Nature Reviews Physics综述：网络几何

导语

网络是有限的度量空间，其距离由节点之间最短路径所定义，但这并非网络几何结构的唯一形式，网络的几何结构也可以通过隐空间、动力学过程定义。近日发表在 Nature Reviews Physics 的长文综述“Network geometry”，回顾了网络几何研究方法的核心理论和应用，并展望了未来复杂性科学研究的方向与挑战。本文是对该综述的要点简介。

郭瑞东 | 译者

刘培源 | 审校

邓一雪 | 编辑

论文题目：

Network geometry

论文地址：

https://www.nature.com/articles/s42254-020-00264-4

除了将网络定义为两点之间最短距离组成的矩阵，还可以根据网络在隐空间的几何，及网络的动力学过程来定义网络的几何结构。这三种定义是密切相关的，每一种都能够很高效地发现诸如分形、标度不变性、自相似等网络的基本特征。网络的几何结构有很多实际用途，例如理解大脑的运作、互联网中的路由。

从统计物理中，衍生出许多用于复杂网络的分析方法。进20年来，这些方法被证明能复现真实世界网络的诸多特征，也能用于量化网络的结构特征对群体和临界现象的重要性。这些方法中就包含了该综述的主题：网络几何（network geometry）。

复杂网络能够在恰当的尺度变化下，保持自相似性，这意味着网络的几何特征并不简单。最初的研究方法，多来自分形几何。该范式带来了可以将网络分为一般类（university class）的正则化方法，这些方法可用于理解网络的生成机制，及其时序演化过程。

之后，研究者发现网络的分形特征，可以在更基础的层次上，通过隐藏的双曲几何来解释。隐空间的概念自从上世纪提出后，被用做对社交网络中的的节点一致性建模。在这些模型中，节点被置于相似度空间，节点间的连边是随机的生成的，距离越近可能性越高，这意味着相似度越高的节点越容易被连接。

双曲映射成为了最常用的解释很多真实网络特征（例如网络的可传导、网络中的社团、多尺度结构）的统一框架。由于双曲几何的对称性在洛仑兹群上是同态的，双曲几何中的特征，不仅能解释网络的自相似性，还能解释网络生成过程的动力学规则。

由于上述性质，网络几何有很多实际的应用。例如在信息或疾病的传播中，引入基于交通的衡量尺度以及对应的扩散几何，能帮助解释时空演化过程的网络动力学。这为很多相关领域的新研究指明方向。

该综述原文虽然长达23页，但对网络几何的介绍仍然是概略性的，并未完全囊括。对该话题感兴趣的读者，请详细阅读该综述。下文截取原文中关键的几幅图，简要介绍网络几何的应用领域：

1. 网络正则化：三种网络压缩的方式

随着网络节点数目的增加，如何在对网络进行数据压缩的同时，还保留网络原有的性质？这是网络正则化的一类应用场景，综述梳理了三种不同的方法。

图1：三种网络压缩的方法示意图

上图分别展示了三种网络压缩方法。其中，图a和图b对应的方法是最短距离正则化，左图代表将两点之间最短路径依次为1，2及3的节点简化为一个点，左图指出这样简化之后，网络的结构不变。图c和图d对应的方法是度阀值正则化法：按照节点的度数，去掉度数低于1，2，3的节点，右图展示使用该方法对互联网路由网络进行简化后，网络的平均聚类系数和正则化之后的度数的关系不变。图f描述对人类新陈代谢网络通过改变最短路径的长度（图e），进行几何正则化，正则化后的网络尺寸更小，但保持了原网络的社团结构（相同颜色的点代表属于同一个社团，其拓扑结构不变）。

2. 从小世界网络到分形网络

复杂网络广为人知的两个性质，小世界和分形，可以通过网络几何连接起来。下图展示了将最左边的分形网络，通过按照一定比例，随机重新设定节点间的连接，让网络先变为包含捷径的分形网络，之后变为具有小世界性质的随机网络。

