全球金融机构组成一个错综复杂的网络，2007-2008年金融危机中就有多种形式的网络效应发挥作用。如何通过网络建模捕捉金融机构之间的复杂关系？金融危机的爆发是否有迹可循？冲击如何在金融网络中传播？统计物理学为应对这些挑战做出了重要贡献，为研究金融网络结构及其动力学提供了强大的工具。2021年6月，Nature Reviews Physics 发表长文综述“金融网络的物理学”，探讨了统计物理学、网络科学和经济学的深刻联系。
研究领域：金融网络，金融传染，网络科学，统计物理学，信息论
Marco Bardoscia et al. | 作者
冯子健 | 译者
张澳、梁金 | 审校
邓一雪 | 编辑
论文题目：
The physics of financial networks
论文链接：
https://www.nature.com/articles/s42254-021-00322-5
目录
摘要
内容要点
一、网络结构
二、金融网络动力学
三、金融网络的统计物理
四、结论和观点
专业词汇列表
参考文献
随着全球金融市场的总价值超过实体经济的价值，金融机构创造了一个体现系统性风险的全球互动网络。理解这些网络需要新的理论方法和新的定量分析工具。统计物理学对这一挑战做出了重大贡献，为研究金融网络结构、动力学、稳定性和不稳定性开发了新的度量和模型。本综述介绍了源于不同金融关系的网络表征，包括直接互动（如贷款）、相似性（如共同所有权）和更高阶的关系——如涉及多方的合同（如信用违约互换）或多层联系（可能延伸至实体经济）。然后我们回顾了金融传染模型，以捕捉各系统中冲击的扩散和影响。我们还讨论了“均衡”（equilibrium）在经济学和统计物理学中的不同定义，以及它们如何导致图的最大熵系综，这为金融网络推断和全局不稳定性预警信号的识别提供了工具。
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金融系统网络建模对于捕捉金融机构之间的复杂关系至关重要。
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金融机构之间存在多种关系，并且不断变化，因此金融网络是一个时序多层网络（temporal multiplex network）。
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金融传染模型使得人们能够理解，冲击是如何在金融机构之间传播的。
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金融网络中缺失的信息可以通过统计力学中的最大熵方法来“重建”。
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基于金融网络的技术已经被从业人员和政策机构所采用。
统计物理学——一种研究多组分物理系统的微观和宏观性质关系的数学方法——在最近几十年中的社会和经济系统的相关研究中起到了重要的作用[1-5]。这篇综述的重点是复杂网络领域的研究及其在经济学和金融学中的应用[6-12]。这些研究本质上是跨学科的，处于图论、网络统计物理和金融经济学的前沿。观察单位（即金融市场的参与者）就其本质而言都属于经济和金融领域，如公司影响和系统性风险分析等应用领域也是如此。在金融网络领域，物理学在社会系统中的应用已经取得了一定的成果和影响[13-19]。统计工具和分析模型通过说明金融系统的复杂性和相互关联性，有助于描述金融风险的特征。金融部门的从业者和决策者以及经济学专业的学者[23-25]所采纳的概念和衡量标准，也都证明了物理学在金融风险领域的重要贡献[20-22]。这篇综述的目的是介绍该领域的主要研究问题、结果以及未来的研究方向。从网络的角度对金融体系进行建模是理解和管理一系列广泛现象的前提，这些现象不仅与金融专业人士和经济学家相关，也与许多其他学科的研究人员以及普通公民、公共机构和政府相关[26,27]。这一观点如今已得到广泛认可，并反映在美国和欧盟金融当局的政策行动和言论中[28,29]。
事实上，在2007-2008年这场影响持续了十多年的金融危机中，有多种形式的网络效应在其中发挥了关键作用[30,31]。金融网络展示了金融系统中有大量重要现象可以从金融行为者之间的相互作用来理解，这填补了一个科学空白。例如，如果某项资产的价格暴跌，不仅会影响那些投资于该资产的投资者，还会影响那些投资于这些投资者债务的债权人。由于存在错综复杂的契约链和反馈机制，由此产生的影响可能比最初的冲击大得多。与复杂系统的其他领域一样，系统层面不稳定性的出现只能从网络结构（例如，封闭链）及其连边和节点的关键属性（例如与风险传播和财务杠杆有关的属性）的相互作用中理解[32,33]（见Box1）。传统的经济模型通常将金融体系描述为一个总体或相互独立个体的集合，这种建模方式不能描述以上这些机制及其对社会的影响[34]。
