本次课接上节课对Abel群范畴的讨论，进一步讨论线性空间范畴。

首先回顾熟知的线性空间定义中的8条公理。说明前4条描述的其实是按照向量加法形成的Abel群，两个线性空间各自的向量加法，在线性变换下可以保持线性结构。后面4条涉及到更多的代数构造，包括环、域、模等，这方面可以参考抽象代数的教材。

以线性空间为对象、线性映射为态射，形成了线性空间范畴。以信号采样为例，用矩阵的方式描述信号的差分。通过对采样点的无穷大极限，得到了求导算子。通过从差分过渡到微分，体会到在线性空间范畴中，线性代数和泛函分析这两门学科的统一性。

自态射在数学上有根本的重要性，无论是量子力学上的线性算子、群的表示、动力系统、自动机、随机过程 … … 对自态射最基本的研究方法是作用。作用视为一种驱动范畴中的对象（系统）发生内在改变的动力，体现了表示论的思想。

上次课用整数讲解了Abel群，整数上有加法和乘法。加法是Abel群中的结构，而乘法则体现了Abel群范畴中的自态射。在整数群的基础上引入了环的结构，整数既可以视为集合中的元素，也可以表示为整数群自身的群自同态，这样就产生了整数环。

环是Abel群范畴上的自态射的描述，另一个在课程中多次强调的实例就是线性空间范畴。有限维的情况下可以用矩阵环来类比，它也构成了一个环的结构，能够对应到线性空间上的自态射。整数环和矩阵环，构成了交换代数和非交换代数的分野。

从线性空间范畴自然地引申出模范畴。我们介绍了通常专业学习，从线性代数、抽象代数、同调代数到范畴论的学习路径。环和模范畴在这个知识体系中起着承上启下的作用。我们主张以线性空间范畴为基础讲解，以便理解模范畴和更抽象的范畴。

环作用在Abel群上，产生模的概念。我们简要介绍了以范畴为对象构成的范畴范畴。诸多的模范畴之间的联系，体现了范畴范畴的研究意义。要在两个模范畴之间建立联系，最好的例子就是矩阵空间。我们用矩阵的左乘和右乘，构造了两种不同的矩阵空间上的自态射，矩阵空间本身也同时构成两种环上的模，于是连接了两种模范畴。

我们用一节课梳理了线性空间构造过程中涉及的诸多代数对象，及其相应的范畴。其中的细节，读者可以参考系统的代数学教材，如[李文威2019]或[Aluffi2009]，这些都是用范畴论的方式编写的代数书。模范畴在同调代数和范畴论中极为重要，系统性的入门介绍可以参考[Anderson1992]。

• 线性空间蕴含的Abel群

• 线性空间范畴对有限维和无限维的统一

• 研究线性自态射的意义

• 从线性代数看模范畴

J-CAT猫圈

教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

课程大纲（第一季）：

1. 线性代数——范畴的视角

2. 集合范畴和等价关系

3. 偏序集范畴

4. Abel群范畴

5. 线性空间的范畴化构造

6. Hom函子

7. 线性空间的对偶性

8. 正向极限与逆向极限

9. 正合

10. 从集合到拓扑空间

11. 自由函子

12. 从几何到代数——同调群的构造

课程目的

• 为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程

课程适用对象

如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

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