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目录

一、什么是李雅普诺夫函数？

二、李雅普诺夫函数的定义

三、相关术语

四、自治系统的基本李雅普诺夫定理

五、例子

六、相关资源推荐

七、集智百科词条志愿者招募






1. 什么是李雅普诺夫函数？




在常微分方程理论中，李雅普诺夫函数 Lyapunov functions 是可用来证明常微分方程平衡点 equilibrium point稳定性的标量函数 scalar function 。李雅普诺夫函数是以俄罗斯数学家亚历山大·李雅普诺夫 Aleksandr Lyapunov 的名字命名，也称为稳定性的李雅普诺夫第二方法。对于动力系统 dynamical system 的稳定性理论 stability theory 和控制论 control theory 十分重要。在一般状态空间马尔可夫链 Markov chains 理论中也出现了类似的概念，通常称为Foster-Lyapunov 函数。


对于某些类型的常微分方程，李雅普诺夫函数的存在性是其稳定性的充要条件。尽管对于常微分方程没有构造李雅普诺夫函数的一般方法，但在许多特定情况下，李雅普诺夫函数的构造是已知的。例如，二次函数满足一个状态的系统的李雅普诺夫函数；一个特定线性矩阵不等式的解为线性系统提供了李雅普诺夫函数；守恒律 Conservation law 通常可以用来构造物理系统的李雅普诺夫函数。






2. 李雅普诺夫函数的定义




对于一个自治动力系统

y=0 是它的一个平衡点，其李雅普诺夫函数是一个标量函数：，该函数连续、具有连续的一阶导数且局部正定，也是局部正定的。有时把局部正定的条件表述为是局部负定的。






3. 相关术语




对李雅普诺夫函数出现在动力系统平衡点的研究中。在空间中，任意一个自治动力系统都可以被写成：




对于一些平滑的函数：

平衡点是一个满足的点y∗。给定一个平衡点y∗，总是存在一个坐标变换x=y−y∗，使得：


因此在研究平衡点时，只要需要假设平衡点出现在0处。

根据链式法则，对于任意函数，函数沿动力学系统解取值的时间导数为:

函数H 被定义为局部 正定函数 positive-definite function（在动力系统的意义上），如果H(0)=0并且有一个邻域B使得






4. 自治系统的基本李雅普诺夫定理




令是如下自治系统的平衡点



并使用表示李雅普诺夫候选函数 Lyapunov-candidate-function V的时间导数：



局部渐进稳定平衡点 Locally asymptotically stable equilibrium

如果平衡点是孤立的，李雅普诺夫候选函数V是局部正定的，其时间导数是局部负定的：


对于原点的某些邻域，可以证明平衡点是局部渐近稳定的。


稳定平衡点 Stable equilibrium

如果V是李雅普诺夫函数，那么平衡点是李雅普诺夫稳定的。


反之亦然，J. L. Massera证明了这一点。


全局渐进稳定平衡点 Globally asymptotically stable equilibrium

如果李雅普诺夫候选函数V是全局正定、径向无界的，平衡点是孤立的，且李雅普诺夫候选函数的时间导数是全局负定的：



可以证明平衡点是全局渐近稳定的。


如果满足：



李雅普诺夫候选函数是径向无界的。(这也被称为范数强制。)






5. 例子




在统计学和经济学中，因果关系通常通过回归分析来检验。


考虑下面具有上的解x的微分方程：

考虑到在原点附近始终为正，因此自然而然地成为帮助我们研究x的李雅普诺夫候选函数。


令在上。然后有



这正表明上面的微分方程 x关于原点是渐近稳定的。注意，使用相同的李雅普诺夫候选函数可以证明该平衡点也是全局渐近稳定的。






6. 相关资源推荐




课程推荐

本课程主要讲授连续和离散动力系统的定态、极限环及其稳定性分析、动力学系统的结构稳定性和常见的分支类型以及分析方法，混沌概念等。

课程名称：动力系统分析

课程地址：https://campus.swarma.org/course/1641





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来源：集智百科
编辑：曾祥轩

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