导语

The European Physical Journal 在2020年推出《非线性和复杂物理学》特刊，介绍了非线性动力学、网络理论以及专注于物理和工程应用的复杂系统这一领域。特刊包含一篇导言和14篇论文，论文涵盖了理论和应用的不同方面，展现了该领域最新研究的多样性。我们对摘要做了编译。

研究领域：网络动力学，非线性，嵌合态，同步，分岔，混沌

Maistrenko, Perlikowski, Yanchuk等 | 作者

潘佳栋 | 译者

黄泽豪 | 审校

邓一雪 | 编辑

特刊主题：

Nonlinear and Complex Physics

特刊链接：

https://link.springer.com/journal/11734/topicalCollection/AC_fec4d925fa041de00bc55772fec926fd

光滑与非光滑振子的广义同步性质
不连续系统中快速而简单的李亚普诺夫指数估计
自适应非局域振子网络中的孤立状态
相位滞后耦合机械振子中的最小嵌合态
具有平衡线的振子的受迫同步
摩托车的俯仰角值的推导
非全同耦合的范德波尔振子网络中的扩展非稳定嵌合区
耦合杜芬振子环中的3-环面解的稳定性
Hénon-Lozi 型映射的分数形式中的分岔和混沌现象
具有随状态变化的驱动时间延迟的主动控制系统的动力学和控制
可激发 FitzHugh-Nagumo 系统系综中的嵌合态
耦合振子网络中的分岔延迟、行波和类嵌合态
惯性耦合振子的螺旋波嵌合态
一种新的具有奇点的巨稳态混沌振子

导言：

非线性和复杂物理学

英文题目：

Preface to special issue in honor of Tomasz Kapitaniak’s 60th birthday: nonlinear and complex physics

原文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-000212-1

作者：

Yuri Maistrenko, Przemyslaw Perlikowski, Serhiy Yanchuk

本期是在 Tomasz Kapitaniak（波兰科学院院士，非线性动力学专家）60岁生日之际，为表彰他在非线性科学和理论力学方面的杰出贡献而专门出版的两期特刊之一。第二本庆祝特刊将很快发表在《机械学》（Meccanica）上。Tomasz Kapitaniak 目前是罗兹技术大学机械工程学院的教授，也是波兰科学院成员。本版重点介绍了Tomasz在网络动力学和嵌合态（Chimera states）领域的研究活动，这是一个现代的、具有挑战性的非线性科学方向。这一期介绍了14篇论文，涵盖了理论和应用的不同方面。我们希望这些论文能够为科学界未来的许多研究提供参考。

本期特刊中约有一半的文章涉及到嵌合态，这是非线性动力学和统计物理学在网络科学中应用的一个迅速发展的分支。其余的文章则从理论到应用，对非线性和复杂物理学的不同方面进行了阐述。下面我们将对每篇文章中得到的结果做一个简短的介绍。

Balcerzak等人[1]研究全同系统与一个同类型主振子单向耦合的同步现象。文中考虑了两类系统，由光滑和非光滑常微分方程给出。作者表明，随着耦合参数的增大，会出现广义同步（generalized synchronization，GS）。首先，振子进行独立运动，然后它们开始在弱GS区下进行同步，最后达到强 GS 状态。这些转变在李亚普诺夫指数（Lyapunov exponents）谱中是可见的。Korneev 等人[5]考虑了一个非自主的基于忆阻器的振子，其平衡线由一个周期性的力驱动。他们提出了两种同步机制：捕获振子的相位和频率，以及通过外部信号抑制振荡。Borkowski等人[8]发表了对单向耦合的杜芬振子（Duffing oscillators）环中3-环面解的稳定性的研究。由于出现了两个以无理数频率（irrational frequencies）为特征的独立效应的叠加，即经典Newhouse、Ruelle和Takens情形，以及此类耦合的典型旋转波流，该解趋于稳定。

