《张江·复杂科学前沿》课程已经上线得到APP。在第一模块中，张江老师总结了学习复杂科学必备的5大工具——涌现、混沌与非线性、标度对称性、因果倒置、链接模式。
所谓的混沌现象，其实是一种由确定的规则所产生的看起来随机的现象。混沌系统之所以看起来混乱，是因为它对初始误差非常敏感，导致我们无法准确预测混沌系统的长期行为。而初值敏感性的产生机理，就在于非线性相互作用的存在。在复杂系统中，混沌与秩序同时并存。
今天我们在课程基础上，进一步聊聊「混沌与非线性」的一些拓展知识。
混沌理论（ Chaos theory ）是数学的一个分支，主要研究动力系统的混沌状态，其表面无序和不规则的随机状态往往受到对初始条件高度敏感的确定性规律的支配。动力系统关注的是对系统的描述和预测，其所关注的系统通过许多相互作用的组分的集体行为涌现出宏观层面的复杂变化。动力一词意味着变化，而动力系统则是以某种方式随时间变化的系统。
混沌理论是一个跨学科的理论，它表明在混沌复杂系统的明显随机性，有潜在的模式，相互联系，不断的反馈循环，重复，自相似，分形和自我组织。
蝴蝶效应是一个最著名混沌效应，描述了如何在一个确定性非线性的一个状态的微小变化可以导致大的差异在后来的状态(意味着有对初始条件的敏感依赖)。这种行为的一个隐喻是，一只蝴蝶在南美亚马逊扇动它的翅膀可以引起北美德克萨斯的飓风。
非线性系统是一种输出的变化与输入的变化不成比例的系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的，因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于，非线性系统可能会导致混沌、不可预测，或是不直观的结果。
生物增长和人口增长非线性实例。例如正常条件下，历史上人类人口数量增长就呈现指数增长趋势，这就是非线性的。
第一个明确的混沌系统的例子可能是19世纪末由法国数学家庞加莱（Henri Poincaié）提出。庞加莱是现代动力系统理论的奠基者，可能也是贡献最大的人，大力推动了牛顿力学的发展。庞加莱在试图解决一个比预测飓风简单得多的问题时发现了对初始条件的敏感依赖性。
他试图解决的是所谓的三体问题（three-body problem），根据牛顿定律预测，三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。牛顿已经解决了二体问题，这非常简单。但是三体问题要复杂得多。庞加莱通过研究，发现一般三体问题无解，即没有解析解。只有在特殊情况下的解：
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三星成一直线,边上两颗围绕当中一颗转.
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三星成三角形,围绕三角形中心旋转.
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两颗星围绕第三颗星旋转.
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三个等质量的物体在一条8字形轨道上运动.
初始条件中的微小差异，例如数值计算中的舍入误差，可能导致此类动力系统的结果差异很大，使得对其行为的长期预测通常是不可能的。即使这些系统是确定性的，这意味着它们未来的行为遵循一个独特的演变，完全由它们的初始条件决定，没有任何随机因素参与。换句话说，这些系统的确定性本质并不能使它们具有可预测性。这种行为被称为确定性混沌，或简单的混沌。
在混沌理论中，一个动力系统归类为混沌，它必须具备以下特性:
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它必须对初始条件很敏感,
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必须具有拓扑传递性,
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它一定有密集的周期轨道。
在某些情况下，上面提到的最后两个性质实际上暗示了对初始条件的敏感性。在这些情况下，虽然它往往是最重要的实际特性，但定义中不必说明“对初始条件的敏感性”。
爱德华·洛伦兹 Edward Lorenz将这一理论总结为:
混沌：当当前决定未来时，但是近似当前并不能近似确定未来。
