导语

范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。

此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。本文介绍第7课，主题为张量积。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。

课程简介

张量积的概念遍布数学从具体到抽象的许多方面，从线性代数中的双线性映射，微分几何和物理中的张量积，到模的张量积，模范畴的张量函子，张量的概念会逐渐抽象。范畴论将张量积视为一种泛性质，也视为Hom函子的伴随函子。之后的幺半范畴、单子也以张量为基本的例子。这些概念都需要对张量积有实际的认识。

范畴论研究箭头，箭头的并行化组合是基本的问题。从矩阵的箭头方式，讨论了直和方式的并行化。线性映射的并行化在矩阵表示下构成了分块对角矩阵。直和的问题在于，它不是双线性映射，无法纳入到线性空间范畴中考虑，需要张量积来构造性质更好的双线性映射。

接下来用一个常用的例子，复的Hermite内积来阐述生活中的旋转张量。这个例子统一了平面上通常的内积、外积的几何意义，并且用双线性的方式将其统一考虑。用Euler公式给出了复的版本，用复的双线性的Hermite内积统一起来。在基的变换下，观察到旋转不变的结构，并用张量积的方式描述。

最后，在线性空间范畴中，用中介态射的方式，描述了双线性映射的因子化问题，其中的泛性质就是张量积。

课程大纲

• 并行化
  

• 双线性
  

• 张量积

课程讲师

J-CAT猫圈，教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第二季）

1. 用箭头构造矩阵（免费公开）

2. 函子范畴（免费公开）

3. 可表函子I

4. 可表函子II

5. Yoneda引理

6. 伴随函子

7. 张量积

8. 张量代数

9. 幺半范畴

10. 单子

11. 泛性质

12. Abel范畴

学习建议

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

报名途径（长期有效）

1. 扫码后点击“立即购买”，可选择单独购买本课程，或组合购买课程。

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