导语

范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。

此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。本文介绍第9课，主题为单子。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。

课程简介

“单子不就是自函子范畴上的幺半群而已么，有什么问题吗？” 经过前面对函子范畴、幺半群的讨论，现在可以引入单子。就像范畴关注自态射，在函子范畴的研究中也更加关注范畴到自身的自函子，以及如此构成的自函子范畴。自态射的复合结构产生了幺半群，在自函子范畴中，函子的复合问题则产生了单子。

用自函子的复合，以及自函子和恒等函子之间的自然变换，阐述了单子的定义。用交换图的方式表述，可以联想到张量代数。我们讲解了张量代数中的结合律和幺元律是如何用交换图表示的，它们作为自然同构，和单子中的概念是符合的。

接下来引入例子。熟知的部分函数问题，以及编程中的异常处理，数学上是幂集相关的单子问题。把无定义也就是异常部分视为单点集，原先集合上的函数就转化为了带点集合上的问题，构成了集合自函子范畴上的Maybe单子。

另一个例子是从字母表的集合生成有限字符串，这是Kleene星运算实现的自由幺半群，它也构成单子。这个单子的意义体现在字符串和字符串之间可以串接。

单子的研究和伴随函子也有密切的关系。伴随函子和单子可以互相确定。我们简要阐述了一对伴随函子的复合所产生的自函子。这个自函子可以产生单子。

课程大纲

• 自函子范畴和单子的定义
  

• 幺半群和张量代数

• 幂集和kleene星的例子

• 伴随函子

  
  

课程讲师

J-CAT猫圈，教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第二季）

1. 用箭头构造矩阵（免费公开）

2. 函子范畴（免费公开）

3. 可表函子I

4. 可表函子II

5. Yoneda引理

6. 伴随函子

7. 张量积

8. 张量代数

9. 幺半范畴

10. 单子

11. 泛性质

12. Abel范畴

学习建议

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

报名途径（长期有效）

1. 扫码后点击“立即购买”，可选择单独购买本课程，或组合购买课程。

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