20 世纪 70 年代末李天岩和 James Yorke 在数学分析中正式引入“混沌”这个科学术语。经过学术界中好几代人近 50 年的共同努力，混沌早已不再是一个陌生的概念，其科学体系日趋完善，在数学、物理、计算机科学、生命科学、社会科学、工程技术、商业和通讯等领域中得到了广泛的应用。为了向跨学科学习者普及混沌科学的理论知识，集智学园特别邀请陈关荣、王雄、李春彪、张旭、马军、刘坚、王青云、叶国栋、禹思敏9位从事混沌及相关跨学科研究的资深学者担任导师，开设了「混沌科学系列课程」。
1月13日（本周五）晚19:00-21:30，将由济南大学数学科学学院刘坚教授开启混沌科学第六课，将介绍几种复变量混沌系统及同步控制，将特别详细地讲解复Lorenz系统。并引入分形理论，以复变函数的迭代入手，介绍分形理论中的Mandelbrot集和Julia 集等重要模型及其控制。介绍复混沌系统及分形涉及的主要结果以及最近的一些进展。
近年来，随着非线性科学的兴起及计算机技术的运用，复动力系统理论蓬勃发展起来，涉及到混沌学、分形几何、双曲几何和现代分析等多个学科。混沌、分形和孤立子被认为是几类典型的非线性现象且彼此之间密切相关。含有复变量的连续混沌复动力系统及同步在激光控制、电磁波振幅、保密通信等领域中展示了广阔的应用前景。分形集可由多种方式产生，其中离散复动力系统的分形现象尤为典型，能准确描述一些自然形态或进程，被广泛应用在物理、生物、图像加密、地质学等交叉学科中。
经典的连续复动力系统以复变量Lorenz混沌系统为代表；经典的离散复动力系统通过复变函数的迭代，可产生两类分形集：Mandelbrot集和Julia集。复混沌偏重于数理的动力学及动力学与图形结合的多方位的描述和研究。分形更注重自相似形态或几何特性的描述。混沌与分形密不可分，对复混沌系统与分形的研究可以理解为探讨复动力系统中无序和有序的共存与竞争。
本课程以复变量Lorenz混沌系统为切入点，介绍几种复混沌系统，将特别详细地讲解复混沌系统的同步控制。以英国的海岸线有多长这个问题，引入分形理论。以复变函数的迭代入手，介绍分形理论中的Mandelbrot集和Julia 集等重要模型及其控制。介绍涉及到的一些主要的结果以及最近的一些进展。
相关内容为高年级本科生，相关专业研究生和非线性科学领域青年学者系统化学习复混沌系统和分形提供参考。
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引言
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复混沌系统及其动力学
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复混沌系统的同步控制
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分形产生的历史
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复动力系统的分形集: Mandelbrot 集和Julia 集
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分形控制
关键词：复动力系统、复混沌信号、复Lorenz混沌系统、混沌复同步、复参数识别、分形、复变函数迭代、自相似、连通性、Mandelbrot 集、Julia 集、分形控制、分形生长
刘坚，济南大学数学科学学院教授，硕士研究生导师。1994年7月毕业于曲阜师范大学获理学学士学位。2004年于山东大学数学与系统科学学院获理学硕士学位。2014年于山东大学控制科学与工程学院获工学博士学位。2013年美国University of Wisconsin-Madison访学。2015年7月至2016年9月中国科学院数学与系统科学研究所访学。2020年1月至3月香港城市大学电机工程系，研究员。长期从事非线性动力系统分析与控制以及复杂网络研究。中国电子学会电路与系统分会混沌与非线性电路专业委员会委员。
个人主页：http://math.ujn.edu.cn/info/1179/5915.htm
1. C. Fowler, J. D. Gibbon. The complex Lorenz equations. Physica D.1982. 4(2). 139-163.
2. G. M. Mahmoud, T. Bountis. The dynamics of systems of complex nonlinear oscillators. a review [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. 14(11). 3821-3846.
3. Xiu Zhao, Jian Liu, Jun Mou, Chenguang Ma, Feifei Yang. Characteristics of a laser system in complex field and its complex self-synchronization. European Physical Journal Plus, 2020, 135(6): 507-1~17.
4. Jian Liu, Shutang Liu, Julien Clinton Sprott. Adaptive complex modified hybrid function projective synchronization of different dimensional complex chaos with uncertain complex parameters, Nonlinear Dynamics 2016, 83(1): 1109-1121
5. Jian Liu, Guanrong Chen, Xiu Zhao. Generalized synchronization and parameters identification of different-dimensional chaotic systems in the complex field. Fractals, 2021, 29(4) : 2150081-1~13.
6. 分形对象：形、机遇和维数. [法] B.曼德尔布洛特. 世界图书出版公司, 1999, 12
7. Shu Tang Liu, Pei Wang. Fractal Control Theory. Springer Berlin Heid: Singapore, 2018, 05.
直播方式：
21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是探索复杂性的关键环节。在科学、工程中，混沌与非线性方法已经成为研究动态系统的主要手段，加深了对气候、生态、大脑、流行病等诸多复杂系统问题的理解，并在湍流、加密、数据分析以及生命科学中有广泛应用。在社会、商业领域，混沌理论在通讯、交通、金融市场、疾病与信息传播等问题中亦有诸多启发和应用。随着混沌现象的进一步系统研究和广泛应用，它正在从一套理论发展为一门科学。
为了向跨学科学习者普及混沌科学的理论本质，从而能将混沌科学应用到自己的研究、探索中，帮助大家分析、理解、认知其中的复杂性，集智学园特别策划混沌科学系列课程，导师团队由著名混沌理论学者、香港城市大学讲席教授、欧洲科学院院士陈关荣领衔，联合王雄、李春彪、张旭、马军、刘坚、王青云、叶国栋、禹思敏等国内的混沌理论研究专家及相关跨学科研究的资深学者，开出了 “混沌科学”系列科普课程 。欢迎你的加入。
本课程面向数学、力学、机械、电子、信息安全和脑科学等专业的大学生、研究生、博士生以及相关的从业者，希望了解混沌理论、并进行跨学科应用的同学。
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往期回顾
1. 陈关荣：混沌科学的历史与故事丨第一课
课程回放链接：https://campus.swarma.org/course/4901?from=wechat
课程回放链接：https://campus.swarma.org/course/4904?from=wechat
3. 李春彪：混沌吸引子调控与忆阻混沌振荡器设计｜第三课
课程回放链接：https://campus.swarma.org/course/4905?from=wechat
4. 张旭：混沌马蹄理论分析及构造｜第四课
课程回放链接：https://campus.swarma.org/course/4906?from=wechat
5. 马军：时空混沌与斑图 | 第五课
课程回放链接：https://campus.swarma.org/course/4907?from=wechat
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