导语


与自然语言描述为主的科学哲学不同，范畴论是数学领域抽象程度的顶峰，是可以以公式或者其它数学表达方式明确指导具体研究的。学习范畴论的过程，也是在体验系统、精确、抽象的科学方法论。理解范畴论促进学科联系的过程，并付诸各领域考察的问题，有望寻找到跨领域的解决之道。


为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。希望这门课程可以帮助大家破除门槛，顺利入门。


此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。今日更新第11课，主题为自由函子。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。




课程简介




计算机理论中基础的形式语言建立在字符串的基础上。字母表是有限集合，通过有限生成的方式产生了字符串的集合，这是最基础的生成，它构成了从集合范畴到集合范畴上的函子。字符串集合上的串接和空字符串，构成了幺半群的结构。


引入群中逆的运算，有限生成下产生了更丰富的结构，字符串成为了字。一般地从集合生成群的过程构成了自由群，这种构造是一种函子化的构造。以整数为系数，有限整数次的作用构成了自由Abel群。作为类比，熟知的是在线性代数中，通过线性组合的方式，以域系数来张成线性空间，这也是自由生成的实例。


为了更好理解自由构造过程，说明如何用态射的方式来替代集合论。集合范畴中，在单点集上构造集合映射，可以替代给定集合中的元素，从而用态射的方式来定义集合中的元素。这是从集合论到范畴论的一个思维转换。


不仅在集合范畴中可以用态射来替代元素，在赋予了更多代数结构的范畴中往往也可以。进一步用于群，建立了群同态和群元的同构关系，从而可以用群范畴的态射来定义群元。


从群中遗忘掉群的结构，只留下无结构的集合，构成了遗忘函子。它和自由构造的方式相反，在范畴论中构成了一对基本的伴随函子。





课程大纲




  • 自由幺半群

  • 自由群

  • 整数群

  • 自由函子





课程讲师




J-CAT猫圈

教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

研究兴趣包括：范畴论、动力系统、人工智能。


范畴论精品入门系列课程／每周更新

持续报名中


课程大纲（第一季）：

  1. 线性代数——范畴的视角

  2. 集合范畴和等价关系

  3. 偏序集范畴

  4. Abel群范畴

  5. 线性空间的范畴化构造

  6. Hom函子

  7. 线性空间的对偶性

  8. 正向极限与逆向极限

  9. 正合

  10. 从集合到拓扑空间

  11. 自由函子

  12. 从几何到代数——同调群的构造

课程目的

  • 为初学者，特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程


课程适用对象

如果您满足以下任意条件，欢迎你加入我们，学习范畴论！

  • 对现代数学体系和方法论有兴趣

  • 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

  • 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

  • 希望了解范畴论的思维方式

  • 有兴趣的中学生


报名（长期有效）：

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购课链接：https://campus.swarma.org/course/2723


支付宝与微信支付均可付费。付费后，请在课程详情页面，扫码二维码填写“学员登记表”，填表结束后，会弹出课程助教微信二维码，添加助教微信，即可加入课程交流群，与老师同学互动。本课程可开发票。

详情请点击：
人人可学的范畴论——跨领域的科学方法论 | 精品入门系列课



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