文小刚：月新年异的量子拓扑物态

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导语

以量子霍尔效应和高温超导的发现为契机，又受到量子信息科学起飞的影响，凝聚态物理有了轰轰烈烈的发展。特别沿着量子拓扑物态这一主线，我们对物质的形态及其演生出的新的物理性质和物理规律有了更深刻的理解。这些新的物理性质可以用来建造各种新器件，如实现拓扑量子计算的器件。发现的新的物理规律，甚至包括了描写基本粒子的规律。这好像暗示着，我们周围的真空就是一个由众多量子比特所形成的量子拓扑物态，而基本粒子是这个量子物态上的激发。这导致了一个信息与物质统一的新的世界观。

量子拓扑态之所以有这么多新奇的性质和规律，是因为其内部隐含的多体量子纠缠结构，而不是反映球面环面的拓扑结构。量子拓扑不是拓扑，而是纠缠。多体量子纠缠是一个全新的现象，需要用全新的数学来描写。一个还正在发展中的抽象数学，高阶范畴学，就这样进入了物理。数学的前沿和物理的前沿如此的接近，还是牛顿以来的第一次。数学物理的相互激励，导致了高阶范畴学和凝聚态物理的蓬勃发展。这些深刻的进展相当于一次新的物理革命——第二次量子革命。需要指出的是，这些发现是由许多科学家努力完成的，诺奖仅仅是表彰了其中的一些亮点。本文将延历史脉络介绍这些革命性的工作，短短数十年，我们对量子拓扑物态的认识已经发生了翻天地覆的变化。

文小刚 | 作者

过去三四十年来，凝聚态物理有许多革命性的进展。特别是过去一二十年来，这些惊艳的进展以爆发的形式出现。这些进展的一个主线，是对量子物态有了更深刻的理解。下面我将简单介绍这一方面的发展。

1. 对称所描写的物质世界

我们的世界丰富多彩，各种物质形态千变万化。可是所有这些物质态都有相同的组分，都是由质子中子电子所组成的。为什么相同组分的物质会有如此多的形态？各种不同物质态的精髓到底是什么？1940年朗道给出了一个答案。他认为各种物质态之所以不同，是因为形成它们的质子中子电子所组成的结构，有不同的对称性。从这个观念出发，他发展了各种物质态（也称之为相）和它们之间相变的理论。朗道的这一理论，成为所有物态和所有相变的标准理论，也成为凝聚态物理的一块基石。

2. 走出对称的世界

1980年整数量子霍尔效应被von Klitzing发现[1]，其霍尔电导只能取整数值，与材料无关。通常一个材料的电导和它的纯度、温度等条件密切相关，所以这一发现让人大摔眼镜，后来Thouless等四人意识到[2]，整数量子化的霍尔电导，和电子能带的一个拓扑不变量——陈数——直接相关。由陈省身所发展的关于陈数的抽象数学理论，就这样进入了凝聚态物理。整数量子霍尔效应是第一个量子拓扑物态，其实验发现和其拓扑理论解释都获得了诺贝尔奖（1985年 von Klitzing，2016年部分 Thouless）。

其实Thouless等人关于整数量子化霍尔电导的陈数理论，是基于电子能带理论的，其只适用于没有相互作用的电子体系。当多电子体系有相互作用的时候，特别是当相互作用比较强的时候，其物理性质根本不能用电子能带理论来描述。因为这时候电子能带根本就无法定义。这样就产生了一个疑问，当多电子体系有相互作用时，由电子能带的拓扑性质所推导出的整数量子化电导，到底还成立不成立？这一问题被Avron、Seiler、牛谦、Thouless和吴咏时解决[3-4]。他们针对有相互作用的多体电子体系，引入了一个全新的拓扑不变量。其实整数量子化霍尔电导是由这一新的拓扑不变量来直接决定的，而不是由电子能带的陈数来直接决定的，特别是在有相互作用的情况下。这样第一个量子拓扑物态的理论就完全建立起来了。