1954年，三位数学家科尔莫戈罗夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov）、阿尔诺德（Vladimir Igorevich Arnold）和莫泽（Jürgen Kurt Moser）证明了一个非常重要的动力学定理：KAM定理，它说明经典力学的相空间轨迹既非完全规则的，亦非完全无规的，但是它们十分敏感地依赖于对初始条件的选择，三维以上非线性系统的运动轨道出现混沌现象具有普遍性，仅仅微小的涨落就可能引发类似“蝴蝶效应”混沌的出现。
因此混沌现象存在于许多自然系统中，包括流体流动、心跳异常、天气和气候。社会学、物理学、环境科学、计算机科学、工程学、经济学、生物学、生态学和哲学。该理论为复杂动力系统、混沌边缘理论和自组织过程等领域的研究奠定了基础。
https://wiki.swarma.org/index.php?title=混沌理论
https://wiki.swarma.org/index.php?title=非线性系统
吸引子（Attractor）是一个系统在各种条件趋于演化的某种稳定状态，即相空间的稳定轨迹。不同的系统有不同的吸引子，例如不动点（平衡）、极限环（周期运动）或整数维环面（概周期运动），这些都叫平庸吸引子。混沌系统的吸引子被称为奇异吸引子（Strange attractor）或混沌吸引子，它是混沌总体稳定性和局部不稳定性共同作用的产物，往往具有复杂的拉伸和扭曲的结构，表现出自相似性和分形特征。
其中最著名的吸引子就是洛伦茨吸引子（Lorenz attractor）：
杜芬方程吸引子（Duffing oscillator）
混沌边缘
混沌边缘是有序和无序之间的过渡空间，它是复杂系统的一个有界的不稳定区域，不断地发生着有序和无序之间的动态相互作用。一个能出现复杂现象的系统往往具有很大的自由度数目，由于非线性的存在，导致在高维相空间中存在一个有很多大于零的Lyapunov特征指数的奇异吸引子。在这样的奇异吸引子中存在数目巨大的有序成分和各种各样反映为物理空间有结构、时间上为混沌的成分，这些成分在通常意义下为不稳定。一旦受到某种刺激，按照混沌控制思想及其尚不知原因的原理，很快地、自适应地选择目标并达到目标，这样就导致了各种复杂现象的产生.由于这些成分构成奇异吸引子中的一个稠集，因而对于目标响应是非常敏感的，这就导致某种不可预测性存在。
尽管混沌边缘的概念十分抽象且不直观，但它确实在生态学、商业管理、心理学、政治科学、社会科学等领域具有诸多应用。物理学家发现几乎所有具有反馈的系统都会适应混沌边缘。
在研究非线性动力系统的时候，有一个简单的模型，叫逻辑斯蒂模型（logistic map）。它也许是动力系统理论和混沌研究中最著名的方程，却能反映出混沌现象的实质。下面就是这个方程，其中xt是当前值，xt+1则是下一步的值
如果我们让R的值变化，逻辑斯蒂映射就变得非常有趣。
我们先从 R=2 开始。x的初始值x0。也必须介于0和1之间，将它们代入逻辑斯蒂映射，得出x1为0.5。同样，x2也是0.5，后面也一样。
因此，现在让x0=0.2，则有 x1=0.32，x2=0.43.52， x3=0.4916019，x4 =0.4998589， x5=0.5，x6=0.5，……此时结果收敛于 0.5。
也就说，在R = 2的时候，无论初始值是多少，最后结果都会收敛于0.5。
如果让 R=3.1 就变得有趣了，x 永远也不会停在一个不动点，它最终会在两个值（0.5580141和0.7645665）之间振荡。
画一个分岔图来总结，横坐标为 R，纵坐标是各R值对应的x的吸引子的最终值，则是：
我们可以看到，仅仅是 控制值 R 微小的变化，最后造成的结果却是天壤之别。
这个模型形象地说明了混沌现象的初始敏感性。大家从前面三体问题中有特解，也可以看出这点。
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圣塔菲课程：Introduction to Dynamical Systems and Chaos（混沌与动力学系统的介绍）：https://campus.swarma.org/course/1655
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非线性动力学与混沌 系列课程：https://campus.swarma.org/course/697，以及主讲人斯托加茨的同名著作《非线性动力学与混沌》
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《从抛物线谈起——混沌动力学引论》，郝柏林
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《混沌与分形——科学的新疆界》，[德] 佩特根 / [德] 于尔根斯 / [德] 绍柏
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