导语

范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。

此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。本文介绍第6课，主题为伴随函子。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。

课程简介

伴随函子是范畴论中最重要的概念之一。两个集合之间可以讨论互逆的映射问题，而互逆是非常强的条件，在范畴论中可以将它极大地推广和抽象。在线性代数中，线性映射有伴随映射的概念，即伴随矩阵和伴随算子，最常见的形式就是实转置矩阵和复共轭转置矩阵。借助线性空间上定义的内积，可以构造算子之间的伴随关系。

为了引入伴随函子，我们先介绍了偏序集之间可以保持偏序结构的映射。相向的一对函子，若能保持偏序，构成了Galois连接。在Galois理论中，域的子域构成偏序集范畴，对应的Galois群的子群也构成偏序集范畴，Galois理论可以用Galois连接的方式阐述，这也是Galois连接的得名。Galois连接本身则是伴随函子在偏序集范畴上的一个特例。

接下来给出伴随函子的定义和论述。两个范畴之间用相向的一对函子连接，约束二者连接的条件则是两个范畴中形成的同构的态射集合。这意味着一对伴随函子可以建立起两个范畴中态射集在同构意义下的相等，使得两个范畴中的行为互相影响对方。这种构造是对可逆函数的巨大抽象。

接下来讲解了currying方法，在多阶函数和多元函数之间相互转换，它反应了集合范畴中Cartes集和态射集指数对象的转换。将其至于伴随函子的框架下，在线性空间范畴中可以得到Hom-Tensor伴随关系，也是同调代数中最重要的伴随关系之一。

课程大纲

• 线性映射的伴随

• Galois连接与Galois理论
  

• 伴随函子

• 指数对象
  
  

课程讲师

J-CAT猫圈，教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第二季）

1. 用箭头构造矩阵（免费公开）

2. 函子范畴（免费公开）

3. 可表函子I

4. 可表函子II

5. Yoneda引理

6. 伴随函子

7. 张量积

8. 张量代数

9. 幺半范畴

10. 单子

11. 泛性质

12. Abel范畴

学习建议

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

报名途径（长期有效）

1. 扫码后点击“立即购买”，可选择单独购买本课程，或组合购买课程。

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