一分钟数学：范畴论

导语

范畴论为在复杂的科学领域中表述和解决问题提供了一种形式化的抽象语言，来描述对象之间的相互作用。除了数学，范畴论的应用遍及神经科学、化学、生物学、集成电路、计算机科学甚至宇宙学。

研究领域：范畴论

Rachel | 作者

陈昊 | 译者

J-CAT | 审校

邓一雪 | 编辑

在今年的Black Heroes of Mathematics会议上，来自南非夸祖鲁-纳塔尔大学的博士生Maurine Atieno Songa带来了一次关于范畴论的精彩分享。

Songa解释道：范畴论可以帮助你尝试理解各种系统之间的联系。这里的范畴是指多个对象以及每对对象之间的态射（morphism，通常用箭头进行表示）。

在数学语言的描述中，这些态射需要具有以下性质：

1. 必须存在一个恒等态射可以将一个对象映射到其自身，如图1所示范畴中的映射1_A：A→A

2. 态射可以组合。如果存在两个态射f和g，f可以将A映射为B，g可以将B映射为C，则一定存在映射fg可以将A映射为C。

3. 恒等态射和一般态射的组合必须要满足单位律（unit law axiom），即如果有f:a→B则有f1_A=f=1_Bf。

4. ‍态射需要满足结合律，即(hg)f=h(gf)。‍

图1. 范畴的示例（基于kamusumeFan绘制）

为了帮助我们更好地理解这一概念，Songa介绍的一个简单且直观的例子。在图2所示范畴的对象包含三个集合：所有DNA序列的集合、所有RNA序列的集合，以及所有蛋白质的集合。这些集合与图2中描述其间交互关系的态射（以及图中遗漏的指向自身的恒等映射）一同组成了一个范畴。范畴论可以为在复杂的科学领域中表述和解决问题提供形式化的、抽象的语言（你可以在下文中看到范畴论的应用实例）。

图2. 截自Songa演讲使用的幻灯片，以遗传学范畴作为例子

范畴论提供了一种描述对象相互作用的方法，这其中也包括范畴本身如何相互作用。你可以使用函子（functor）将一个范畴与另一个范畴相关联。基于这种方式，我们可以知道哪些范畴、哪些函子是相互等价的：它们在某种意义上相同，这会比经典的等价概念带来更多的信息。

宇宙学中的范畴论

范畴已经被证明在数学学科中十分有用。事实上，所有数学对象都可以用范畴论的语言进行描述（类似于我们可以将集合论视为数学的基础）。而在Songa的演讲中，最令人惊讶的是，范畴论在数学之外的许多领域的应用（包括神经科学、化学、集成电路和计算机科学）。

Songa特别解释了范畴论在她正在攻读博士学位的领域——因果集宇宙学上的应用。广义相对论根据时空几何解释引力。因果集是一种特殊类型的偏序集（poset），可用于对时空进行描述——对于某些事件，你可以明确说明其发生的先后顺序，但对于有些距离类空间隔的事件（事件之间不可能用低于光速的信息进行联系），不可以说一个事件发生在另一个事件之前（这会存在违反因果关系的行为）。

图3. 区间域的示例。实线上所有闭区间的集合，其顺序由逆集包含(reverse set inclusion)确定。例如，对于图中的闭区间[a,b]在区间域中的排序在闭区间[c,d]之前，因为[c,d]包含于[a,b]。

这些特殊类型的偏序集与被称为区间域（interval domain，其解释见图3）的范畴之间存在一种已知的等价关系。“这意味着我们可以纯粹按照该顺序理论的方式构建时空”，Songa介绍道。她正在思考的博士问题是，这些特殊区间域的特性是什么，这对于重力与时空的描述又意味着什么？

原文链接：

https://plus.maths.org/content/maths-minute-category-theory

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范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

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