1. 集体运动与Vicsek模型

生命系统充满了令人惊叹的多样性和复杂性。例如，在椋鸟、细菌群落、蚁群、蝗虫、绵羊等由大量个体组成的群体中，尽管这些系统的尺度和认知能力存在巨大差异，却都可以观察到集体行为。

与生物学家一般喜欢详细研究具体案例不同，物理学家则更热衷于探寻纷繁现象背后的普遍特征，通过建立模型寻找集体行为背后的基本原理。从系统个体的微观性质出发，利用概率论和统计学得到系统的宏观性质，是统计物理学的使命。在相变和临界现象的研究中，关键物理量是由著名物理学家朗道提出的序参量。例如，气液相变的序参量是密度差，铁磁相变的序参量是磁化强度。许多复杂系统相变与临界现象的序参量非常复杂，难以事先确定，给研究其相变与临界现象带来巨大的困难和挑战。

Vicsek模型[1]是研究生命系统集体运动的一个简约模型，由自我推进的点状粒子组成。在强噪声或低密度时，粒子总体上随机运动，整个系统就像是无序的气体。而在高密度或低噪声情况下，粒子的速度倾向于与相邻粒子保持一致，整体朝向同一个方向运动，从而涌现出集体运动，经历从无序到有序的相变。

在提出Vicsek模型的原文中，上述群体运动的相变被认为是连续的[1]。但后续进一步研究对这一观点提出了质疑，这些研究者认为，Viscek等人观测到的连续相变实际上是由于有限尺寸效应（finite-size effect）导致的，集体运动的相变实际上是不连续的[2]。由于这些研究不能采用集体运动相变精确的序参量，也没有进行有限尺度标度性的系统分析，它们关于相变性质的结论无法成为定论。

2. 本征微观态方法研究生命系统

对于大量需要研究的复杂系统，其能量函数、系统状态分布函数和序参量都是未知。但通过实验测量或计算模拟，我们可以获得系统每个个体状态的时间序列。通过最近提出的本征微观态方法[3]，复杂系统的相变与临界现象可通过本征微观态的凝聚来确定，这类似于玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚，即宏观数量玻色子在极低温下处于基态能级。此方法已被成功应用于伊辛模型的铁磁相变、地球温度系统、股票市场[3]。

现在，本征微观态方法被应用于生命系统。对于N个个体组成的生命系统，我们已知每个个体的速度和位置时间序列，系统微观态由个体的速度和邻近密度描述。采用本征微观态方法，可以得到生命系统的本征微观态 u_I，及对应的序参量 σ_I 。随着生命系统遭遇外部或内部扰动产生的噪声变弱，序参量 σ_I 可能会从 0 增加到一个有限值，本征微观态出现凝聚，生命系统发生相变、涌现出本征微观态 u_I 刻画的相。

在临界点附近，σ_I 遵循有限尺寸标度形式（finite-size scaling form）：

这里 L 是系统的尺寸，是约化噪声，β 是序参量 σ_I 的临界指数，ν 是关联长度的临界指数。β>0 时，系统发生连续相变；β=0 时，序参量出现跳变，系统发生不连续相变。

3. 集体运动的连续和不连续相变

最近，本征微观态方法被用于研究Vicsek模型的相变与临界现象。当系统处在强噪声环境的时候，粒子的位置和速度方向都是随机的，它们的本征微观态也没有哪个占据主导，系统处于无序状态。

随着噪声降低，第一大本征微观态的序参量 σ₁ 变为有限，系统涌现出一个新的相，即本征微观态 u₁ ，对应的临界指数 β=0。如图1所示，随着噪声减弱，粒子之间的有效相互作用增强，彼此之间距离变小，平均邻近密度增大；噪声减小到某个值的时候，与气-液相变相似，系统会发生一个密度的不连续相变。

图1. 从上到下为噪声 η=6, 3.95, 0.25 时，第一大本征微观态 u₁ 的速度空间分布（a, c, e）和邻近密度涨落（b, d, f）。当噪声 η_1c=3. 95 时，平均邻近密度增大，粒子发生凝聚，系统经历密度的非连续相变。

在更小的噪声环境下，如图2所示，由于邻近密度进一步增大，粒子之间的有效相互作用继续增强，从而导致粒子速度方向趋向一致，系统发生集体运动的相变。通过有限尺度标度性分析，得到临界指数 β>0，因此该集体运动相变是连续的。此相变发生时，系统同时涌现两个序参量相同、速度方向相互垂直的本征微观态 u₂ 和 u₃ 。

图2. 噪声 η=6, 3.69, 0.25 时，第二大本征微观态 u₂ 的速度空间分布（a, c, e）和邻近密度涨落（b, d, f）。当噪声 η_2c=3.69 时，粒子速度方向变得一致，系统经历连续相变。

上述研究表明，由Vicsek模型描述的非平衡生命系统能够出现两种相变。随着噪声减弱，首先发生密度主导的气-液不连续相变，导致粒子间距减小、相互作用增强，然后粒子状态（速度）趋同，发生集体运动的连续相变。利用有限尺度标度性，得到不同Vicsek模型连续相变的临界指数相同，表明它们属于同一个普适类。这里发现的相变机制与特性对生命系统可能具有普遍性。

本征微观态方法在生命系统的成功应用，表明其对于非平衡态的适用性。未来还可将其应用于更广泛的复杂系统，比如气候系统、生态系统和流体系统等。

以上结果作为 Rapid Communication 发表在 Chin. Phys. B 30, 128703 (2021).

参考文献

[1] Vicsek T,  Czirok A, Ben-Jacob E, Cohenl I, and Shochet O 1995 Phys. Rev. Lett. 75, 1226.

[2] Gregoire G and Chate H 2004 Phys. Rev. Lett. 92, 025702.

[3] Sun Y, Hu G, Zhang Y, Lu B, Lu Z, Fan J, Li X, Deng Q, and Chen X 2021 Commun. Theor. Phys. 73, 065603.

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