导语


与自然语言描述为主的科学哲学不同，范畴论是数学领域抽象程度的顶峰，是可以以公式或者其它数学表达方式明确指导具体研究的。学习范畴论的过程，也是在体验系统、精确、抽象的科学方法论。理解范畴论促进学科联系的过程，并付诸各领域考察的问题，有望寻找到跨领域的解决之道。


为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。希望这门课程可以帮助大家破除门槛，顺利入门。


此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。今日更新第7课，主题为线性空间的对偶性。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。




课程简介




线性代数、泛函分析、复几何、量子物理等领域中有许多密切关联的概念，例如：
  • 复共轭、实转置、复共轭转置、伴随算子
  • 自伴算子、特征值、谱理论
  • 复结构、对合代数、C*-代数
  • 对偶空间、自然配对、内积

本节课引入线性空间范畴中的对偶，试图通过这条线索来贯穿这些概念。首先从乘法的结合律看矩阵乘法，从一对行列向量借助矩阵的乘法可以讨论：

  • 作为双线性映射的矩阵

  • 互为对偶的行列向量

  • 两种结合顺序体现了伴随

在上讲的最后，我们把幂集、特征函数和反变Hom函子三个概念在范畴的意义下统一起来了。用特征函数 (动态性质) 来描述子集 (静态性质) ，用特征函数的全体 (动态) 来描述幂集 (静态) ，体现了范畴论中研究态射 (动态) 的重要性。

反变Hom函子广泛出现在各个领域。幂集函子和特征函数集，属于函数集的一个特例。如果函数取值于交换环，可以进一步得到几何中常见的函数环。用反变Hom函子构造的函数环可以有十分精细的结构。拓扑上关注连续函数环，微分几何关注光滑函数环，复几何关注全纯函数环，代数几何关注多项式环，等等。

函数环的构造过程，前提是取值于A的集合自身具有交换环的结构。在拓扑空间上构造函数环，产生了不同的几何学，这是现代几何学的基本研究范式。

反变Hom函子不仅能在集合上产生函数环，还可以在线性空间上产生对偶空间。具体而言，把交换环A替换为域K，并且把反变Hom函子限制在域K上的线性空间范畴，反变Hom函子把一个线性空间转化为这个线性空间上的线性函数的全体，它具有线性空间的结构，称为对偶空间。对偶空间的构造过程视为反变Hom函子，即对偶函子。

一对对偶线性空间的研究，引出了双线性问题。回顾双线性的概念，以双线性的图像插值说明双线性的意义——固定一个变元，诱导出一对线性函数。这一对线性函数互相构成对方的对偶向量。这种构造方式，在计算机科学里叫currying。

有限维的双线性型可以用矩阵来构造。一对互相对偶的向量，可以通过自然配对的方式求值，这是一个双线性形式。另一种熟知的双线性型是内积。我们过去理解的内积，许多情况本质上是自然配对。我们给出了方向导数的例子。这里隐含着Riesz定理(Riesz–Fréchet表示定理)，这样把自然配对和内积这两种不同的双线性形式对应起来了，其应用很多，如两个列向量通过转置后的乘法做内积，以及Dirac记号。

进而从最初步的复共轭出发，介绍了Dagger范畴。接下来回顾伴随的概念，用矩阵的乘法来说明如何借助自然配对/内积，构造对偶空间的算子和对应的伴随算子。我们介绍了用实矩阵表示的复数，在Dagger范畴的统一下，建立了复共轭和实转置的联系。这样便解释了伴随算子、实转置矩阵、复共轭转置矩阵、无穷维伴随算子这些概念的联系，也解释了Galois扩域、矩阵的特征值、算子的谱理论、量子力学的可观测量等概念的联系。

Dagger范畴最常见的例子是Hilbert空间范畴和关系范畴。在Hilbert空间的应用如平方可积函数的积分形式的内积，它是复Hermite内积的扩展，对应的自然配对就是Dirac记号，其Dagger就是复共轭。在关系范畴，其Dagger就是反关系。




课程大纲




  • 用反变Hom函子构造对偶空间

  • 双线性与自然配对

  • 伴随与自伴

  • Dagger范畴





课程讲师




J-CAT猫圈

教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

研究兴趣包括：范畴论、动力系统、人工智能。


范畴论精品入门系列课程／每周更新

持续报名中


课程大纲（第一季）：

  1. 线性代数——范畴的视角

  2. 集合范畴和等价关系

  3. 偏序集范畴

  4. Abel群范畴

  5. 线性空间的范畴化构造

  6. Hom函子

  7. 线性空间的对偶性

  8. 正向极限与逆向极限

  9. 正合

  10. 从集合到拓扑空间

  11. 自由函子

  12. 从几何到代数——同调群的构造

课程目的

  • 为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程


课程适用对象

如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！

  • 对现代数学体系和方法论有兴趣

  • 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

  • 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

  • 希望了解范畴论的思维方式

  • 有兴趣的中学生

报名（长期有效）：

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人人可学的范畴论——跨领域的科学方法论 | 精品入门系列课



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