摘要

世纪之交引入的小世界网络和无标度网络开创了网络新科学研究，其中网络集体动力学突破了传统图论内容的局限性，将动力学与图结构相组合使得网络设计和应用成为重要的研究课题。随后出现的全齐形网络和重现的单纯形网络强调了看待网络结构应该从关注星转变到关注圈。这个转变反映了网络研究从低阶迈向高阶，同时也开启了运用代数拓扑中的同调理论研究网络科学的新局面。

近期由史定华教授、陈关荣教授和赵阳博士生共同撰写的论文发布在Arxiv上，论文基于邻居子网络提出了同调Hₖ-核分解求网络高阶洞的新方法。

关键词：邻居子网络，示性数，边界矩阵，贝蒂数，H(k)-核分解，同调计算。

高爽丨作者

史定华，陈关荣丨审校

论文题目：Node-neighbor subnetworks and Hk-core decomposition 

论文地址：https://arxiv.org/abs/2507.04948

越来越多的研究倾向于认为，在多个时空尺度下稳定重现的拓扑特征可能更能反映原始数据的真实结构，而那些仅在单一尺度或短时段出现的特征则很可能是由采样误差或噪声引起的偶然现象。这促使我们借助代数拓扑中的同调理论和方法去刻画不同维度空间中多样图形所包含的各种信息。

随着高维数据的涌现，拓扑数据分析 (TDA) 成为直接反映数据科学、网络科学、计算拓扑学之间交叉科学联系的重要工具和研究方法。作为TDA的核心工具，持续同调通过构建点云数据的参数化过滤过程，系统地去追踪拓扑特征的演化规律。该方法首先基于节点距离构建递增的单纯复形序列，然后计算每个滤子尺度下的同调群结构，最终获得各维贝蒂数的生灭区间条形码 (barcode) 及其持续特征。特别值得指出的是，虽然持续同调能有效识别数据中稳定的拓扑特征 (如持续存在的同调环)，但是精确计算这些特征对应的生成元 (即构成拓扑特征的单纯形组合) 仍面临计算上的巨大挑战。

从网络动力学的视角出发，我们可以建立另一种理解同调的方法论框架。研究表明，网络同步能力与网络拉普拉斯矩阵的最小非零特征值 (以下简称特征值) 密切相关：特征值越大，网络同步能力越强。这自然引出一个基础性问题：在固定网络规模的约束条件下，何种拓扑结构能最大化特征值？理论和数值分析均表明，具有高度对称性的全齐性网络结构在此优化问题中表现最佳。值得注意的是，这些最优同步结构 (如圈、团、洞等) 恰恰构成了高阶网络理论中同调群研究的核心拓扑基元，从而在代数拓扑与网络动力学之间建立起深刻的联系。

为攻克大规模网络高阶洞的计算难题，论文作者利用节点邻居子网络三数组 (邻居数、贝蒂数、示性数) 的信息来研究原始网络的H(k)-核分解，并利用分解信息及节点新指数去简化洞的计算并提供寻找最高阶洞的有效方法。

一些基础概念

图论中称为团的结构在代数拓扑中称为单纯形。例如，点是0-阶团，边是1-阶团，三角形是2-阶团，四面体是3-阶团，等等。需要注意的是，实际网络中的三角形结构不一定都满足单纯形的严格定义。构建单纯复形时需遵循包含原则：若σ是单纯形，则其所有子集τ ⊆ σ也必须是单纯形。记k维单纯形数量为m(k)，以之可定义网络的第一个拓扑不变量——欧拉示性数：χ=m(0)-m(1)+m(2)-…。

星图结构可用邻接矩阵的行和来表示节点度。圈结构可看作是一类特殊的组合，它们在数学上构成一个“圈空间”；而由高一阶结构边界构成的圈称为“恰当圈”，组成“像空间”。前者包含后者，两者的“差”构成“同调群”。为了计算这些结构，通常使用边界矩阵进行表示和运算。通过边界矩阵的秩r(k)可以计算网络第二个拓扑不变量——k-阶贝蒂数β(k)=m(k)-r(k)-r(k+1)，其中,β(0)是连通分支数，β(k)是k–阶同调群的秩或洞的个数。

