导语


范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。


为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。


此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。本文介绍第12课，主题为Abel范畴。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。




课程简介





这节课是过去众多概念的回顾。我们首先回顾了从相等、互逆、等价到伴随的一系列推进，特别关注到伴随函子的左伴随和右伴随的区别和联系。

矩阵空间是线性空间，它反映了线性空间范畴是闭范畴的性质。从闭范畴的角度看态射集的代数结构，讨论了加性范畴。进一步，用短正合序列的工具阐述了Abel范畴的意义。Abel范畴中有大量的对偶概念，构成同调代数的基础。我们从最自然的Hom函子出发，讨论它的伴随函子。在集合范畴中是直积，在闭的Abel范畴中则是Tensor函子。

短正合序列有左右正合的概念，其最基本的例子就是Hom函子和Tensor函子，以及对应的导出函子，这样产生了同调和上同调的概念。





课程大纲




  • 左右伴随

  • Abel范畴

  • 左右正合





课程讲师




J-CAT猫圈，教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

研究兴趣包括：范畴论、动力系统、人工智能。



范畴论第二季：跨学科的科学方法论

每周更新，持续报名中


课程大纲（第二季）

  1. 用箭头构造矩阵（免费公开）

  2. 函子范畴（免费公开）

  3. 可表函子I

  4. 可表函子II

  5. Yoneda引理

  6. 伴随函子

  7. 张量积

  8. 张量代数

  9. 幺半范畴

  10. 单子

  11. 泛性质

  12. Abel范畴



学习建议


集智范畴论入门系列课程第一季的学员从在读的大学生、在职的数学爱好者、研究生、教学科研人士，到一个研究课题组的师生。他们的研究兴趣包括数学、物理、量子信息、人工智能、计算理论、生命科学、经济学等，这既体现了集智社区活跃的交叉学科学习氛围，也体现了范畴论第一季的设计初衷，打造一个“人人可学”的范畴论入门课程。第一季收到了很多学员积极的反馈，想听听大家怎么说，可见文章：范畴论人人皆可入门？老师和同学们这样说——

如果您满足以下任意条件，但尚未有基础的范畴论知识，请先学习第一季课程：

  • 对现代数学体系和方法论有兴趣

  • 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

  • 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

  • 希望了解范畴论的思维方式

  • 有兴趣的中学生

第一季课程报名链接，可见推文：
人人可学的范畴论——跨领域的科学方法论 | 精品入门系列课

如果您已经具备范畴论第一季课程大体所覆盖的知识，便可以开始第二季课程的学习之旅。

报名途径（长期有效）


1. 扫码后点击“立即购买”，可选择单独购买本课程，或组合购买课程。

2. 如果你已购买范畴论第一季课程，推荐选择“打包购买”，仅需支付第二季的85折优惠后价格 595 元

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购课链接：https://campus.swarma.org/course/3456

支付宝与微信支付均可付费。付费后，请在课程详情页面，扫码二维码填写“学员登记表”，填表结束后，会弹出课程助教微信二维码，添加助教微信，即可加入课程交流群，与老师同学互动。本课程可开发票。

详情请点击：
人人可学的范畴论第二季——跨学科的科学方法论 | 精品入门系列课


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