导语


相变与临界现象的研究对象逐渐由过去的无穷大平衡系统扩展到自然与社会复杂系统。我们知道，平衡系统微观态的分布是已知的，而复杂系统一般处于非平衡态，其微观态分布以及序参量一般来说都是未知的，这就给复杂系统的研究提出了挑战。针对这些问题，北京师范大学的陈晓松教授与合作者提出了一个基于本征微观态（Eigen microstates，EM）的理论方法来分析复杂系统的相变与临界现象以及其动态演化。

晏丽 | 作者

刘培源 | 审校

邓一雪 | 编辑



论文标题：

Eigen microstates and their evolutions in complex systems

论文网址：

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1572-9494/abf127




1. 基于本征微观态的理论方法




系统科学的核心问题是研究各个领域内复杂系统集体行为的涌现机制。而相变与临界现象则是系统最显著的集体行为。当前人们迫切的希望能够研究涉及气候、生命、生态、社会、金融等自然和社会复杂系统。对于这些复杂系统，分析它们的临界因素是否已经接近或者到达临界点，以及不同的临界点之间是否由关联，是复杂系统研究的重大科学问题。而研究复杂系统的相变以及临界现象，怎样研究处于非平衡态或者系统的序参量未知的复杂系统一直是困扰研究者的难题。下面简要介绍该团队提出的新方法。


论文作者从吉布斯提出的系综理论出发，定义一个统计系综，该系综由一个具有N个成分的复杂系统中的M个微观态组成，这个统计系统由归一化的N×M的统计系综矩阵A表示。其中矩阵A的列描述系统的微观态，行与时间有关（系统个体的时间序列）。对A进行奇异值分解，统计系综可被分解为：



在这里 r=min (N, M)，其中，U1为本征微观态，V1为该本征微观态遵循的时间演化，⊗表示克罗内克积，其中σ1表示U1在系综中的概率，满足归一化条件



用这样的方法，可以将原来相互关联的微观态转变为相互独立的本征微观态，就可以将最初的微观态用本征微观态进行线性组合，这个线性组合的大小与本征值σ1（即权重因子）成正比，即σ1越大，占比越多。


一般来说，在一个无序的复杂系统中并不存在一个主要的本征值和微观态。但当我们将微观态转变为本征微观态时，原来的每个微观态都可以看作一系列的本征微观态的线性求和，当某个权重因子σ1为有限值的时候，统计系综就会产生本征微观态U1的凝聚，这种凝聚与玻色气体中的玻色-爱因斯坦凝聚类似。这也就表明产生了U1的涌现以及产生了相变。


研究者将本征微观态的方法成功的应用于三维伊辛模型、地球系统、股票市场这三种不同的复杂系统中，揭示了这些复杂系统的临界现象以及相变。





2. 本征微观态在平衡系统中的应用




伊辛模型（Ising model）是一类描述物质相变的随机过程（stochastic process）模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，发生相变的系统一般是在组分之间有较强相互作用的系统。

伊辛模型所研究的系统由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。常见的二维伊辛模型示意图使用箭头方向表示自旋方向。


图1. 伊辛模型的概念图


对于处于平衡状态的三维伊辛模型，该团对通过研究本征微观态U1的空间分布来观察相变的特性。对于一个在三维空间的本征微观态，给出了四个等距的截面图来展示其空间分布。其中，在T*=5.5116时（高于临界温度），从图中可以看到，这些本征微观态中的自旋簇都具有微小尺寸，且在空间中随机分布。在T*=4.5116时（接近临界温度）以及在T*==3.5116时（低于临界温度），最大的本征微观态EM1产生一个凝聚。这表明，当本征微观态的概率变得有限时，就会出现一个铁磁相变。


图2. 在T*=5.5116（左）、T*=4.5116（中）、T*=3.5116（右）时，与U1U2U3距离相等的四张截面图（各行以此对应第一二三大本征微观态，各列代表三维正方体不同高度的截面）


图3. 在T*=5.5116（左）、T*=4.5116（中）、T*=3.5116（右）时，三个最大本征微观态随时间的演化图





3. 本征微观态在非平衡系统中的应用




1. 本征微观态揭示地球系统中的气候模式


由于地球系统中的岩石圈、大气层、水圈、生物圈等等结构中存在的非线性的相互作用以及反馈回路，地球系统也可以看作成一个复杂系统。论文作者将本征微观态理论用于分析地球系统中的气候现象。

