导语


与自然语言描述为主的科学哲学不同,范畴论是数学领域抽象程度的顶峰,是可以以公式或者其它数学表达方式明确指导具体研究的。学习范畴论的过程,也是在体验系统、精确、抽象的科学方法论。理解范畴论促进学科联系的过程,并付诸各领域考察的问题,有望寻找到跨领域的解决之道。


为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言,克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍,集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课,筹划了“集智范畴论入门系列课程”。希望这门课程可以帮助大家破除门槛,顺利入门。


此系列课程为周更课程,每周日中午12点更新。今日更新第12课,主题为从几何到代数——同调群的构造。欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。




课程简介




作为前面课程的一个总结,本节课以极快的速度介绍了代数拓扑中的同调群。这节课在前面课程所介绍的知识基础上,强调几方面的思想:


1. 拓扑空间这样的几何对象,如何找到相应的代数范畴来描述,第4、10课相关
2. 正合这样的代数结构如何描述边界这样的几何问题,第9课相关
3. 同一个问题在集合范畴、Abel群范畴、线性空间范畴的描述,第4、5、11课相关

4. 同样的拓扑性质,在不同的范畴中用不同的极限表述,第8课相关


首先介绍了如何用有限的点来表述简单的几何性质,通过单纯形和复形把拓扑空间代数化。边界这样的拓扑性质,在复形中可以用简单的定向边界的方式计算。边界没有边界,它反映为第9课的态射序列的结构,可以用正合的工具来研究复形的拓扑性质。

复形蕴含了拓扑信息,但研究复形并不方便。在集合范畴中表述的复形,虽然可以描述边界这样的拓扑概念,但单纯剖分的不确定性,很难得到稳定的拓扑不变量。由于函子可以把源范畴中的同构关系保持到目标范畴,在集合范畴研究的问题可以转到更好的范畴中。通过第11课介绍的自由函子,把集合范畴中的单形转为Abel群范畴中的链群。

对于边界性质的研究于是转到了Abel群范畴。正合的问题,在集合范畴中用差集描述,在Abel群范畴中则用商群描述,这就是同调群。在同构的意义下,同调群是拓扑不变性,它不随单纯剖分的不同而变化,因此我们通过代数化的方式得到了稳定的拓扑性质。

还讨论了集合范畴中的不交并和Abel群范畴中的直和。用第8课的极限的观点看,拓扑性质在这两个范畴中有着极限意义上的共性。





课程大纲




  • 链群

  • 正合

  • 同调群

  • 余积





课程讲师




J-CAT猫圈

教育法尝试者,同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课,寻找从基础到前沿的最短路径。

研究兴趣包括:范畴论、动力系统、人工智能。


范畴论精品入门系列课程/每周更新

持续报名中


课程大纲(第一季):

  1. 线性代数——范畴的视角

  2. 集合范畴和等价关系

  3. 偏序集范畴

  4. Abel群范畴

  5. 线性空间的范畴化构造

  6. Hom函子

  7. 线性空间的对偶性

  8. 正向极限与逆向极限

  9. 正合

  10. 从集合到拓扑空间

  11. 自由函子

  12. 从几何到代数——同调群的构造

课程目的

  • 为初学者,特别是非数学专业背景的系统、信息研究者提供一个起点低、水平高、观点新的范畴论基础课程


课程适用对象

如果您满足以下任意条件,欢迎你加入我们,学习范畴论!

  • 对现代数学体系和方法论有兴趣

  • 具有专业的数学训练,希望了解范畴论,从新的角度研究的科研工作者

  • 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

  • 希望了解范畴论的思维方式

  • 有兴趣的中学生


报名(长期有效):

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购课链接:https://campus.swarma.org/course/2723


支付宝与微信支付均可付费。付费后,请在课程详情页面,扫码二维码填写“学员登记表”,填表结束后,会弹出课程助教微信二维码,添加助教微信,即可加入课程交流群,与老师同学互动。本课程可开发票。

详情请点击:
人人可学的范畴论——跨领域的科学方法论 | 精品入门系列课



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