混沌马蹄理论分析及构造 | 集智课堂·周五直播

导语

20 世纪 70 年代末李天岩和 James Yorke 在数学分析中正式引入“混沌”这个科学术语。经过学术界中好几代人近 50 年的共同努力，混沌早已不再是一个陌生的概念，其科学体系日趋完善，在数学、物理、计算机科学、生命科学、社会科学、工程技术、商业和通讯等领域中得到了广泛的应用。为了向跨学科学习者普及混沌科学的理论知识，集智学园特别邀请陈关荣、王雄、李春彪、张旭、马军、刘坚、王青云、叶国栋、禹思敏9位从事混沌及相关跨学科研究的资深学者担任导师，开设了「混沌科学系列课程」。

12月30日（本周五）晚19:00-21:30，将由山东大学（威海）数学与统计学院教授、博士生导师张旭老师开启混沌科学第四课，围绕混沌动力系统的重要模型 Smale 马蹄展开。主要内容包括马蹄发现的故事，马蹄数学基础，马蹄的动力学行为描述，一些具体混沌系统中马蹄的分析和应用。

同时提醒大家早鸟优惠截止到2022年12月31日，欢迎感兴趣的朋友在优惠期内及早加入课程，共同探索混沌科学！

课程简介

史蒂芬·斯梅尔 (Stephen Smale) 教授是一位富有传奇色彩的著名数学家。学术成就和生活色彩互为补充，相辅相成。斯梅尔教授在微分拓扑、微分动力系统、混沌理论、大范围变分学、计算复杂性、数理经济学和生物数学理论等众多领域，都做出了重要贡献。Smale 马蹄就是他在巴西里约热内卢的海滩上的重要发现，作为混沌动力系统的重要模型被应用到许多系统的复杂动力学行为研究中。

本讲主要内容包括马蹄的发现，马蹄的数学基础和构造，马蹄混沌动力学行为的符号描述，一些具体混沌系统中马蹄的分析和应用。数学基础主要讲述平面上离散系统，离散系统可以应用到许多实际问题研究中，例如生态系统中宿主寄生虫模型、广义 Lotka-Volterra 种群模型，生物中染色体等位基因选择问题、传染病模型，经济学中纳什均衡，数论问题，神经元系统等。马蹄构造主要讲述在几类系统中的构造，并解释其中的混沌动力学含义。

课程大纲

马蹄的历史
数学基础简介
系统中的马蹄

关键词：离散动力学系统、李-约克混沌、Sharkovsky 序、Collatz猜想、Hénon映射、保面积映射、拓扑共轭、马蹄映射、正向轨道、逆向轨道、符号动力学、隐藏吸引子、双倍周期分岔

课程主讲人

张旭，山东大学（威海），数学与统计学院教授，美国《数学评论》与德国《数学文摘》评论员。在 Chaos, Chaos Solitons and Fractals, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ergodic Theory and Dynamical Systems, Fuzzy Sets and Systems,IEEE Transactions on Fuzzy Systems,International Journal of Bifurcation and Chaos, Proceedings of the American Mathematical Society 等杂志发表 SCI 论文多篇。

参考文献（按课程主题顺序排列）：

马蹄的历史

1. van der Pol，J. van der Mark；Frequency demultiplication, Nature, 1927.

2. S. L. McMurran, J. J. Tattersall; The mathematical collaboration of M L Cartwright and J E Littlewood, Amer. Math. Monthly, 1996.

3. S. L. McMurran, J. J. Tattersall; Cartwright and Littlewood on van der Pol’s equation, in Harmonic analysis and nonlinear differential equations, Riverside, CA, 1995, Contemp. Math. 208, Providence, RI, 1997.

4. S. Smale; On the steps of Moscow University. From Topology to Computation: Proceedings of the Smalefest (Berkeley, CA, 1990), 41-52, Springer, New York, 1993.

