拓扑学是范畴论的主要推动力量之一。在点集拓扑、同伦、同调理论中，函子化的构造处处可见。学习拓扑有助于感受范畴论的方法论意义。在集合上构造拓扑结构是进入几何领域的第一步。本节课首先剥离几何结构中的其它属性，只保留拓扑性质，考察拓扑性质的本原。许多分析中的不等式问题，本质上都可以从拓扑的角度来理解，并且描述为偏序的构造。

拓扑结构的定义中涉及到子集族，也就是幂集的子集。前面的课程通过反变的Hom函子构造了幂集函子，它是从集合范畴到集合范畴的函子。从函子角度看，拓扑结构的构造相当于是一种带有约束的函子，要求函子能够产生符合开集定义的，满足某些代数封闭性的子集族。

在函子的角度回顾数学分析中的连续性就十分自然：用拓扑方式定义的连续性，无非是让开集可以在幂集函子的原像下映射为开集，产生封闭性。

过去用特征函数探讨了子集的构成，特殊函数的全体相当于幂集，并且用反变Hom函子刻画了态射集和幂集的同构性质。在拓扑中，类似的构造是Sierpiński空间，它有一个开点和一个闭点，相当于特征函数取值的二元。Sierpiński空间作为拓扑空间，用相似的函子映射方向，把拓扑空间连续性的构造纳入到求原像中，于是在拓扑空间范畴中，同样可以用反变Hom函子来刻画开集的集合。

同伦理论起源于拓扑学，它成为范畴论发展的一个主要推动力量．同伦上的问题往往可以转变为范畴中更加抽象的问题，反过来范畴论的发展又发展出了更多同伦的理论．我们简单地介绍了同伦的概念。结合过去讨论的集合范畴中的态射复合律，以及线性空间范畴中用矩阵乘法构造的态射复合律，可以类比同伦中用连通的道路来构造同伦的关系。

• 拓扑结构

• 连续性

• Sierpiński空间

• 同伦

  
  

J-CAT猫圈

教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第一季）：

1. 线性代数——范畴的视角

2. 集合范畴和等价关系

3. 偏序集范畴

4. Abel群范畴

5. 线性空间的范畴化构造

6. Hom函子

7. 线性空间的对偶性

8. 正向极限与逆向极限

9. 正合

10. 从集合到拓扑空间

11. 自由函子

12. 从几何到代数——同调群的构造

课程目的

• 为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程

课程适用对象

如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

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