导语

范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。

此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。本文介绍第9课，主题为幺半范畴。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。

课程简介

首先简短回顾了张量积概念的发展，包括在线性空间和模范畴上的直和和张量积。从幺半群的代数概念出发，引入幺半范畴。幺半群上有一个封闭的二元运算，代之以双函子的方式描述，最直接的例子就是张量积。用计算机科学中的表达式树，描述了三元运算的不同结合顺序，幺半群中的结合律，其范畴化的描述就是在两个三元函子上，通过自然同构建立等价，构成了条件更为宽松的结合律。

用函子化的方式改造幺半群的构造方式，引入了幺半范畴。幺半范畴的定义拆解开，主要部分就是如何用自然同构来描述结合律和左右幺元律，以及这些条件的组合，即所谓的一致性条件。

作为实例，我们在集合范畴上用直积构造了一个幺半范畴的例子。作为对比，还引入了Hilbert空间范畴，用线性空间的张量积构造了幺半范畴的另一个例子，这个例子是许多前沿的量子理论研究的基础。从某种角度看，集合范畴和Hilbert空间范畴在构造幺半范畴后的不同，形成了经典/量子理论的分野。

课程大纲

• 张量积概念的发展
  

• 幺半群和幺半范畴

• 一致性条件

• 例子

  
  

课程讲师

J-CAT猫圈，教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第二季）

1. 用箭头构造矩阵（免费公开）

2. 函子范畴（免费公开）

3. 可表函子I

4. 可表函子II

5. Yoneda引理

6. 伴随函子

7. 张量积

8. 张量代数

9. 幺半范畴

10. 单子

11. 泛性质

12. Abel范畴

学习建议

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

报名途径（长期有效）

1. 扫码后点击“立即购买”，可选择单独购买本课程，或组合购买课程。

2. 如果你已购买范畴论第一季课程，推荐选择“打包购买”，仅需支付第二季的85折优惠后价格 595 元（11月30日之前有效）~

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