3. 拓扑所描写的新世界

1982年，让人更加吃惊的分数量子霍尔态被崔琦、Stormer和Gossard发现[5]，其霍尔电导只能取一些简单的分数值，如1/3、2/5等等。形成分数量子霍尔态的电子，是不可分割的基本粒子。但在分数量子霍尔态中，一个电子的行为表现，和三个带电1/3的粒子相同。一个不可分割的基本粒子好像被拆成三个带分数电荷的粒子。这一完全没想到的发现也获得了诺贝尔奖（崔琦, Stormer, Laughlin, 1998）。

1986年高温超导被Bednorz、Müller发现（又是一个诺奖发现）[6]。这一发现激励了凝聚态物理理论学家，发展出形形色色脑洞大开的理论。其中一个理论是基于自旋液体的，其中同时带电带自旋的电子，好像自发地分裂成只带自旋的自旋子和只带电的空穴子。空穴子是玻色子，其玻色凝聚可以导致出高温超导。能产生高温超导的自旋液体有很多，其中包括于1988年左右提出的手征自旋液体（破坏了宇称对称）[7-8]，和1991年提出Z2自旋液体（由Z2规范场描写）[9-10]。很不幸的是，30多年后，这些自旋液体还没有在实验材料中找到，虽然在理论上它们是自洽的，而且在某些数值计算的模型中被实现。

整数量子霍尔态、分数量子霍尔态和各种各样的自旋液体，都超出了朗道对称性的理论。这是因为这些物态都带有相同的对称性，但又属于不同的相。在朗道对称理论中，具有相同对称性的物态一定属于同一个相。所以这些量子物态都超越了朗道对称理论，代表了一种新的物质形态。1989年，拓扑序这一概念被引入[11]，用来描写这一新的物质形态。（拓扑序这一名称源于其低能有效理论，拓扑量子场论[12]。）

4. 拓扑序本质是量子纠缠

这一新的物质形态的精髓到底是什么？20年后我们发现这一新的物质形态的精髓（也就是拓扑序的精髓）是长程多体量子纠缠[13]。1989年，量子计算、多体量子纠缠还不流行。其实拓扑序应被称为长程量子纠缠序。我们知道对称性可以用数学中的群论来完全描写。而长程多体量子纠缠是一个全新的自然现象，需要用一个全新的数学语言来描写。通过近十几年的研究，我们发现，这一新的数学语言是一种很抽象的数学：融合高阶范畴学。

长程量子纠缠（拓扑序）能产生很多新奇的物理现象：分数电荷[14]，分数自旋[15]，自旋电荷分离[7-10]，拓扑简并[11]，分数统计[15-16]，甚至non-Abelian统计[17-18]。拓扑简并和non-Abelian统计是拓扑量子计算的基础[19]。拓扑序还展现了拓扑全息原理：拓扑序被其边界完全决定[20-21]。

5. 没有拓扑序的新拓扑物态

——拓扑绝缘体

整数量子霍尔效应有一个简单的推广：当自旋向上的电子数目和自旋向下的电子数目分别守恒的时候，如果这两种电子感受到方向相反的磁场，这些电子会产生整数量子化的自旋霍尔电导。这代表了一种新的物质态，被称为量子自旋霍尔态。可是如何在一块材料中，让自旋向上和自旋向下的电子感受到方向相反的磁场，从而实现这一种新的物质态？这好像是不可能的事情。

后来人们发现电子的一个相对论性效应，自旋轨道耦合，在适当的情况下可以让自旋相反的电子感受到相反方向的有效磁场。2003年前后，张首晟等人，Kane等人，在这方面展开了大量的研究[22-23]。当时遇到的一个拦路虎是，一般材料中的自旋轨道耦合，同时也破坏了自旋向上和自旋向下的电子数目分别守恒，这使自旋霍尔电导无法定义。整数量子化的自旋霍尔电导更加无从谈起。这使得自旋轨道耦合无法产生量子自旋霍尔态。

这时的一个研究思路是，试图重新定义自旋霍尔电导，使这个新的定义，即使在自旋向上和自旋向下的电子数目不分别守恒时也能成立，从而实现量子自旋霍尔效应。很遗憾的是这一思路最后没有成功，浪费了几年宝贵的时间。

