导语

从神经元到脑区层面，大脑都呈现出非常丰富的网络结构特性。之前的研究大多聚焦于单一尺度，对大脑结构网络在不同尺度下的关系，我们知之甚少。今年8月份发表在PNAS的一项工作表明，多尺度的人脑网络具有自相似性。基于双曲空间的几何重整化模型很好地解释了多尺度人脑网络的自相似性行为，同时揭示了人脑网络的自相似特性与高效的信息导航密切相关。

9月14日（周一）19:00-20:00，我们特别邀请到论文第一作者、巴塞罗那大学博士后郑木华，在线解读这篇论文。参与方式见文末，报名后可通过腾讯会议和B站直播参与。

原文题目：

Geometric renormalization unravels self-similarity of the multiscale human connectome

原文地址：

https://www.pnas.org/content/117/33/20244

1. 多尺度人脑结构网络的自相似性

经过亿万年的演化，人类大脑已发展出了多层次、多尺度且能支持最强脑功能的复杂网络结构。在单一的观测尺度下，人们发现大脑网络具有一系列的结构特征，如小世界、高聚类、无标度、社区结构、富人俱乐部等。神奇的是，从神经元和神经元连接形成的网络到脑区与脑区相互作用的网络，人脑在不同尺度下都呈现出非常丰富的结构特征，并保持着千丝万缕的联系。然而，不同尺度下的人脑网络是如何自然联系起来的？它们之间是否具有什么共同特性？遗憾的是，受到实验研究的限制（通常只能获得一种尺度的网络结构），多尺度的人脑网络研究一直未能顺利地展开。

图1：多尺度人脑结构网络示意图

最近，来自巴塞罗那大学的郑木华博士，M. Ángeles Serrano教授及其合作的研究团队在《美国科学院院刊》(Proceedings of the National Academy of Sciences，PNAS) 发表了一篇研究多尺度人脑网络的论文。他们分析了84个健康个体5种不同尺度下的人脑连接数据。如图1所示，从l=0到l=4，每个个体的人脑结构网络包含的节点数分别为1014,462,233,128,82。他们通过分析每个个体5种尺度下的网络度分布、聚类系数谱、度度关联、富人俱乐部效应等统计特性，发现了真实的人脑结构网络在不同尺度下具有自相似性（如图2所示）。这里，他们主要讨论的是统计上的相似，也就是对以上的网络统计指标作平均度变换时，它们的标度几乎不变（图2中的线几乎重叠）。然而，如何解释所观察到的自相似行为？自相似性和大脑的功能又有什么联系？

图2：多尺度人脑结构网络的自相似性。A-D分别呈现了不同尺度下的网络度分布、聚类系数谱、度度关联和富人俱乐部效应。B和C的插图给出了不同尺度的网络平均聚类系数和平均度

2. 几何重整化模型再现

多尺度人脑网络的自相似性

图3：几何重整化模型再现真实人脑结构网络的自相似性

为了更好地理解自相似性与脑功能之间的关系，郑木华等人认为，如何通过模型获得不同尺度且具有自相似性的网络是关键。他们从最高分辨率的结构网络（l=0）出发，通过几何重整化变换方法，一层一层地缩小原网络。所谓网络重整化其实是将距离相近的节点合并成超级节点，并尽可能地保存节点间的连边关系。然而，如何从拓扑结构中界定节点间的距离并非易事。为此，他们将人脑网络嵌入到双曲空间，获得了节点的相似性和流行性坐标及人脑网络的双曲地图。进而利用了几何重整化变换的方法，获得了一系列高度相似的小网络。图3左侧是真实人脑结构网络在双曲空间中的地图，右侧是模型得到的网络。可以发现，几何重整化模型很好地再现了真实人脑结构网络的自相似性。

关于双曲几何

图4：(a)复杂网络隐藏度量空间示意图(引自文献[1])。(b) S1双曲几何模型示意图；节点的大小代表流行的程度，节点之间的夹角越小，它们越相似。(c) H2双曲圆盘模型示意图；越流行的节点越靠近圆盘中心，红线描绘了部分节点之间的测地线（双曲距离）。S1模型和H2模型是等价的。

近年来，网络科学领域诞生了一个崭新的研究方向：网络几何 (Network Geometry ) [2] 。网络几何的研究不仅仅关注节点之间的相互作用关系，而且还考虑节点所在的空间坐标及几何特性。如图4(a)所示，研究人员认为，在复杂的拓扑结构下面有一个隐藏的度量空间。在这个度量空间里面，节点有自己的坐标，节点之间存在着一种特有的距离。起初，科学家们认为隐藏的空间就像简单的S1模型一样（如图4(b)所示）。在S1模型中，节点均匀随机地分布在一个半径为R的一维圆环上。节点的大小代表着它的流行程度，用期望度k_i来表示。节点的角坐标θ_i代表着相似性，越相似的节点靠得越近（夹角Δθ_ij越小）。这样，两个节点越是流行，越是相似就越容易产生连边。正是基于流行性和相似性共同作用的原理，S1模型有效地再现了许多真实网络所观察到的小世界、高聚类、无标度特性等特性。科学家们进一步发现，将流行性坐标k_i变换成二维圆盘下的径向坐标r_i，同时保持相似性坐标θ_i不变（如图4(c)），S1模型等价于二维圆盘下的H2模型。在这个时候，科学家们发现许多复杂网络下面所隐藏的空间是双曲的，节点之间的距离是双曲距离（如图4(c)）。这和我们所熟知的欧式空间是不一样的。

[1] G. G. Pérez, A geometric approach to the structure of complex networks, Ph.D. thesis, Universitat de Barcelona (2018).

[2] M. Boguñá, I. Bonamassa, M. De Domenico, S. Havlin, D. Krioukov, and M. Á. Serrano, Network geometry, arXiv:2001.03241 (2020).

3. 自相似性与信息导航

郑木华等人进一步探讨网络自相似性与信息导航的关系。如图5所示，他们发现，基于双曲距离的信息导航效果要比基于欧式距离的好。除了真实数据和几何模型下的网络结构非常相似之外，它们的信息导航效果也高度一致。此外，如果通过模型破坏多尺度人脑网络的自相似性，那么它们的信息导航成功率和效率都大大降低，暗示了多尺度人脑网络的自相似性与高效的信息导航密切相关。

图5：自相似性的丢失导致脑区间的信息导航能力降低

4. 结语

这个工作非常清楚地揭示了人脑结构网络在不同尺度下呈现出自相似性行为，同时科学家们发现了自相似性与高效的信息导航能力息息相关。不仅如此，文中基于双曲空间的复杂网络几何重整化变换方法还能够产生和实证数据高度吻合的多尺度网络。这一方法不仅能够完善大脑图像重构，加速模型仿真，而且极大地促进了网络科学、神经科学以及物理学领域对脑功能微观机制的理解，对脑科学的研究具有重要的意义。