研究者基于地球的每日表面气温（surface air temperature（SAT）），将地球的微观态作为一个整体来研究。通过SAT构建地球系统的系综矩阵，将该矩阵分解为一系列本征微观态，选取其中最大的六个本征微观态作为研究对象来讨论这些本征微观态与气候现象的关系。

图4. 地球的六大本征微观态的空间分布（左）以及其随时间演化的示意图（右）

本征微观态EM1展现了一个经典的日点模式，其空间格局展现出半球间的对比（图4a），从图5可以看出，本征微观态EM1的演化图展示了一个十分规律的一年一次的峰值。

图5. EM1随时间演化图

在本征微观态EM2中可以看到一个显著的海陆对比，其空间图形如图4b所示，这揭示了由于陆海之间热容差引起的显著的陆海之间的温度对比。图6揭示了本征微观态U2与季风分布的关系。

图6. （a）全球季风区分布图。（b）空间绝对强度超过U2最大绝对强度40%的区域分布图

本征微观态EM3很好的展现了热带地区的气候波动（如图4c），又因为热带对流与海温有很大关系，所以本征微观态EM3也可以用于揭示热带降雨的规律。

图7 左图展现了1950-2018的平均海面温度分布图，右图展现了1979-2018的年平均降雨量分布图。


由图4d可以看出，本征微观态EM4的演化图展现了一个半年度信号，在气象学中，这被称为半年度振荡（semiannual oscillation，SAO）。图8展示了本征微观态EM4与半年度振荡的相关性。

图8. 左图为半年度振荡（SAO）的幅度，右图为U4的绝对振幅

本征微观态EM5、EM6都揭示了厄尔尼诺现象的规律，图9中本征微观态平均值U5与厄尔尼诺现象有R=0.89的相关性。

图9. 海洋尼诺指数（ONI）（红线）与超90天本征微观态EM5随时间的演化V5平均值（黑线）的对比图


2. 本征微观态揭示股票市场中的规律

该团队通过研究股票市场的本征微观态来分析股票价格的波动模式。数据来源于上海证券交易所和深圳证券交易所。一些综合指数常常可以用来描述金融市场的变化趋势。下面将用三个比较重要的指数来展现上海证券交易所市场的表现，分别为：上证100指数（SSE100 Index）、上证能源指数（SSE Energy Sector Index）、上证材料指数（SSE Materials Index）。

同时，构建股票市场的系综矩阵，且该矩阵可以被分解为一系列本征微观态，其中最大的三个本征微观态。

图10. 股票市场三大本征微观态随时间的演化V1V2V3（左图）与中国股票市场的三大本征微观态随时间的演化（黑线）与三大指数：上证100指数、上证能源指数、上证材料指数随时间演化（红线）的对比图（右图）。


将三个指数随时间的演化图与股票市场三大本征微观态随时间的演化图V1V2V3（如图10）放在一起。我们可以看到，V1V2V3与上证100指数、上证能源指数、上证材料指数的演化几乎完全一致。其中，V1相关系数为R=0.95，V2相关系数为R=0.84，V3相关系数为R=0.75。上述本征微观态很好的描述了股票市场是本征波动模式。本征微观态EM1描述了整个股票市场的总体趋势，本征微观态EM2、EM3描述了能源与材料部分在股票市场中的演化。股票市场的层次特征可由其本征微观态展现出来。




4. 复杂系统研究的新路径




现如今，对于复杂系统的临界相变问题的研究已经越来越迫切，而基于本征微观态的理论可以很好的研究未知序参量的非平衡复杂系统的相变与临界点问题，例如研究集体行为中的相变、气候系统和生态系统的临界点等等问题。该方法将复杂系统中的相互关联的微观态转换为相互独立的本征微观态进行研究。当本征微观态的权重因子变为有限时，本征微观态就会凝聚，产生一个新的相，这个相就由其本征微观态表示。

论文作者将该方法运用于三维伊辛模型（平衡复杂系统）、地球系统、股票市场（非平衡复杂系统）中，揭示了这些复杂系统的相变与临界现象，这表明该方法在平衡与非平衡复杂系统中都适用。

本征微观态方法开辟了一个研究复杂系统相变与临界现象的新路径，提供了一个新的理论框架，统一地处理平衡态与非平衡态复杂系统的相变与临界现象。


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