范畴论应用较深入的方向，第二季学到的知识和思维方式，可以直接帮助你走到研究前沿。




课程介绍




课程大纲（第二季）（待定）

  1. 用箭头构造矩阵（免费公开）
  2. 函子范畴（免费公开）
  3. 可表函子I
  4. 可表函子II
  5. Yoneda引理
  6. 伴随函子
  7. 张量积
  8. 张量代数
  9. 幺半范畴
  10. 单子
  11. 泛性质
  12. Abel范畴


课程讲师

本季课程仍由第一季授课老师J-CAT讲授。教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。研究兴趣包括：范畴论、动力系统、人工智能。

J-CAT猫圈


你将获得

范畴论第二季课程面向已经具备范畴论基本概念和相关数学背景（第一季课程大体所覆盖的知识），期望进一步学习范畴论的学员。

经过本季课程学习，学员将初步掌握函子范畴、2-范畴、自然变换、可表函子、Yoneda引理、泛性质、伴随函子、单子等重要概念。

学习建议

集智范畴论入门系列课程第一季的学员从在读的大学生、在职的数学爱好者、研究生、教学科研人士，到一个研究课题组的师生。他们的研究兴趣包括数学、物理、量子信息、人工智能、计算理论、生命科学、经济学等，这既体现了集智社区活跃的交叉学科学习氛围，也体现了范畴论第一季的设计初衷，打造一个“人人可学”的范畴论入门课程。第一季收到了很多学员积极的反馈，想听听大家怎么说，可见文章：范畴论人人皆可入门？老师和同学们这样说——

如果您满足以下任意条件，但尚未有基础的范畴论知识，请先学习第一季课程：
  • 对现代数学体系和方法论有兴趣
  • 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者
  • 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者
  • 希望了解范畴论的思维方式
  • 有兴趣的中学生

第一季课程报名链接，可见推文：人人可学的范畴论——跨领域的科学方法论 | 精品入门系列课

正如在公开课中谈到的，范畴论是数学中最抽象的分支，通常需要完成线性代数、抽象代数、同调代数、拓扑等先修课程后，才能有足够的知识准备和抽象思维能力，进入范畴论的学习。考虑到大部分潜在学员都没有系统地学习过数学专业课程，我们在第一季以相当低的起点起步。

如果您已经具备范畴论第一季课程大体所覆盖的知识，便可以开始第二季课程的学习之旅。

范畴论第一季课程的起点较低，在学习范畴论的过程中还穿插了许多线性代数、拓扑、抽象代数等方面的数学背景知识。这些具体的数学背景知识对于理解范畴论中的例子和概念是非常重要的。在第二季的课程中，我们会反复提示学员复习第一季的相关概念。对第一季的理解程度往往影响第二季的学习效率。第二季课程要求学员对第一季的知识完全掌握，不仅要掌握第一季中出现的范畴论概念，还要熟悉这些数学背景知识。



范畴论相关参考资料




参考书籍


范畴论是新生的前沿数学。数十年前的数学专著往往从集合开始展开，而现在的趋势是许多数学领域都是从范畴作为起步的章节。遗憾的是，目前为止并没有中文方面优秀的范畴论教材或专著。
下面列出的参考书籍对于非数学专业人士而言均有一定的门槛。我们列举这些书籍是为了方便延伸到具体的数学领域，但不主张直接以这些书籍自学，这些书籍也并非本课程学习所必需的。通过本系列的课程，从比较低的起点完成了范畴论的入门环节后，再根据自身兴趣研习会有事半功倍的效果。届时再看这些书籍，如果有豁然开朗的感觉，便体现了本课程的宗旨。
  • [黎景辉2014] 高等线性代数学。本书以线性代数的思维主线，从矩阵的具体运算发展到抽象代数中的模和模范畴，引入同调代数的方法，最后以范畴论结束。本书以较高的视角重新审视基础的线性代数，需要读者对线性代数、抽象代数有所温习。

  • [李文威2019] 代数学方法(卷一：基础架构)。本书是中文出版观点较为现代的代数学教程，全书贯穿了范畴论的思维方式。对于初学者本书有一定难度，可配合市面上常见的大学代数教材一起学习。

  • [Aluffi2009] Algebra: Chapter 0. 本书是颇受好评的以现代数学观念讲授大学代数的教材，在讲授代数的同时也引入了范畴论的方法。篇幅和详细程度也适合系统性的学习。

  • [Anderson1992] Rings and Categories of Modules（有汉译）。本书是GTM系列的一本，适合已经有大学代数基础，希望进一步学习同调代数和范畴论的读者。本书联系了先修的线性代数、环和模理论，以及后继的更加抽象的范畴论。在学习范畴论过程中，如果感到缺乏实例的支持，可以回到本书中以具体的实例来理解。


以下列出若干拓扑学教程，特色都是以范畴化的方式讲解。
  • [May1999] A Concise Course in Algebraic Topology.
  • [Dieck2008] Algebraic Topology.
  • [Spanier1981] Alebraic Topology.
范畴论入门参考书籍：
  • [Harold Simmons2011] An Introduction to Category Theory

  • [Marco Grandis2018]  Category Theory and Applications: A Textbook for Beginners

观点较为新的可参考：
  • [Spivak2014] Category Theory for the Sciences

  • [Riehl2016] Category theory in context

  • [KuśMarek2019] Category Theory in Physics, Mathematics, and Philosophy

参考论文

  • Maruyama Y. Category theory and foundations of life science: A structuralist perspective on cognition[J]. Biosystems, 2021, 203: 104376.

  • Riehl E, Verity D. Elements of∞-category theory[J]. Preprint available at www. math. jhu. edu/~ eriehl/elements.pdf, 2018.

  • Leinster T. Basic category theory[J]. arXiv preprint arXiv:1612.09375, 2016.

  • Smith P. Category theory: a gentle introduction[J]. 2016.

  • Linnebo Ø, Pettigrew R. Category theory as an autonomous foundation[J]. Philosophia Mathematica, 2011, 19(3): 227-254.

  • Blute R, Scott P. Category theory for linear logicians[J]. Linear logic in computer science, 2004, 316: 3-65.

  • Fuchs J, Schweigert C. Category theory for conformal boundary conditions[J]. Fields Institute Commun, 2003, 39: 25.

  • Feferman S. Categorical foundations and foundations of category theory[M]//Logic, foundations of mathematics, and computability theory. Springer, Dordrecht, 1977: 149-169.





报名须知




一、学费
本次课程学费 699 元。（可开发票）

二、报名咨询

关于课程有疑问，可以联系集智小助手咨询，微信ID：swarmaAI。


三、参与形式
此次系列课程为周更课程，共计 12 节，每周日中午 12 点更新。可通过访问课程链接看课。
课程链接：https://campus.swarma.org/course/2723


四、报名途径

1. 扫码后点击“立即购买”，可选择单独购买本课程，或组合购买课程。

2. 如果你已购买范畴论第一季课程，推荐选择“打包购买”，仅需支付第二季的85折优惠后价格 595 元（11月30日之前有效）~


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购课链接：https://campus.swarma.org/course/3456


支付宝与微信支付均可付费。付费后，请在课程详情页面，扫码二维码填写“学员登记表”，填表结束后，会弹出课程助教微信二维码，添加助教微信，即可加入课程交流群，与老师同学互动。本课程可开发票。

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