导语

范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。

此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。本文介绍第8课，主题为张量代数。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。

课程简介

首先回顾了直和和张量积的概念，用箭头的方式描述了矩阵张量积的Kronecker积构造。

接下来考虑结合律问题。从Cartes积的构造可见，三元Cartes积是集合范畴内的三元函子，且和结合顺序有关。Cartes积作为三元函子并不满足结合律，但若以等价替代相等，则可以在不同的结合方式间建立集合范畴的同构，这里体现范畴论更大的格局。类似的，三元张量积也不满足结合律，同样可以以等价替代相等。构造范畴上的三元张量函子，两种结合方式则通过自然同构来连接，在同构的意义上便有了三阶张量。

两个张量做张量积，其阶数是各自阶数之和。有限阶的张量积还是有限阶的。在同构的意义上所满足的结合律，不要求结合的顺序，因此可以构造封闭的张量积运算，构成张量代数。我们的课程一直用线性代数为例讲范畴。从双线性映射角度看，矩阵乘法只是张量积上的线性映射的结果而已，可见张量积的泛性质的意义。

课程大纲

• 张量积的范畴化定义
  

• 张量积的结合律

• 张量代数

  
  

课程讲师

J-CAT猫圈，教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第二季）

1. 用箭头构造矩阵（免费公开）

2. 函子范畴（免费公开）

3. 可表函子I

4. 可表函子II

5. Yoneda引理

6. 伴随函子

7. 张量积

8. 张量代数

9. 幺半范畴

10. 单子

11. 泛性质

12. Abel范畴

学习建议

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

报名途径（长期有效）

1. 扫码后点击“立即购买”，可选择单独购买本课程，或组合购买课程。

2. 如果你已购买范畴论第一季课程，推荐选择“打包购买”，仅需支付第二季的85折优惠后价格 595 元（11月30日之前有效）~

点击“阅读原文”，即可报名课程