Berner等人[3]考虑了自适应耦合相位振子的非局部环形网络中的同步。本文包括对各种频率同步状态的描述，如锁相（phase-locked）、多簇（multicluster）和孤立状态（solitary states），并辅以严格的稳定性分析。文章解释了孤立状态的出现，并对这些状态的产生和稳定的几种不同情形进行了分类。

Balcerzak等人[2]研究了利用李亚普诺夫指数的具有不连续性的系统的稳定性。他们展示了一种快速而简单的指数估计方法，并以一个静止状态下有外力影响的系统为例进行说明。他们提出的算法可以简化对非光滑动力系统的研究。Pei和Jia[10]研究了一个具有状态依赖的驱动时间延迟的主动控制系统。使用Galerkin方法，系统的复杂性被降低到低维近似值。他们利用Routh-Hurwitz判据研究了稳定性和Hopf分岔问题。所有的分析结果都得到了数值模拟的验证。

Wang等人[14]关注最近发现的一种称为巨稳态（megastable）的多稳态系统。这样的系统有无限多的共存吸引子。在1型巨稳态中，吸引子的数量反映了平衡态的数量，在2型中则没有这种关系。作者介绍的第一个巨稳态系统，它的方程具有奇点。使用标准的分析工具，他们展示了各种系统动力学，包括极限循环、环面和奇异吸引子。Lazarek等人[6]提出了另一个工程应用，即摩托车运动学的高精度模型。所介绍的迭代方法允许计算前轮轮胎与地面接触点的正确俯仰角值和位置。它明确说明了翻车状态和颠簸行为之间的依赖关系，并描述了该算法在电子控制单元防止前轮离地现象（wheelie phenomena）中的直接应用。

嵌合态是一种2002年以来了解到的非线性耦合系统中的现象。它的特点是在一个均匀耦合网络中同步和非同步的簇共存。Lu等人[7]研究了一个非全同耦合的范德波尔振子（van der Pol’s oscillators）网络，并研究了嵌合态对振子频率不匹配的鲁棒性。研究表明，与全同耦合系统的情况相比，在非全同系统的情况下，嵌合态会在耦合强度取更高的值时进入完全同步状态。此外，观察到的嵌合态大多是非稳定的。

Maistrenko等人[13]报告了带惯性的耦合相位振子中螺旋波嵌合态的蜕变。当耦合参数进入所谓的孤立区域（solitary region）时，系统会发生异常行为。在这个范围内，嵌合态的螺旋核心背景上存在孤立的振子，它们开始以不同的时间平均频率（Poincare绕数）进行振荡。Ebrahimzadeh等人的论文[4]致力于研究由三个具有相位滞后的全耦合节拍器组成的最小网络中的嵌合态。理论研究得到了实验室实验的支持。嵌合态表现为两个同步振子和一个非同步振子之间的平均频率不匹配。Semenova[11]研究了一个带有噪声的非局域耦合的可激发FitzHugh-Nagumo系统的系综。在系统中加入噪声后会导致出现称为相干-共振嵌合的嵌合态。这是首次在可激发系统中观察到这种现象。Varshney等人的文章[12]专门讨论了参数随时间缓慢变化的驱动FitzHugh-Nagumo振子网络中的类嵌合态。在分岔点附近，它会导致慢通道效应和分岔中的时间延迟。此外，当耦合的对称性被打破时（共轭耦合），人们会观察到类嵌合态的结构出现。

与之前讨论的论文不同，Ouannas等人[9]研究了由 Henon-Lozi 型映射的分数形式给出的离散时间系统的动力学。作者表明，所分析映射的一般行为取决于分数阶（fractional-order），并且他们引入了控制法则来稳定系统的状态。

总之，这期特刊体现了目前对非线性动力学、网络理论和专注于物理和工程应用的复杂系统的广泛研究。我们希望这个论文集能反映出该领域目前研究方向的多样性，并希望对最新进展的汇编确实是及时的。我们要感谢所有投稿的作者，感谢他们提交的文章。由于本版也是Tomasz Kapitaniak 60岁生日的纪念文集，所以投稿人的圈子里包括一些目前在全世界不同国家工作的Tomasz 的长期合作者，而且许多投稿人直接提到了 Tomasz 的成果。