在这篇综述中，我们首先定义了几种不同类型的金融网络（由直接、间接或更高阶的相互作用产生），并描述了每种网络的静态结构。然后，我们回顾了发生在金融网络上的动力学过程，重点关注金融传染，首先是沿着单边网络中的双边链路，然后通过二分网络上的公共相邻节点，最后是多层网络上的金融传染。接下来，我们回顾了构建与观测数据兼容的金融网络统计系综的研究历程。这种结构需要一个金融网络上的可实证检验的热力学平衡（thermodynamic equilibrium）概念，我们结合经济均衡（economic equilibrium）的概念来讨论这一点。最后，尽管我们都知道丰富的数据集对许多领域复杂系统的研究有巨大帮助，但由于保密问题，金融网络上的分类数据往往无法获得。我们讨论了统计网络系综如何通过从部分信息中估计金融网络的结构来解决这个问题，并通过网络结构的变化来识别不稳定的预警信号。
投资者借钱投资时会受到杠杆作用。例如，当我们以抵押贷款买房时就在使用杠杆。如果我们要买一栋价值20万英镑的房子，投入4万英镑作为首付，然后借16万英镑，那么我们的杠杆等于5——资产（即房子）的价值除以我们的资本。杠杆与风险有关，因为它放大了我们的收益和损失。如果房子的价值增加到22万英镑，我们可以卖掉它，偿还我们的债务（为了简单起见，让我们假设没有利率）后，将获得2万英镑。我们发现房屋价值增加10%就意味着我们初始资本增加50%。然而，如果房子贬值，情况也是如此：贬值10%将导致我们的初始资本减少50%（从4万英镑减少到2万英镑）。更一般地说，如果我们的杠杆等于λ，房子价值的1%变化转化为我们资本的λ%变化。这同样适用于所有杠杆投资者。杠杆作用于任何投资者或机构。λ通常被定义为资产（Assets）和权益（Equity）之间的比率。该图显示了λ = 2的投资者资产负债表的典型化表示。当资产贬值25%（图右）时，权益损失为50%，等于资产贬值乘以杠杆：杠杆越高，亏损放大越高，投资者的风险就越高。
到目前为止，我们考虑的都是一个孤立的投资者，但杠杆作为损失放大器可以被推广到相互关联的资产负债表网络。例如，当银行之间相互借钱时，一家银行的银行间同业资产对应于其他银行的银行间同业负债。当银行面临压力时，与其负债相关的银行间资产的价值会贬值，这将使其债权人面临压力，以此类推。可以看出，网络内冲击的传播由一个矩阵控制，称为银行间杠杆矩阵，其主导特征值决定了外源冲击的内生放大水平[32]。
金融系统可被视为一组相互关联的经济主体，如零售、投资银行、保险公司、投资基金、中央银行、监管机构、金融科技公司、非金融公司和家庭等。这些经济主体之间的关系通常通过合同正式确定，如贷款（例如，两家银行之间，或银行借贷给公司，或银行借贷给家庭）、互惠所有权或保险单。但这种关系也可以是隐性的，比如不同主体对同一种资产的投资就构成了一种间接关系。因此，将金融系统表示为一个网络是很自然的，在这个网络中，节点代表经济主体，连边代表它们之间的关系。在一对主体之间，通常有几种随时间变化的关系。因此，金融系统最真实的表现形式是时序多层网络（temporal multiplex network）。然而，在许多情况下，人们关注的是单个过程，其时间尺度比这些关系变化的时间尺度短得多。这种简化使得将金融系统表示为单层静态网络成为可能。将金融系统表示为一个网络，可以对主体之间的冲击传播进行显式建模。而随着2007-2008年金融危机的发生，这种机制的重要性尤其明显。一些金融机构的倒闭可能会拖垮其它面临风险的机构：例如，雷曼兄弟的倒闭导致货币市场基金 Reserve Primary Fund “跌破净值”，这反过来导致货币市场基金被挤兑，而这又进一步导致了美国国际集团（AIG）被政府救助的局面（以防止AIG的交易对手们遭遇违约损失[30]）。
虽然经济网络包括几种类型的关系，如信贷或商品服务供应，但最能反映经济和金融主体之间关系的是所有权网络[35,36]。通过所有权链，股东可以影响到其直接或间接拥有的公司的活动。因此，已有部分研究对所有权网络的结构及其含义进行了调查。所有权网络具有小世界[37-39]及无标度属性[40]，并且在不同的国家表现出不同的集中属性[41]。全球所有权网络有一个蝴蝶结结构（bow-tie structure），金融公司集中在核心[42]，社区结构则反映了不同的地缘政治模块[43]。它的一些特性可以通过嵌入地理空间解释[44]。其结构似乎非常有弹性，即使是对2007-2008年金融危机这样的突发事件也是如此[45]。
