《画廊》，埃舍尔（1956）

来源：原理

美术馆里，一个年轻人正凝视着一副描绘马耳他森格利亚海港的画。画中的建筑是一个画廊，这个年轻人站在画廊里，再次看着描绘这个地中海码头的画；在这幅画的建筑里，再次出现这个画廊和这个年轻人。

这幅包含了无限的画作名为《画廊》（Print Gallery），它出自荷兰艺术家埃舍尔（M. C. Escher, 1898-1972）之手。在画中，埃舍尔还扭曲了这种无休止的重复，它膨胀和扭曲，形成不可能的形状。

埃舍尔（M. C. Escher）

如果不是因为这幅画中央、地中海风格的建筑与画廊窗户之间印着埃舍尔名字的白色圆形斑点，这幅画的冲击效果将是完美的。埃舍尔创作这幅画的时间是1956年，要等到大约五十年后，荷兰莱顿大学的一位数学家才设法完成了这幅作品。

在从旧金山飞往阿姆斯特丹的航班上，Hendrik Lenstra教授在杂志上第一次看到埃舍尔的平版印刷画作，他利用这次旅途的闲暇，试图找到解开谜团的办法。Lenstra解释说：“我想知道，如果你继续向内画这些线，是否会出现一个无法解决的数学问题。我还想知道这幅画背后的结构是什么，作为一名数学家，我该如何画出这样一幅画？”

这些问题的答案并没有在短暂的飞行途中揭晓，所以Lenstra决定开展一个为期两年的调查，在这个过程中他发现，破解《画廊》的空白斑点也就是破译埃舍尔本人的秘密。

埃舍尔从来都不是一个优秀的学生，他的正规数学知识仅限于中学阶段获得的那些。他最初学习建筑，但后来将他的职业生涯专注于成为一名绘画艺术家。尽管在理论知识方面存在缺陷，数学和几何却是埃舍尔作品的关键元素。

1936年，这位荷兰人来到西班牙格拉纳达的阿尔罕布拉宫，在这里，他对伊斯兰密铺艺术和平面的规则分割等概念非常着迷，花了几天时间仔细复制那些装饰宫殿的几何设计。而这些，也在日后成为了他作品的核心元素。他的许多版画都充满了重复的动画人物，这些人物的空间创造了新的形状。

阿尔罕布拉宫的密铺瓷砖。| 图片来源：Wikipedia

后来，埃舍尔想知道能否更进一步，保持图像的形状不变，并固定图像间的相对位置，用图像而非几何图形来填充绘画，并以一种连贯的方式改变图像的大小。

在H.S.M. Coxeter的数学文章《晶体对称性及其推广》中，埃舍尔找到了组合图形的方法。埃舍尔承认，自己并没有理解当中的所有概念，但是，从这些科学研究中，他发展了主要是视觉和直觉的数学知识。

在下一个阶段，埃舍尔的作品开始探索结构中透视的错误，这些错误乍一看似乎是合理的，但仔细观察就会发现，根本不可能在现实中创造出这些情景。

1954年，埃舍尔的一些版画在阿姆斯特丹的国际数学家大会上展出。从那时起，他与数学家和晶体学家之间的对话就成为他创作不可能的作品、光学幻象和无限表象的灵感源泉。

手与发射的球面，埃舍尔（1935）

这种数学与艺术的交叉在《画廊》中得以具体化。在平板印刷中，埃舍尔违反透视法则，创造了无限的、扭曲的重复，而在他完成这些重复时，既没有凭借工具，也没有依靠计算。

为了解释这一现象，Lenstra教授发现了一种被称为“德罗斯特效应”的现象。例如在《画廊》中，如果年轻人所在的美术馆在画中被再次复制，那么同样的事情也应该发生在白色斑点处。

在与埃舍尔的朋友，也是《埃舍尔的魔镜》一书的作者Hans de Rijk交谈之后，Lenstra发现，埃舍尔曾试图以闭合圆环的形式进行连续的圆形扩展，没有起点也没有终点。

因此，在埃舍尔的变形中，网格中正方形的尺寸从中心向外递增，在相反的方向上则递减，从而形成一个循环，就像是从装满水的水槽中拔掉塞子时水流动的形状。这就是图像背后的结构。

为了找到埃舍尔扭曲他的平板印刷时所用的精确值，Lenstra的团队花了几个月时间进行实验（甚至是猜测），将旋转、指数函数、对数函数结合，同时缩小尺寸或比例。由于现代技术的发展，一旦有了精确的公式，填补空白的步骤就变得简单明了。

他们用计算机程序去除埃舍尔画中的变形，将其转换成一个平面网格，填补平面图像上的空洞，完成整个场景，最后，通过使用已经识别出的变形，让图像恢复原来的形状。

相对性，埃舍尔（1953）

在那次飞行两年之后，Lenstra和他的团队终于解开了与一位最神秘的艺术家有关的最大谜团之一。然而，答案早就在那里，埃舍尔是一个天才中的天才中的天才……

《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》一书对自指、递归有深入的探讨

原文链接：

https://www.bbvaopenmind.com/en/the-mathematical-secrets-of-escher/

编辑：王怡蔺

自指：连接图形与衬底的金带

侯世达：机器可以“翻译”但不能真正理解

信息论视角下的生命起源与进化

自指机器的奥秘

加入集智，一起复杂！

观看地址：

http://campus.swarma.org/gcou=10135

---

集智俱乐部QQ群｜877391004

商务合作及投稿转载｜swarma@swarma.org

◆◆◆

搜索公众号：集智俱乐部

加入“没有围墙的研究所”

让苹果砸得更猛烈些吧！

原文始发于微信公众号（ 集智俱乐部 ）：集智