Tomasz，生日快乐！

参考文献：

M. Balcerzak, A. Chudzik, A. Stefanski, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2151 (2020)
M. Balcerzak, T. Sagan, A. Dabrowski, A. Stefanski, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2167 (2020)
R. Berner, A. Polanska, E. Scho ̈ll, S. Yanchuk, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2183 (2020)
P. Ebrahimzadeh, M. Schiek, P. Jaros, T. Kapitaniak, S. van Waasen, Y. Maistrenko, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2205 (2020)
I.A. Korneev, A.V. Slepnev, V.V. Semenov, T.E. Vadivasova, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2215 (2020)
M. Lazarek, J. Grabski, P. Perlikowski, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2225 (2020)
H. Lu, F. Parastesh, A. Dabrowski, H. Azarnoush, S. Jafari, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2239 (2020)
L. Borkowski, A. Stefanski, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2249 (2020)
A. Ouannas, A.-A. Khennaoui, X. Wang, V.-T. Pham, S. Boulaaras, S. Momani, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2261 (2020)
L. Pei, H. Jia, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2275 (2020)
N. Semenova, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2295 (2020)
V. Varshney, S. Kumarasamy, B. Biswal, A. Prasad, Eur. Phys. J. Special Topics 229 2307, (2020)
V. Maistrenko, O. Sudakov, Y. Maistrenko, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2327 (2020)
Z. Wang, H.R. Abdolmohammadi, M. Chen, A. Chudzik, S. Jafari, I. Hussain, Eur. Phys. J. Special Topics 229, 2341 (2020)

1. 光滑与非光滑振子的广义同步性质

论文题目：

Properties of generalized synchronization in smooth and non-smooth identical oscillators

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-000010-5

本文仅在全同激发器和接收器之间单向连接的情况下讨论广义同步（generalized synchronization，GS）现象。特别关注的是耦合的非光滑Chua电路中的GS特性。在存在轻微参数不匹配的情况下，文章对同步状态的鲁棒性进行了分析。分析工具是横向和响应李亚普诺夫指数以及吸引子的分形维度。这些研究显示了平滑（Lorenz系统）和非平滑（Chua电路）振子之间同步状态稳定性的差异。

图1. 共同驱动——具有单向耦合的星形结构。

2. 不连续系统中

快速而简单的李亚普诺夫指数估计

论文题目：

Fast and simple Lyapunov Exponents estimation in discontinuous systems

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900275-x

通常，为了估计n个李亚普诺夫指数的整个频谱，需要对n个扰动进行积分并将其正交化。最近有研究表明，对于平滑系统，计算的复杂性可以降低：整合（n-1）个扰动就足够了。在本文中，作者展示了这种简化方法如何被用于非光滑或不连续系统。除了降低复杂性之外，所提出的方法的优点是简单且易于实施。本文首先简要回顾了光滑和非光滑系统中李亚普诺夫指数的特性和估计方法；然后简要介绍了平滑系统的降低复杂度的算法，详细描述了它对非光滑系统的适应性，并介绍了该方法在碰撞振子（impact oscillator）中的应用。文章对新算法的实现进行了全面的解释，展示并验证了模拟的结果。作者预计所提出的方法可以简化非光滑动力系统的研究，并对该领域的研究提供支持。

图2. 系统的分岔图和李亚普诺夫指数谱

3. 自适应非局域振子网络中的孤立状态

论文题目：

Solitary states in adaptive nonlocal oscillator networks

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900253-0

在这篇文章中，作者分析了一个由自适应耦合相位振子组成的非局域环网络。作者观察到各种频率同步的状态，如锁相、多簇和孤立状态。对于锁相解的一个重要子类，即旋转波，他们提供了一个严格的稳定性分析。该分析表明，它们的稳定性与耦合结构和波数有很大的关系，这与全耦合网络有显著的区别。尽管在大量的动力系统中已经观察到了孤立状态，但文献中基本上没有涉及到它们出现的机制。在这里，作者展示了孤立状态是如何由于网络的自适应特征而出现的，并对这些状态的产生和稳定的几种分岔情况进行了分类。