5. S. Smale; Finding a horseshoe on the beaches of Rio, The Mathematical Intelligencer, 1998.

6. https://math.berkeley.edu/~smale/

数学基础

7. Y. Li J. Yorke；Period three implies chaos, 1975.

8. R. Mays; Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature, 1976.

9. R. Devaney; An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, 1987.

10. M. W. Hirsch, S. Smale, R. L. Devaney; Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 2013.

系统中的马蹄

11. R. L.Devaney, Z. Nitecki; Shift automorphisms in the Henon mapping, Comm. Math. Phys., 1979.

12. X. Zhang, G. Chen; Polynomial maps with hidden complex dynamics, Discrete and Continuous Dynamical Systems-B, 2019.

13. X. Zhang, G. Chen; A simple topological model for two coupled neurons, Chaos, 2022.

宿主寄生虫模型

14. R. M. May; Host-parasitoid systems in patchy environments: a phenomenological model, J. Animal Ecol., 1978.

15. R. M. May, M. P. Hassell; The dynamics of multiparasitoid-host interactions, The American Naturalist, 1981.

广义 L-V 两种群模型

16. R. M. May; Biological populations with nonoverlapping generations: stable points, stable cycles and chaos, Science, 1974.

17. H. Jiang, T. D. Rogers; The discrete dynamics of symmetric competition in the plane, J. Math. Biol., 1987.

染色体同一位置上的两对等位基因的选择问题

18. J. F. Selgrade, M. Ziehe; Convergence to equilibrium in a genetic model with differential viability between the sexes, J. Math. Biol., 1987.

同一片土地上两种线虫的竞争问题

19. F. Jones, J. Perry; Modelling populations of cyst-nematodes (nematoda: heteroderidae), J. Appl. Ecology, 1978.

传染病模型

20. L. Allen; Some discrete-time SI, SIS, and SIR epidemic models, Math. Biosciences, 1994.

21. L. Allen, A. B. Burgin; Comparison of deterministic and stochastic SIS and SIR models in discrete time, Math. Biosciences, 2000.

经济学中的应用

A. Cournot; Recherche sur la Principes Matematiques de la Theorie de la Richesse, Hachette, Paris, 1838.

神经科学中的应用

23. A. L. Hodgkin, A. F. Huxley; A quantitative description of membrane current and its applications to conduction and excitation in nerve, J. Physiol. (Lond.), 1952.

24. J. Guckenheimer, R. A. Oliva; Chaos in the Hodgkin-Huxley model, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2002.

25. W. Gerstner, W. M. Kistler, R. Naud, L. Paninski; Neuronal Dynamics: From Single Neurons to Networks and Models of Cognition. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014.

26. M. A. Arbib, editor. The Handbook of Brain Theory and Neural Networks-2nd ed. The MIT Press, Cambridge, 2003.

27. K. Aihara, T. Takabe, M. Toyoda; Chaotic neural networks. Physics Letters A, 1990.

12月30日直播信息

直播时间安排：

12月30日（周五） 19:00-21:30

19:00-21:00 张旭：混沌马蹄理论分析与构造

21:00-21:30 课程答疑环节

直播方式：

集智俱乐部 B 站免费直播
集智俱乐部视频号免费直播，可提前预约

付费学员在腾讯会议上课，可提问交流

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开播前1小时可获得直播地址并在课程上线后获取通知

混沌科学系列科普课程报名中

21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是探索复杂性的关键环节。在科学、工程中，混沌与非线性方法已经成为研究动态系统的主要手段，加深了对气候、生态、大脑、流行病等诸多复杂系统问题的理解，并在湍流、加密、数据分析以及生命科学中有广泛应用。在社会、商业领域，混沌理论在通讯、交通、金融市场、疾病与信息传播等问题中亦有诸多启发和应用。随着混沌现象的进一步系统研究和广泛应用，它正在从一套理论发展为一门科学。

为了向跨学科学习者普及混沌科学的理论本质，从而能将混沌科学应用到自己的研究、探索中，帮助大家分析、理解、认知其中的复杂性，集智学园特别策划混沌科学系列课程，导师团队由著名混沌理论学者、香港城市大学讲席教授、欧洲科学院院士陈关荣领衔，联合王雄、李春彪、张旭、马军、刘坚、王青云、叶国栋、禹思敏等国内的混沌理论研究专家及相关跨学科研究的资深学者，开出了 “混沌科学”系列科普课程。欢迎你的加入。

课程面向对象

本课程面向数学、力学、机械、电子、信息安全和脑科学等专业的大学生、研究生、博士生以及相关的从业者，希望了解混沌理论、并进行跨学科应用的同学。

报名（长期有效）：