首先引进节点的邻居子网络。这种子网络虽然规模小，但它是整个网络的缩影。在子网络中除了有邻居数、示性数和贝蒂数外，因其规模小还可能有特殊的节点，如度为0的孤立点和度为邻居数减1的中心点。邻居子网络的中心点和贝蒂数有下面关系：若节点i的邻居子网络有中心点，则邻居子网络贝蒂数为(1,0,0,…)(i)。

然后定义一个节点的新指数，为该节点三类参数的集合：邻居数、贝蒂数以及局部结构示性数，记作(nᵢ, (β(k))ᵢ, χᵢ)。其中局部结构示性数是通过该节点连接邻居子网络组成的网络示性数，χ(i)=1-m(0)+m(1)-m(2)…。若原始网络最大的非零贝蒂数是k阶的，则节点子网络最大的非零贝蒂数不会超k 阶。利用这个命题，在计算节点指数时只需截断计算到k阶贝蒂数或k+1阶单纯形，从而降低计算复杂度。

同调Hₖ-核分解

文章提出网络的H(k)-核分解方法，其核心思想是通过逐步删除特定节点和边来简化网络结构，同时保留关键拓扑特征，从而揭示网络的同调结构。与传统的节点度的k-核分解类似，H(k)-核分解的整体框架如下：从原始网络出发，依次计算各阶核的三元组参数(m(k), r(k), b(k))，最后基于节点新指数(nᵢ, (b(k))ᵢ, χᵢ)指导删除操作。分层删除策略如下：

（1）H(1)-核构建 (删点)：

删除贝蒂数为(1,0,…,0)的节点，优先处理低度节点和中心点，保持网络示性数和贝蒂数不变。

（2）H(2)-核构建 (删点边)：

删除导致β(1)变化的节点(贝蒂数为(β(0)>1,0,…,0))，同步清理新产生的(1,0,…,0)节点，必要时删除特定边使β(1)降为0。

（3）H(3)至高阶H(k) -核构建 (删除点边和子网络)：

删除H(2)-核中示性数为正值的点边，可以得到H(3)-核。保留含非零高阶贝蒂数的子网络可得到高阶核，但是要确保删除操作不影响更高阶拓扑特征。

关键点：节点删除要遵循一定的拓扑约束，每步操作后动态更新网络参数，通过局部特征 (邻居子网络) 指导全局简化。

该方法通过分层删除策略，在降低网络规模的同时，系统性地保留各阶拓扑特征，为高效分析高阶洞结构提供新途径。而高阶洞所在的子网络是网络深层中的对称结构，见下节实例。实际计算时，利用度信息和中心性指标优化删除顺序，可提高计算效率。

真实网络测试

在线虫神经网络中进行同调H(k)-核分解。原始网络包括297个节点和2148条边。按照上述流程进行逐步分解计算，可以得到网络H(3)-核的三数组。基于嵌套特点，用节点新指数去寻找网络的4个3阶洞。

图1 网络最小 3 阶洞

图2 线虫网络的H(3)-核(略图)

同理，在猫脑皮层网络中，通过计算可得到各阶核及网络的2个3阶洞。先删中心点，再算贝蒂数，最后算到k截尾，这方法显著减少了计算量。详细的计算过程可参考原文。

图3 猫脑皮层网络

图4 猫脑皮层网络的H3-核(略图)

总结与展望

同调H(k)-核分解方法为网络高阶拓扑特征分析提供了新工具。该方法不仅能有效简化高阶洞的搜索，还可拓展至网络排序、渗流相变等动力学研究。实例表明，H(k)-核排序能识别关键节点，其渗流特性可呈现k≥2时的混合相变。进一步研究可探索该方法在传播源识别、网络控制等领域的应用，并推广至上同调、路径同调、锯齿同调、超网同调等范畴。柏拉图多面体网络的拓扑特性揭示了对称性与高阶洞的深刻联系，为复杂网络拓扑研究提供了新视角。

论文作者

史定华教授，曾是上海大学运筹学与控制论博士点的学科带头人，在可靠性、排队论、随机过程、复杂网络等相关领域取得许多创新性成果，是复杂网络领域的著名学者，发表学术论文百余篇，著译作多部，并获上海市自然科学二等奖。1992年起荣获国务院颁发的政府特殊津贴。陈关荣教授，是一位对混沌理论做出贡献的中国数学家，研究领域主要集中在非线性系统的动力学分析及控制、网络科学与工程。自2000年以来，他一直担任香港城市大学混沌与复杂网络中心的主席教授和创始主任。陈于2014年当选为欧洲科学院院士，于2015年当选为世界科学院院士，于1997年当选为IEEE院士。他目前是《国际分叉与混沌杂志》的主编。