图3. 孤立状态的示意图。图（A,D）表示耦合矩阵，（B,E）表示相位，（C,F）表示平均频率。(A-C)：α=0.1π, β=-0.3π 的单一孤立状态；(D-F)：α=0.15π, β=-0.41π 的三个未耦合孤立状态。（参数：N=100，P=20，ε=0.01）

4. 相位滞后耦合机械振子中的最小嵌合态

论文题目：

Minimal chimera states in phase-lag coupled mechanical oscillators

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900270-4

作者通过引入相位滞后的全耦合，在三个相同机械振子（节拍器）的最小网络中获得实验嵌合态。为此，他们开发了一种实时的模型在环（model-in-the-loop）耦合机制，允许灵活和在线地改变耦合拓扑结构、强度和相位滞后。嵌合态表现为两个同步振子和一个非同步振子之间的平均频率不匹配。我们发现这种引人注目的 “嵌合 “行为在一个广泛的参数区域内是鲁棒的。然而，在其他参数下，嵌合态会失去稳定性，系统行为表现为三个马鞍型嵌合态之间的异轴切换（heteroclinic switching）。实验观察与模型模拟在性质上一致。

图4. 实验装置配置。三个节拍器都配备了一个磁传感器阵列（霍尔传感器，A），用于非接触测量杆的位置，两个线圈（B）用于对配重施加磁力。为了增加磁信号和磁力，在杆子和配重上安装了钕磁铁（C）。霍尔传感器信号（虚线）在ADC单元中被数字化。在实时处理单元（D），根据ADC数据重建所有节拍器的角度，并计算耦合项。在DAC单元，耦合项被转换为通过线圈并产生磁力的电流（棕色实线）。

5. 具有平衡线的振子的受迫同步

论文题目：

Forced synchronization of an oscillator with a line of equilibria

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900146-9

作者研究了具有平衡线的非自主的基于忆阻器的振子模型。一个由周期性力驱动的系统的数值模拟与通过准谐波约化进行的理论分析相结合。文中展示了相位和频率锁定以及外部信号抑制两种同步机制。由于有可能观察到同一系统在有外部影响情况下的频率——相位锁定的效果，作者将具有平衡线的自主系统中的无阻尼振荡归为一种特殊的自持振荡。研究证实，在所考虑的系统中，相位锁定的发生一直取决于参数值和初始条件。同步区边界对初始条件和参数值的同时依赖性也被证明。

图5. (a) 模型的电路示意图；(b)参数值 α=γ=1，β=0.035，a=0.02，b=0.8 的自主(F(t)≡0)系统的吸引子。红色曲面标志着一组连续的不变闭合曲线（其中一条用蓝色标出），绿色实线是平衡线的吸引流形，绿色虚线是平衡线的排斥流形。

6. 摩托车的俯仰角值的推导

论文题目：

Derivation of a pitch angle value for the motorcycle

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900278-4

在本文中，研究人员考虑了一个新的、高度精确的摩托车运动学模型。他们提出了一种迭代方法，能够计算出前轮轮胎与地面接触点的正确俯仰角值和位置。作者们考虑了具有和不具有前叉侧向灵活性的系统，揭示了与刚性系统相比，具有有限侧向刚度的系统在机动过程中的不同行为。研究证明了翻车状态和颠簸行为之间的相关性。结果表明，所提出的算法可以应用于电子控制单元以防止前轮离地的行为。

图6. 摩托车模型的两个不同视角。在图（a）中，展示了平面P1、P2和Pg，而在图（b）中，展示了模型中使用的坐标和角度系统。

7. 非全同耦合的范德波尔振子网络中的

扩展非稳定嵌合区

论文题目：

Extended non-stationary chimera-like region in a network of non-identical coupled Van der Pol’s oscillators