图2：通过节点重连接，从分形网络变为小世界网络

根据描述网络几何的两个指标，幂律系数及相关性指数，可以将网络进行分类，如图3所示。其中具体的每一个数据集描述见http://jamlab.org

图3：不同类型网络根据几何结构可分为三类

按照描述网络自相似性的两个指标：幂律系数（横轴）及节点相关性指数（纵轴）对不同网络进行分类。图中实线代表的网络为随机网络，蓝色区域的网络，关键节点（hub）的聚集效应比随机网络更强，橙色的区域的关键节点聚集效应比随机网络更小。而纵轴2处的实线，分隔了包含分形与非分形的网络，故绿色区域的网络，其特点是层次化的标度一致。

3. 网络正则化的过程代表了网络的时序演化

前文介绍了通过最短距离，对网络进行正则化的方法。实际上，网络从最初演化的过程，可以看成是反向的正则化，即网络中的节点不断分化，产生在同一个群落中的新连接，如图4所示。

图4：对当前网络，使用最短路径正则化，可以得到更古老场景下，节点更少的网络

图5展示了酵母进化过程。最早共同祖先的蛋白质相互作用网络相对简单。随着进化，参与反应的蛋白质功能分化。由于其在网络中处在相近的社团中，能通过重整化，依据几何结构构建不同进化阶段的蛋白质相互作用网络。

图5：根据Song– Havlin–Makse (SHM)模型及重整正则化，可以重现出酵母进化过程中不同阶段蛋白质相互作用网络

4. 双曲空间映射，改变对网络几何的描述方法

图6：双曲映射后的各国贸易网络

通过双曲几何，将世界贸易网络进行映射，如图6所示，可以看到中美两国位于网络中心。产业结构相似的国家，例如日本、韩国、新加坡（JPN、ROK、SIN）聚在一起。这说明了对网络进行双曲几何的映射，能够自动化对复杂系统建模，并反映出节点间的相似性。

另一个例子是对地图中代表不同高度的节点进行双曲映射后，能够近似地找出最短的路径，如下图：

图7：双曲映射后的带有高度信息的地图网络

对地图中不同高度的位点组成的网络进行双曲映射的结果，图中黄点为出发节点，绿点为终点，红线为等高线，蓝线为最短路径。该图反映了双曲映射后，相似的节点聚在一起，从而能够通过最短路径，近似地等价于实际的等高线。

5. 网络中的有效距离决定节点间的传播

最后一个网络几何的应用，是研究网络几何对网络中信息传播的影响。下图对比了使用实际地理距离和网络节点间的有效距离，分别对2009年源自香港的H1N1型流感传播过程的描述。可以看到，使用节点间的有效距离时，不同地区，位于不同时间的病例数位于一条直线上。据此可以对病毒/信息的传播范围进行预测。

图8：流感病毒传播过程时序图（a）及网络有效距离和传播病例数的对应图(b、c)

2009年H1N1病毒的传播过程，红点越大，传播数越多。美国因为航空网络等原因，与香港的有效距离更近，所以实际上病毒疫情在美国的爆发早于在中国大陆的爆发。在考虑了网络间节点的有效距离（例如两点之间通过飞机连接）后，发现有效距离越近，爆发越早（图8-c）。

6. 回顾网络几何的三个关键词

我们熟悉的几何是欧氏几何，而网络的几何，因为节点处于非欧空间，因此更为抽象及形式化。数十年来的研究，网络几何相关的方向已有数十个，具体内容请阅读该综述论文。该综述总结了网络几何的三个关键词：

第一是“自相似”，具有分形性质的网络，允许不同度数的节点以相似的方式自组织，从而使得网络的正则化和一般类成为可能。

第二是“双曲空间”，通过改变网络几何的描述方式，将网络映射到双曲空间，可以自然地展示小世界、节点异质性、聚类、社团结构、网络中的对称性和连通性等网络属性，并可以通过多种网络正则化方法对网络进行多尺度展开，以揭示复杂网络在各尺度下的自相似性。

第三是是“运动学距离”（kinematic distances）。网络动力学过程会产生运动学距离，它表征了系统功能的有效几何形状。因此考虑网络的生成过程，能够比单纯考虑网络几何本身，更好地帮助人们理解网络的功能和性质。对于理解网络所描述的复杂系统中的跨层次自组织和由信息交流带来的涌现现象，网络几何也是一个有力的工具。

总之，网络几何的发展提供了一个新的理论框架，让研究者可以深入了解复杂系统的基本原理，并且更广泛地结合物理实际。该领域未来有望与其他物理领域产生有价值的交叉成果。

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