导语


音乐尽管允许几乎无限的创造性表达,却总符合一套严格的规则。为什么音乐要遵循这么多规则?为什么我们要用这种组织声音的方式来创造音乐?为解决这一问题,我们可以类比另一问题,随机气体或液体中的原子是如何聚集成固体的?身兼凝聚态物理学家和中提琴演奏家的 Jesse Berezovsky 认为这两个问题的答案一致,音乐结构和固体结构都涌现于无序和有序的竞争,也都可以用同一套统计力学框架描述。


关键词:音乐理论,统计物理,相变

张澳 | 作者

梁金 | 审校

邓一雪 | 编辑


 

论文题目:

The structure of musical harmony as an ordered phase of sound: A statistical mechanics approach to music theory

论文地址:
https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.aav8490





1. 音乐涌现于无序和有序的竞争中



 
音乐在各种文化的历史中普遍占有一席之地。更令人称奇的是,各种音乐体系和风格都共享一些特征,如将声音频率切分为一组离散的音高,中国传统五声音阶(宫商角徵羽)就是典型的例子。由此产生了一个问题:为什么人们要用这种组织声音的方式来创造音乐呢?

要回答这一问题,首先要了解音乐何以为音乐。从历史上看,音乐理论一直遵循自上而下的经验主义方法,将音乐中观察到的模式概括为理论。直到20世纪,Helmholtz 创立的心理声学(psychoacoustics)定量研究了声音感知,才首次提供了自下而上的音乐理论。该理论称音乐的结构与最小化不和谐音 D(dissonance)有关。然而,仅仅最小化不和谐音 D 不足以有效组织音乐系统,否则我们就都会去听仅由单一音高组成的“音乐”了。由此可知,有效的音乐系统必须具有一定程度的复杂性,为谱曲提供丰富的“色彩”。

最小化不和谐音将音乐系统推向有序,保证一定复杂性将音乐系统推向无序,悦耳的音乐涌现于无序和有序竞争的张力中。Jesse Berezovsky 就基于这两个原则,量化了不和谐音 D 和音乐复杂性 S ,并将其数学描述直接映射到一个标准的统计力学框架,运用统计力学的工具探索声音中涌现出的音乐结构。




2. 统计力学工具研究音乐模式



 
热力学系统的宏观状态决定于自由能 F = U-TS 的最小化,这需要平衡最小化能量 U 和最大化熵 S ,温度 T 则作为两者的调节参数。Berezovsky 提出的模型类比热力学系统,引入参数 T ,调节最小化不和谐音 D 和最大化复杂性 S 间的平衡,以此利用统计力学中研究物理系统相变的强力工具。其中,不和谐音 D 由音乐系统中各音调两两相互作用形成的不和谐程度相加而得,而两音调的不和谐程度可通过实验获得。复杂性则可以通过声音熵 S (与声调的数量相关)量化。

Berezovsky 首先应用平均场近似(mean field approximation)研究音乐系统中音高的均衡分布。考虑音调数量趋于无穷,此时音高被描述为概率分布P(x),其中 x=log2f/fref(以此对数尺度衡量音高,则x=1对应音高变化八度)。图1 展示了不同 T 值时,最小化音乐系统自由能 F = D-TS 的音高概率分布解 P(x)。

图1. 不同 T 值时,平均场近似下的音高概率分布解 P(x)。T由高降低,模型在T=20.2时首次出现有序解。


热力学系统中,能量相互作用在低温下占主导地位,有序出现;温度升高则熵增,导致有序到无序的转变。通过改变参数 T ,Berezovsky 发现了音乐系统也出现了类似的音高转变。在高 T 时,声音熵占主导地位,所有音高出现的概率相同,系统完全无序(图1顶行)。在低 T 时,最小化不和谐音占主导,音乐系统仅出现一个音高(图1最下面一行)当 T 由高降低时,西方音乐八度十二音的熟悉结构从无序中涌现而出,这一转变可通过朗道理论理解。

在平均场模型中观察到音乐结构的涌现后,Berezovsky 又转向数值模拟,研究假设放宽下的结果。具体而言,平均场模型中各音调相互作用一致,而数值模拟可通过将音调放置在格点(lattice)上,研究每个音调仅与其余音调的子集相互作用的情况,同样发现了熟悉的音乐结构涌现于模型中。




3. 自下而上的音乐理论



 
统计力学的框架可以产生音乐中的许多模式。毫无疑问,要进一步了解音乐的结构,可以通过进一步通过统计力学工具研究相关模型。热力学的历史发展与音乐理论的情况相似。从17世纪开始,人们用经验定律(波义耳定律、查尔斯定律等)来解释对气体行为的观察。这种自上而下的热力学方法非常有用。然而,统计力学的发展产生了一种自下而上的理论,这种更基本的理解导致了 20 世纪之后的一系列新发现。

同样,自上而下的音乐理论确实对于作曲和理解音乐非常有用,但是自下而上的音乐理论提供了更基本的理解,它不仅能解释音乐(尤其是西方音乐)的结构,更能为研究不同文化和不同历史下的音乐体系提供新的视角,甚至能够引发理解、欣赏和创作音乐的新方法。


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