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-000002-0

嵌合态是由相干和不相干群组成的耦合振子的奇特时空模式。在本文中，作者研究了一个非全同耦合的范德波尔振子网络，并研究了嵌合态对振子频率不匹配的鲁棒性。在不同的不均匀性水平下得到了不同的耦合强度和范围下的网络动态行为，并给出了相图。据观察，参数的不均匀性导致在较高的耦合强度下发生同步，并使嵌合区扩大。与全同网络相比，在非全同网络中，大量的嵌合态区域属于非稳定嵌合态。

图7. (a) 范德波尔振子的分岔图。(b) 范德波尔振子的吸引子。

8. 耦合杜芬振子环中的3-环面解的稳定性

论文题目：

Stability of the 3-torus solution in a ring of coupled Duffing oscillators

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900276-4

作者在全同节点振子的数值模拟中分析了单向耦合的单阱杜芬振子环的动力学特性。研究集中于该系统中稳定的三维环面吸引子的存在性。研究表明，在所考虑的系统的广泛参数范围内，三频准周期性可以是鲁棒的。作为对这种稳定性的解释，作者提出了关于两个以无理数频率为特征的独立效应共存和叠加的猜想，即经典的Newhouse、Ruelle和Takens情形和旋转波流。

图8. 解释三维环面鲁棒稳定性的猜想图解。

9. Hénon-Lozi 型映射的分数形式中的

分岔和混沌现象

论文题目：

Bifurcation and chaos in the fractional form of Hénon-Lozi type map

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900193-4

在本文中，作者对 Hénon-Lozi 型映射的分数形式特别感兴趣。利用离散分数微积分，他们证明，所提出的分数阶映射的一般行为取决于分数阶。通过应用数值工具，如相位图、分岔图、最大李亚普诺夫指数和0-1检验，研究了新的广义映射的动力学特性。结果表明，分数阶 Hénon-Lozi 映射表现出一系列不同的动力学行为，包括混沌和共存吸引子。此外，一个用于稳定分数阶映射的状态的一维控制法则被提出。他们给出了数值结果来说明这些发现。

图9. (a) Hénon-Lozi 映射的分岔图。(b) α∈(1.51, 1.583) 的分叉图的局部放大。

10. 具有随状态变化的驱动时间延迟的

主动控制系统的动力学和控制

论文题目：

Dynamics and control of the active control system with the state-dependent actuation time delay

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900148-9

本文研究了一个具有随状态变化的驱动时间延迟的主动控制系统模型。使用 Galerkin 投影方法来获得其低维近似系统。作者考虑了该主动控制系统的状态依赖性、对动力学的影响以及驱动延迟的表现，得到了以下结果。首先，他们提出了一个与状态有关的驱动延迟，这在以前的工作中从未报道过，它显示驱动延迟是与状态相关的。其次，他们采用Galerkin投影方法，得到了该延迟主动控制系统的低维近似系统。最后，他们通过Routh-Hurwitz准则和Hopf分岔理论研究了其稳定性和Hopf分岔。他们利用WinPP软件，进行了数值模拟，证实了本文的理论结果。

图10. 系统在平衡态时的 Hopf 分岔图

11. 可激发 FitzHugh-Nagumo

系统系综中的嵌合态

论文题目：

Chimera states in ensembles of excitable FitzHugh–Nagumo systems

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900254-6

作者研究了一个非局部耦合的可激发的 FitzHugh-Nagumo 系统系综。在有噪声的情况下，所探索的系统可以表现出一种特殊的嵌合态，称为相干-共振嵌合态。正如以前所认为的，噪声在形成这些结构中起主要作用。本文表明，这些区域的出现是由于组分之间的特定耦合。耦合的作用涉及到一个空间波区域，即使噪声消失，它也会在可激发的节点系综中出现。此外，一个新的嵌合态在一个可激发的区域得到。这种类型的嵌合态在可激发系统中还没有被观察到，特别是在 FitzHugh-Nagumo 的系综中。研究表明，噪声使这种嵌合态在Andronov–Hopf分岔附近更加稳定。

