对偶函子是反变Hom函子，它以域K为目标，构造了K-线性空间的对偶空间。通常可以把各种线性空间中的原点理解为平凡线性空间，从线性同构的意义而言，所有的原点可以视为同一个平凡线性空间0。反变Hom函子若以平凡线性空间为目标，则会产生新的结构，这样可以引出终对象、始对象、零对象的概念。Abel群范畴的相关性质和线性空间范畴相似，而集合范畴、拓扑空间范畴却不同。

在线性空间范畴、Abel群等范畴中，终对象和始对象有明确的对偶性，并通过零对象体现。作为对比，接下来讨论集合范畴中的终对象和始对象。单点集是终对象。然而，由于集合范畴的态射没有代数结构可以保持，单点集却无法构成始对象。这意味着集合范畴没有零对象。另外也讨论了偏序集范畴中的终对象和始对象，始终对象有助于描述偏序集中的界。在偏序集范畴中，终对象和始对象并不保证存在。

接着介绍指标范畴。偏序指标集作为偏序集范畴，可以以共变和反变的方式，用指标标记范畴中的对象，用偏序的态射来描述范畴中的偏序，这样得到目标范畴中带有偏序结构的子范畴，即正向系统和反向系统。偏序集指标集标记目标范畴的方式，推广到用任意范畴来标记目标范畴，这样构成了指标范畴。

然后可以引入极限和余极限。在范畴中固定特殊的对象，构造出锥的结构。用对偶的方式可以构造余锥。锥或余锥作为对象，可以构造锥范畴或余锥范畴。我们回顾了第4课Abel群范畴中讨论的中介态射。中介态射与范畴论中的泛性质密切相关。在锥或余锥之间建立中介态射，构成锥范畴或余锥范畴的态射，相关的泛性质就是终对象和始对象。锥范畴的终对象构成极限，余锥范畴的始对象构成余极限。

我们熟知的直积和直和，本质上是范畴中的概念。以线性空间的直积和直和为例，说明了二者的区别。范畴中的两个对象之间，通过投射可以产生锥，进而产生的极限就是直和。对偶地，通过内射则可以产生余锥，相应产生的余极限就是直积。

直积和直和是在范畴的两个对象上构造的概念。如果再加上第三个对象，产生了张成和余张成两种互相对偶的形态，则可以类似地构造锥和余锥，以及极限与余极限。这样的构造产生了范畴论以及数学中的纤维积和纤维余积，即拉回与推出。

• 始对象与终对象

• 极限与余极限

• 直族

• 拉回与推出

J-CAT猫圈

教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第一季）：

1. 线性代数——范畴的视角

2. 集合范畴和等价关系

3. 偏序集范畴

4. Abel群范畴

5. 线性空间的范畴化构造

6. Hom函子

7. 线性空间的对偶性

8. 正向极限与逆向极限

9. 正合

10. 从集合到拓扑空间

11. 自由函子

12. 从几何到代数——同调群的构造

课程目的

• 为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程

课程适用对象

如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

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