2005年，Kane和Mele发现[24]，当有自旋轨道耦合的时候，电子能带会有一个全新的Z2拓扑不变量。这一新的拓扑不变量和量子自旋霍尔电导毫无关系。它的发现代表了一个全新的量子拓扑物态。这一通过理论发现的新的量子拓扑物态，后来被称为拓扑绝缘体。这一理论预言很快被实验实现和证实，开启了拓扑绝缘体的研究方向和热潮。拓扑序的拓扑全息原理同样适用于拓扑绝缘体，并在其发展中起了很大作用。

拓扑绝缘体不是量子自旋霍尔态。不幸的是，一些文献把量子自旋霍尔态和拓扑绝缘体这两种不同的拓扑物态混为一谈，给初学者造成了很大的困惑。另外，拓扑绝缘体没有长程量子纠缠，不含有拓扑序。也有一些文献混淆了拓扑绝缘体和拓扑序，造成了混乱。

含有拓扑序的量子自旋液体和量子霍尔态，是超越朗道对称理论的量子物态。不含拓扑序的拓扑绝缘体，也是超越朗道对称理论的量子物态。我们知道拓扑序的精髓是长程多体量子纠缠。那么拓扑绝缘体的精髓是什么？也许有人会说：拓扑绝缘体的精髓是电子能带的Z2拓扑不变量。其实这种说法不完全正确。电子能带的Z2拓扑不变量只适用于没有相互作用的电子体系，因为只有没有相互作用的电子体系才能被电子能带来刻画。而拓扑绝缘体这一新的量子物态，不仅出现于没有相互作用的电子体系之中，也出现于含有强电子相互作用的体系。这时电子能带的Z2拓扑不变量这一理论将不再适用。所以我们又回到了原点，拓扑绝缘体的精髓和真实内涵到底是什么？

6. 拓扑绝缘体的内涵——对称保护的短程纠缠

这一探索有一个不同的起点。很早我们就知道，由1/2自旋所形成的，带有反铁磁相互作用的一维自旋系统，由于强量子涨落，不能形成一个自旋序的无能隙的反铁磁态。但它能形成近似于自旋序的无能隙量子态。这时人们普遍认为由1自旋所形成的、带有反铁磁相互作用的一维自旋系统，由于有较弱量子涨落，也一定会形成近似于自旋序的无能隙量子态。1983年，Haldane指出这一猜想并不正确[25]（这也是他获得2016诺奖的一个原因）。他发现，只有半整数自旋形成的一维自旋系统，能形成近似于自旋序的无能隙量子态。而整数自旋形成的一维自旋系统，只能形成完全没有自旋序的有能隙量子态。Affleck、Kennedy、Lieb、Tasaki和后来的吴大琪发现[26-27]，这些有能隙的量子态有分数化现象：体系的边界会产生一个有效自旋，其自旋值只是原来形成一维自旋体系的自旋值的一半。

那么这些有能隙、又有边界分数化的量子物态，是不是超越朗道对称理论的新的量子物态？这一问题困惑了物理学家二三十年。直到2012年，这一问题才得到圆满的解决[28]，其答案是有时候是，有时候不是。我们发现由偶整数自旋所形成的有能隙量子态，并没有超越朗道对称理论，是老的量子物态。而由奇整数自旋所形成的有能隙量子态，是超越朗道对称理论的新型量子物态[29]。这一新型量子物态并没有长程量子纠缠（也就是说没有拓扑序）。

一个量子物态，如果没有拓扑序，大家一直以为这个量子物态一定是一个能被朗道对称理论所描写的老的量子物态。的确，如果没有对称性，这一观点是正确的。因为如果没有对称性，所有没有拓扑序的量子体系都属于同一个相。这与朗道对称理论的结论相吻合：如果没有对称性，所有有能隙的量子体系都属于同一个相。

