Nat. Commun. 速递：如何测量复杂网络的维度？

导语

网络的拓扑结构可用于描述真实世界的复杂系统，而网络的维度是描述这种拓扑结构的基本属性。然而，理想的维度概念，如在欧几里得空间中，并不总是转化为现实物理空间。基于分形方法的方法学假定拓扑结构遵循幂律分布，这是一个很强的假设，在表现出异质性的真实世界网络中不一定准确。最新发表于 Nature Communications 的一篇文章，提出通过扩散动力学过程来探测空间几何并定义维度的新方法，空间中的每个点都可以被分配一个相对于扩散源的相对维度（relative dimension）。这一概念为网络的局部和全局维度提供了依赖于尺度的定义，能反映网络的拓扑属性。为了展示相对维度概念可以在现实复杂系统应用，作者还展示了维度测量在网络传播动态过程的应用。

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研究领域：复杂网络，拓扑结构，扩散动力学，复杂系统

刘志航| 作者

邓一雪| 编辑

论文题目：

Relative, local and global dimension in complex networks

论文链接：

https://www.nature.com/articles/s41467-022-30705-w

网络的拓扑结构可用于描述真实世界的复杂系统，而网络的维度是描述这种拓扑结构的基本属性之一，匈牙利数学家 Erdösi 建立的随机图理论（Random graph theory）开创了复杂网络拓扑结构的系统性分析，最早的对网络（graph）维度进行了研究，当时他探索了将图形嵌入最小的有限维欧几里得空间，实现网络的几何解释。

但是， Erdösi 的维度测量不过是研究图嵌入过程的一个副产品，产生的可操作信息很少。后来，通过对复杂网络的分形特性的描述，网络维度的测量被定义为网络拓扑结构的缩放特性。虽然分形方法测量的维度在描述网络拓扑结构和动力学（如渗流）方面起着重要作用，但它最初只限于对网络维度的全局描述。然而，基于分形方法的方法学假定拓扑结构遵循幂律分布，这是一个很强的假设，在表现出异质性的真实世界网络中不一定准确。

同样，在经典的论文中，如用扩散的衰减率来定义网络节点的维度，或用随机游走来创建节点嵌入，也需要同样的同质性假设，必须选择一个中间的动态尺度。举个例子，如果一个扩散源位于一维和二维空间的连接处，通过测量衰减率，我们会立即忽略了空间的异质性，而只是找到位于一维和二维之间的维度。

1. 相对维度的计算

在这篇论文中，作者提出了一个网络节点的相对维度的概念，从扩散动力学的角度出发，一个节点的维度可以通过相对于扩散源节点的相对维度测量得到。同时，然后通过平均节点的相对维度可以定义节点局部维度，并通过在多个尺度上平均局部维度来定义一个复杂网络的全局维度。

图1. 相对维度和局部维度的计算示意图。局部维度由马尔科夫时间作为刻度参数，在短的时间尺度上，我计算一个节点周围的局部环境的维度，而在长的时间尺度上，计算一个节点的维度，同时考虑整个网络结构。

图1 展示了相对维度和局部维度的计算过程。相对维度可以通过给定时间 τ 内的节点扩散的瞬态响应峰值确定，大部分节点在瞬态响应中没有峰值，但是对于靠近扩散源的节点却很容易出现峰值。因此，虽然局部维度在某种程度上可以比作网络节点中心性的度量，但它也直接捕获了局部嵌入空间的维度。

2. 相对维度的应用

作者提出的相对维度概念可以描述网络的拓扑属性，那么这一测量指标在理解现实复杂网络上可以怎么应用呢？作者展示了相对维度概念在理解蛋白质结构的变构、疫情传播网络、网络中心性度量以及图分类等现实系统的广泛应用场景。本文对部分应用进行介绍：

蛋白质结构的维度：变构

一个蛋白质与其配体结合后，蛋白质的空间结构发生改变，调节了蛋白质的生物学功能，使它适合于功能的需要这一类变化称为变构现象。如图2 所示，通过测量相对维度发现，在 HRas 蛋白质中在活性部位的相对维度较低，因为异生部位是源头（图2a（i）），但在反面，异生部位没有看到从活性部位开始扩散的瞬时峰值（图2a（ii））。低的相对维度表明从异生部位到活性部位的交流更加“直接”或呈“漏斗式”。此外，这种交流的不对称性可能与蛋白质的每一半的不同功能有关。

图2. 蛋白质变构的相对维度

局部维度作为与尺度相关的中心性度量

中心度量是网络理论中一些最基本的工具。作者展示了地球表面洋流网络的局部维度也可以被用作与尺度有关的中心性度量。其中节点的重要性随着尺度的变化而大幅变化。图3展示了不同时间尺度上，洋流局部维度的分布，小尺度或大尺度的局部维度为高维度区域提供了不同的视角，与海洋流动具有更复杂动态的区域相关，证明了洋流分析中的尺度概念对于解释动力学至关重要。

图3. 洋流网络的多尺度局部维度示意图

疫情传播的维度

作者展示了维度测量在网络传播动图过程的应用。在图4中，作者，模拟了小世界网络上一个SIR模型，通过计算感染率 β，表明一个节点的局部维度可以强烈预测其感染性，并且感染概率与尺度正相关，即应该考虑的局部邻域的大小随着感染概率的增加而增加。然而，在临界感染概率 β_crit 附近，观察到一种类似于相变的行为（图4a），即局部维度与节点感染性最相关的时间尺度向接近统一的数值发散，对应于局部维度的最大尺度。

图4. 维度和流行病传播

总之，作者提出了一个新的维度测量框架，不仅在网络上，而且在任何可以定义动态过程（可以推断出欧氏维度）的空间上可以定义维度概念。通过对相对维度的各种详细研究，探测不同尺度的局部维度，或者用全局维度来描述整个网络，作者证明了他们提出的维度测量对非复杂和复杂网络都有广泛的适用性。

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