导语


非线性动力学的研究是理解自然界与工程领域复杂现象的重要工具。无论是流体湍流中的涡旋运动、人工或生物神经网络的功能实现、生态系统中的种群变化，还是天气或气候系统的状态转变、新型智能电力网络的调控、社交网络中意见传播的动态，非线性系统都展现了周期性、分岔与混沌等复杂行为。而找到这些复杂非线性现象背后可解析的线性结构，是科学研究和工程应用中的关键挑战。

在《Koopman分析在非线性动力学中的应用》系列课程第二节中，我们将于 12月28日（周六）14:00-16:00 由兰岳恒教授继续带领大家，探索非线性系统如何通过局部和全局线性化进行分析。课程中会引入经典的 Hartman-Grobman 定理和 Kalman 线性化方法，并结合 Koopman 算符和动力学的几何思考框架，揭示这些工具在解析复杂系统中的潜力与局限性。


主题：局部和全局线性化




课程简介




非线性动力系统的问题在于其复杂性，而线性方程的优势在于可以通过解的叠加性和本征问题的求解实现精确分析。因此，如果能够将非线性问题转化为线性问题，研究和分析就会变得简单得多。然而，大多数非线性动力学问题仅能在局部范围内实现线性化，全局线性化往往非常困难，甚至不可能。

本节课程将从这一背景出发，深入探讨非线性动力系统的线性化方法及其局限性。我们将介绍 Hartman-Grobman 定理，揭示非线性系统在平衡点附近如何通过局部线性化得到拓扑等价的线性模型。此外，还会讨论 Kalman 线性化方法，利用引入新变量将复杂的非线性动力学转化为形式上的线性系统。更重要的是，我们将探讨如何通过 Koopman 分析，在更大范围内或特定意义下实现非线性动力系统的全局线性化，从而窥见解空间的深层结构。在这个过程中，我们要应对诸多挑战，例如寻找可靠的谱性质计算方法；从大量模式中选择出相关的模式；理解重要模式的物理意义；根据重要模式构建出最大线性化区域等。

探索如下问题：

  1. 实现非线性问题的全局或局部线性化的意义和条件是什么？

  2. 如何最大化线性化区域，非线性的本质体现在哪里？

  3. 如何联系状态空间和函数空间中的线性化？





课程目标




帮助学生掌握非线性动力系统的核心分析工具，包括如何利用 Hartman-Grobman 定理进行局部线性化以揭示平衡点附近的拓扑特性，使用 Kalman 线性化方法将非线性系统转化为形式上的线性系统，以及通过 Koopman 分析在更大范围或特定意义下实现全局线性化，从而深入理解复杂非线性系统的动力学行为和解空间结构，为多学科复杂系统建模提供强有力的理论支持与实践方法。





课程大纲



  

1. 局部和全局线性化

  1. 探讨局部线性化在平衡点附近的适用性，分析全局线性化的实现难点及其在特定条件下的可能性。


2. 大范围线性化

  1. 介绍如何通过大范围线性化方法（如 Koopman 分析）刻画复杂系统的全局动力学特性，解析吸引域和分岔行为。


3. Koopman 算符与线性化

  1. 介绍Koopman算子的分析思路，并比较 Kalman 线性化与 Koopman 分析的异同，探讨其在复杂系统建模中的结合应用。


4. 课程总结
  1. 库普曼算子提供了一种在某种意义上将非线性动力学线性化的方法；
  2. 可以通过数值计算构建特征模态，揭示最重要的动力学；
  3. 特征函数可用于构建符号分区、揭示分岔和识别在高维非线性系统中存在的不同不变结构；

  4. 一般化和挑战


涉及专业术语
非线性动力学（Nonlinear Dynamics）；复杂系统（Complex Systems）；局部线性化（Local Linearization）；全局线性化（Global Linearization）；Hartman-Grobman 定理（Hartman-Grobman Theorem）；Kalman 线性化（Kalman Linearization）；莫尔斯定理（Morse Theorem）；Koopman 分析（Koopman Analysis）；特征函数（Eigenfunction）；特征模态（Eigenmode）；谱性质（Spectral Properties）；分岔（Bifurcation）；极限环（Limit Cycle）；符号分割（Symbolic Partition）；动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）。

参考文献：
1. Lan, Yueheng, and Igor Mezić. “Linearization in the large of nonlinear systems and Koopman operator spectrum.” Physica D: Nonlinear Phenomena 242.1 (2013): 42-53.





课程信息




课程主题：局部和全局线性化

课程时间：2024年12月28日（周六） 14:00-16:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）





课程主讲人




兰岳恒，北京邮电大学理学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇




系列课程信息




课程适用对象

  1. 理工科研究生或高年级本科生：

    • 对非线性动力学、数学建模、数学物理或统计力学感兴趣。

    • 具备一定的微分方程、线性代数及计算基础。

  2. 对理论与实践结合感兴趣的跨学科研究者：

    • 希望通过Koopman算子探索非线性系统在自己的研究方向中的应用。

    1. 从事各类复杂系统研究、寻找有力分析工具。

  3. 具有探究精神的学生：

    • 乐于参与讨论、假设推导和问题反思的学生。


课程证书

要想解开非线性动力学的奥秘并不简单，但前进的每一步，都值得我们欣喜。本系列课程，我们会进行严格的课堂管理，鼓励各位同学积极思考、讨论，希望能够通过本课程让同学们能对Koopman算符理论有深入的研究，并能进行相应的理论研究和应用实践。对于满足以下条件的同学，会发放实体证书，将选出3名优秀的同学每人赠送1件集智定制T恤。让我们共同开启一次苏格拉底式的课程吧。

课程证书发放标准：

  1. 报名时间：2024年12月21日前报名的成员；

  2. 参与课程直播：不低于80%，根据腾讯会议的在线时间进行统计；

  3. 加分项：课程直播和课程微信群内积极提问；

  4. 加分项：完成课程设置的任务；





报名须知



  

  1. 课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

  2. 课程周期：2024年12月21日-2025年1月25日，每周六下午2点-4点进行。

  3. 课程定价：599元

扫码付费报名课程
课程链接：https://campus.swarma.org/course/5419?from=wechat

付费流程：

  1. 扫码付费；

  2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

  3. 课程可开发票。


课程奖学金机制

  1. 途径一：发布高质量课程笔记

在集智斑图网站（pattern.swarma.org）完成本课程体系下某个方向的总结文章或学习路径。经集智学园助教团队评定认可后，可作为一条贡献。一条贡献奖励200元奖学金，质量优异的内容，会有浮动奖励。

可参考：

  1. 途径二：招募课程助理1名（已结束招募）

付费报名课程后，联系助教微信申请课程助理。经沟通，成为正式课程助理，完成课程助理任务，在课程结束后退全额学费。

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