但是如果有对称性，我们会有完全不同的结论。2009年顾正澄和我研究了奇整数自旋所形成的有能隙量子态[29]。我们发现这些有能隙量子态没有拓扑序，只具有短程量子纠缠。它们和0自旋所形成的有能隙量子态具有完全相同的对称性，同时又都不含有拓扑序。可奇怪的是，我们发现这两种有能隙的量子态又属于不同的相。这说明在有对称性的情况下，不含有拓扑序同时又具有相同对称性的量子态，完全可以属于不同的相。这超出了朗道对称理论的认知，属于新的一类量子态。我们把这一类量子态，称为对称保护平庸态（这里平庸指不含拓扑序）。可因其分数化的边界自旋，当时已经有很多人把整数自旋所形成的有能隙量子态，称为拓扑物态。所以我们把这一类量子态，又称为对称保护拓扑态。两种名字的英文缩写都是SPT。一个名字，两种理解，因人而异，各取其用。

因为拓扑绝缘体不含拓扑序，但带有对称性，并受对称性保护，所以拓扑绝缘体的精髓和内涵是对称保护的短程多体量子纠缠，是属于一种SPT量子物态。这一理解适用于没有相互作用的电子体系，也适用于有相互作用的电子体系，又适用于有相互作用的玻色子体系，是一个本质上的理解。

短程多体量子纠缠是一个比较简单的量子现象，加上对称性也没有复杂很多。一两年后我们就发现了描写这一物理现象的数学语言：群的上同调理论[30]。这也是一个比较抽象的近代数学。

7. 21世纪属于量子纠缠

一个全新的物理现象，常常需要一个全新的数学语言。而数学语言的发展又能帮助我们建立这一物理现象的完备理论。凝聚态物理最新的一些发展正反映了这一历史规律。这些发展和量子计算，基本粒子理论和量子引力理论都有非常广泛深刻的联系，甚至指出了一个物质与信息统一的新的世界观。这似乎也揭示了21世纪物理的主角应该是量子纠缠。

参考文献

[1] K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

[2] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982).

[3] J. E. Avron and R. Seiler, Phys. Rev. Lett. 54, 259 (1985).

[4] Q. Niu, D. J. Thouless, and Y.-S. Wu, Phys. Rev. B 31, 3372 (1985).

[5] D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

[6] J. G. Bednorz and K. A. Mueller, Z. Phys. B 64, 189 (1986).

[7] V. Kalmeyer and R. B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 59, 2095 (1987).

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[10] X.-G. Wen, Phys. Rev. B 44, 2664 (1991).

[11] X.-G. Wen, Phys. Rev. B 40, 7387 (1989).

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[13] X. Chen, Z.-C. Gu, and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 82, 155138 (2010), arXiv:1004.3835.

[14] R. B. Laughlin, Phys. Rev. B 23, 5632 (1981).

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[16] J. M. Leinaas and J. Myrheim, Nuovo Cim B 37, 1 (1977).

[17] X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett. 66, 802 (1991).

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[19] A. Kitaev, Ann. Phys. 303, 2 (2003).

[20] X.-G. Wen, Phys. Rev. B 43, 11025 (1991).

[21] L. Kong, X.-G. Wen, and H. Zheng, (2015), arXiv:1502.01690.

[22] S. Murakami, N. Nagaosa, and S.-C. Zhang, Science 301, 1348 (2003), arXiv:cond-mat/0308167.

[23] C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005), arXiv:cond-mat/0411737.

[24] C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 146802 (2005), arXiv:cond-mat/0506581.

[25] F. Haldane, Phys. Lett. A 93, 464 (1983).

[26] I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb, and H. Tasaki, Phys. Rev. Lett. 59, 799 (1987).

[27] T.-K. Ng, Phys. Rev. B 50, 555 (1994).

[28] F. Pollmann, E. Berg, A. M. Turner, and M. Oshikawa, Phys. Rev. B 85, 075125 (2012), arXiv:0909.4059.

[29] Z.-C. Gu and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 80, 155131 (2009), arXiv:0903.1069.

[30] X. Chen, Z.-C. Gu, Z.-X. Liu, and X.-G. Wen, Science 338, 1604 (2012), arXiv:1301.0861.

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