论文题目：On group structures of strategic-form games

论文地址：https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S2667325822002850?via%3Dihub

问：对于普通读者而言，群论和博弈论都是听起来多少有些神秘色彩的学科领域。事实是这样吗？  

答：很多人对于数学都有一种复杂的感情，就是既害怕又喜欢。害怕数学的抽象和困难，喜欢听数学界的八卦和故事。群论和博弈论这两个领域都是非常典型的例子。而这种既爱又怕的复杂矛盾心理很容易让人着迷并产生某种神秘感。如果你对这种抽象的论证没感觉的话，不妨尝试回忆一下暗恋某个人的感觉。所以说数学是我们暗恋的绝佳对象，因为她美丽且高冷，永远得不到从而永远神秘。

问：博弈论和群论这两个自带流量的领域能发生什么有趣的化学反应吗？

答：正如简介中所提到的，早在1944年出版的博弈论的开山之作《博弈论与经济行为》中，冯诺依曼和摩根斯坦就说过，要真正理解清楚博弈论里的对称性问题，多少得用一点群论（“A real understanding of the nature and structure of symmetry is   not possible without some familiarity with (at least) the elements of group   theory. ——von Neumann, Oskar Morgenstern, 1944.”）。我们尝试用 Midjourney 画了一副伽罗华与冯诺依曼决斗魔方的图片展示这两个领域的交叉（见图1）。

对称性对于博弈论的确很重要，因为对称可以简化问题使得我们把主要精力用于分析核心矛盾。比如博弈建模中经常假设的同质性就是一种简单的对称；表示单种群演化博弈的矩阵博弈也是对称的，因为我们假设种群内的个体都是同质的；对称性也是合作博弈中经常使用的公理。

群论在博弈论中很早就引起了关注。除冯诺依曼和摩根斯坦外，纳什1951年的经典论文也用群论证明了一个比我们熟知的结论更强的结果：有限博弈不仅一定有混合策略纳什均衡，其实还有一个满足原博弈对称结构的“对称均衡”。

对称和群论还可以用来建模焦点均衡。由诺奖得主谢林提出的焦点均衡是博弈论中的一个基础概念。我们知道谢林是罕见的不使用数学研究博弈论的大家。焦点均衡是一个展示其研究风格的绝佳例子。这是一个对多重均衡进行精炼的基本思想，但是其严格定义很难用数学形式化表达。奥地利著名博弈论学家Alós-Ferrer与合作者在2013年发表于 Journal of Economic Theory 的文章尝试用对称性对焦点均衡进行了严格定义：焦点均衡就是所有均衡中最对称的那个。

问：有哪些基本事实可以说明用群论研究博弈论很冷门？

问：你们前期在此领域有哪些相关成果？

答：博弈论中很多经典的例子，比如囚徒困境、性别大战，以及硬币匹配博弈，都有一定的对称性。但是按照我们教科书中对对称博弈的定义，只有囚徒困境是对称的，性别大战和硬币匹配博弈都不是。那么如何严格定义进而充分理解这些直观上不同的对称呢？

问：本文有什么主要贡献？

答：本文是我们前期工作的自然延续。我们前面研究了给定一个博弈，用什么群来刻画不同的对称性。本文研究了如下的逆问题：对于一个置换群，它什么时候有可能成为某个策略博弈的普通对称群，什么时候可以是命名无关的对称群？我们发现Sudholter等在2000年发表于Journal of Mathematical Economics 的论文中提出的“覆盖群”的自然推广恰好是充分必要条件。在此基础上我们进一步研究了策略博弈对称群的更多数学结构。

以上内容节选自期刊Fundamental Research 2024年第3期发表的文章“Z. Cao, G. Li, Z. Tan et al. On group structures of strategic-form games, Fundamental Research 4(3) (2024) 540-549.

主要作者简介

经济学理论的发展与社会环境变化密切相关。一方面，伴随计算机的发展，相应的研究技术日渐成熟，例如非线性动力学、复杂网络、ABM等，为研究者提供了更强大的分析工具；另一个方面，对“均衡”的经济学的研究，不能够解释实际的经济现象，例如金融危机、创新产生的新的发展模式等，研究者开始重视经济学的“非均衡”现象，把经济系统看做复杂系统，并力图做出更能反映现实的研究。经济学内慢慢出现了一种基于更加现实的假设的研究进路，复杂经济学一个新的经济学框架正在形成。

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