赵阳，2021年于湖南科技大学获控制科学与工程硕士学位，现为复旦大学电路与系统专业博士研究生，主要研究方向为高阶网络上的流行病传播动力学。

参考文献：

1. Wang X, Chen G. Synchronization in scale-free dynamical networks: Robustness and fragility. IEEE Trans Circuits Syst I 2002; 49: 54–62.

2. Shi D, Lü L, Chen G. Totally homogeneous networks. Natl Sci Rev. 2019; 6(5):962–969.

3. Shi D, Chen Z, Ma C, Chen G. Computing persistent homology by spanning trees and critical simplices.

4. Research A Science Partner Journal 2023; 6: 0230.

5. Shi D, Chen Z, Sun X, Chen Q, Ma C, Lou Y, Chen G. Computing cliques and cavities in networks.

6. Commun Phys. 2021; 4:249.

7. Battiston F, Petri G. Higher-order systems. Complexity. Berlin (Germany): Springer; 2022.

高阶网络社区

随着对现实世界探索的不断深入，人们发现在许多真实的复杂系统中，组成系统的个体之间不仅存在二元交互关系，也广泛存在多个体同时（或以特定顺序）进行交互，即高阶交互现象。为此，研究人员分别发展出了基于超图、单纯复形、依赖关系等的网络高阶表示模型，为复杂网络分析和研究提供了新的思路。

由电子科技大学吕琳媛老师、任晓龙老师及中国地质大学（北京）管青老师在集智俱乐部联合发起了【高阶网络读书会】。读书会围绕高阶交互网络的基本概念、模型、方法与应用等研究进行研讨，按照「基础理论」+「深入理论」+「案例研讨」的模式展开。读书会第一季已经圆满结束，第二季正在筹备中。现在报名加入可以解锁第一季全部录播视频并加入社群交流。

详情请见：

探索复杂系统高阶交互的奥秘 | 高阶网络读书会启动

网络科学集智课堂第三期：

从数学建模到多学科应用

从现实社会的关系网到虚拟的互联网，从线下到线上，我们的生活始终没有脱离复杂网络。真实的复杂网络从其诞生开始就不断地演化着。网络节点不断地增加，节点之间的连接不断地增长。然而，复杂网络的形成机制是什么？具有什么样的演化规律？它们的演化机制对网络的功能和动力学行为有什么影响？为了回答这些问题，科学家们对复杂网络的探索从未停止。

网络科学是一个蓬勃发展的崭新交叉学科，可以看做复杂系统的骨架，核心是研究各种大型复杂网络之间的共性和处理它们的普适方法，其研究对于发展复杂系统的基本理论及构建产生了极大的推动作用。

网络科学的第三个十年，已经过去了几年。从国内外网络科学研究的发展趋势来看，各种各样的更复杂的网络模型和结构以及高阶相互作用动力学引起了人们的极大兴趣。为了回应这种迫切需求， 我们网络科学第三期课程将围绕复杂网络的数学建模与应用进行多角度的介绍。

集智学园特邀陈关荣、樊瑛、周进、李翔、张江、闫小勇、刘宗华、石川、虞文武、赵海兴、史定华加入打造第三期课程，欢迎你的加入。

详情请点击：

从数学建模到多学科应用——网络科学·集智课堂全新升级

推荐阅读

1. 超图上的自举渗流：高阶相互作用如何影响网络抗毁性？  Chaos速递

2. Nat. Rev. Phys.速递：高阶网络上的传染动力学

3. 拓扑深度学习捕捉数据的高阶关系：信息传递拓扑神经网络概述

4. 涌现动力学如何用来分析复杂系统？ | 新课上线

5. AI时代的学习：共探人类学习的复杂性

6. 探索者计划 | 集智俱乐部2025内容团队招募（全职&兼职）

7. 系统科学前沿十讲：理解自然、生命与社会的复杂性

点击“阅读原文”，报名读书会