图11. 相干-共振嵌合态相应的空间-时间图。

12. 耦合振子网络中的

分岔延迟、行波和类嵌合态

论文题目：

Bifurcation delay, travelling waves and chimera-like states in a network of coupled oscillators

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900192-x

作者提出了在一个被驱动的 FitzHugh-Nagumo（FHN）振子网络中新奇的分叉延迟和类嵌合态，其中每个振子可以顺时针或逆时针旋转。FHN 振子的时间参数在分叉点附近的缓慢变化导致了分叉的延迟。分叉的时间延迟与系统的旋转方向（顺时针或逆时针旋转）无关。当 FHN 振子通过不同的变量进行耦合时，那么逆时针旋转振子的分叉延迟就会发生变化，产生类嵌合态的结构，也会在一定的耦合强度下产生行波。对于其他耦合强度范围，作者也观察到了分岔超前（Bifurcation preponement）现象。在范德波尔和朗道-斯图尔特（Landau-Stuart）振子的网络中也观察到类似的结果，这表明该现象是普遍的，而不是特定于耦合的FHN系统。

图12. 延迟分岔。(a) 快速振荡的膜电位v（实黑线）和缓慢变化的外部电流 I(ω,t)（虚红线）的变化。(b) 方程（1）的稳态解（S）和周期解（P）的分叉分支作为 I(ω,t) 的函数。蓝色填充的三角形表示稳定的，红色的点表示不稳定的稳态解。(c) v 和 I(ω,t) 的变化作为时间t的函数，分叉延迟被测量为τ_b=t_O-t_H。

13. 惯性耦合振子的螺旋波嵌合态

论文题目：

Spiral wave chimeras for coupled oscillators with inertia

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-900279-x

作者报告了有惯性的耦合相位振子中螺旋波嵌合态的出现和蜕变。首先，当耦合强度足够小时，系统行为类似于经典的二维（2D）Kuramoto-Shima 螺旋嵌合态，具有非相干核心的钟形频率特征 [Y. Kuramoto, S.I. Shima, Prog. Theor. Phys. Supp. 150, 115 (2003); S.I. Shima, Y. Kuramoto, Phys. Rev. E. 69, 036213 (2004)]。随着耦合强度的增加，核心获得恒定时间平均频率的同心区域，嵌合态成为准周期性的。最终，随着耦合强度的增加，只剩下一个这样的区域，也就是说，整个核心变得频率一致。当参数点进入所谓的孤立区域时，系统行为发生本质的变化。然后，在嵌合态的螺旋核心背景上通常会出现孤立的振子。这些孤立振子不参与围绕核心的共同螺旋，相反，它们开始以不同的时间平均频率（Poincaré绕数）进行振荡。孤立振子的数量和位置可以是任意的，由初始条件给出。在进一步提高耦合度时，螺旋式振荡消失，系统行为转变为某种时空混沌。

图13. 具有非相干核心的螺旋波嵌合态的相位快照。左图和右图分别为两核和四核。

14. 一种新的具有奇点的巨稳态混沌振子

论文题目：

A new megastable chaotic oscillator with singularity

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1140/epjst/e2020-000003-6

虽然多稳性被认为非线性动力学的热门话题，但对多稳态系统的两种特殊情况研究较少：极端多稳态系统和巨稳态系统是多稳态动力系统的两个较新的类别。本文首次介绍了一个混沌的巨稳态振子，它的方程中存在一个奇点。研究了强迫项的振幅和频率对所设计系统的动力学演化的影响。在分岔图和李亚普诺夫指数图的帮助下，所提出的振子可以表现出多种动力学行为，包括极限循环、环面和奇异吸引子。

图14. 五个极限循环吸引子的示意图，浅蓝色是背景。

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