另一部分研究重点则是金融机构之间的信贷网络结构。最早的研究中有人发现[46]，奥地利银行间网络的权重分布及度分布表现出幂律特征，并且具有较小的平均路径长度和比其他真实世界网络更小的聚类系数。不久之后，一项对基于联邦储备通信系统的银行间支付的研究[47]也发现了权重分布和度分布的幂律特征，以及高聚类系数和度异配性。
这些早期研究为之后涵盖瑞士[48]、意大利[49-52]、美国[53,54]、比利时[55]、巴西[56,57]、日本[58]、荷兰[59]、哥伦比亚[60]、德国[61]和墨西哥[62]等地的一系列工作铺平了道路。总的来说，关于信贷网络结构的研究突出了国家银行系统中一些典型化事实的存在，例如不同网络中常见的统计特征。这些金融网络通常非常稀疏，具有厚尾度分布、高聚类系数和短平均路径长度以及异配性。
一些研究发现，金融网络的特点是核心-外围结构。这意味着核心机构之间紧密相连，而外围机构虽然连接松散，却通常与核心节点相连[63-67]。事实证明，核心-外围拓扑结构可能是中介机构不完全竞争的结果[68]。然而，核心-外围拓扑相比于零模型，既不普适也不鲁棒[59]，并且其它结构根据数据粒度的不同，可以更好地拟合数据[69]。在2007-2008年金融危机之后，中央交易对手（central clearing counterparties，CCPs）的建立意味着交易者的许多双边合同单一机构（中央交易对手）重新安排。事实表明，中央清算通常会降低系统性风险[70-74]，但也会增加对抵押品的需求[75]，尤其是在有较多[72]中央交易对手的情况下。还有证据表明，对于清算成员中发生违约基金的现行标准可能不够充分[76]。
在一些情况下，金融实体不一定通过“直接”互动（如资金流动、持有股票或金融敞口）联系在一起，而是通过某种形式的“共现”（co-occurrence）方式联系在一起，这可能是间接的，如共性、相似性或相关性。例如，两个机构的关联可能是因为它们的董事会共享一个或多个成员（所谓的连锁关系[77]），或者它们的投资组合共享一个或多个资产（共同所有权/重叠投资[78]），或者它们的股价遵循类似的趋势（价格相关性[79]）。从技术上讲，这些共现形式可以通过二分网络及其单模投影来表示。有一种特殊类型的共现网络，其上的节点由一些实证时间序列（例如，在金融市场上交易的股票）描述的金融实体表示，并且其连边由相应时间序列之间测量的相关性[79-81]或因果关系[82]（例如，Granger 因果关系）来加权。这个网络可以看作是多元时间序列原始集合的单模投影，其中二分网络的两类节点分别代表股票和时间长度（图1a，b）。
对这些类型的金融网络的分析表明，共现网络可以揭示从节点的内在属性来看不明显和不可预测的高阶属性。例如，对美国公司治理连锁网络的分析显示[77]，最有影响力的董事不一定在大公司的董事会任职。类似地，对几个金融市场中基于相关性的网络的分析从实证上识别出了几组从行业或地理分类来看不可预测的强相关性股票[79,80,83,84]和信用违约互换[85]（credit default swaps，CDSs）。这种数据驱动的资产聚类可以提高风险建模和投资组合管理的标准要素模型的性能[85]。一般来说，因为投资组合的冲击会被传播给它的所有者（正如我们在动力学部分讨论的那样），不容易被识别出的相关金融资产组的存在会对冲击传播产生重要影响。需要特别小心共现网络的各种特征，而且它们的分析比其他类型网络更加复杂。
首先，尽管一般情况下，金融网络是稀疏的（连接矩阵中零元素较多），但实际从共现网络或相关性网络中获得的单模投影可能非常稠密，即共现网络存在大量间接联系，两个同类节点所共同连接的另一类节点的数量往往不为零。在这种情况下，很难立即生成网络。为此需要引入几种过滤技术，在稀疏化矩阵的同时保持高权值的连接。
第二，在节点存在异质性的情况下，对不同的节点而言，相同的相似性测量值（例如，相关性）可能对应于完全不同的统计显著性水平。出于这个原因，简单地对所有相关性施加相同的全局阈值是不够的，所以需要引入将原始相关矩阵投影到最小生成树[79]、最大平面图[80]或更一般的流形[86]上的替代滤波技术（图1c）。通过这些方法，人们发现，属于同一名义类别的金融实体在网络中可能具有非常不同的连接属性（例如相关连接的中心性、数量和强度）[87,88]。一个悬而未决的问题是对所构建网络中选择嵌入几何的理论论证。
第三，一般来说，实证相似性矩阵的所有参数都倾向于向大值移动，这是所有节点之间存在整体相关性的结果，例如共同的市场趋势。这种“全球”或“市场”模式[83,89-91]掩盖了任何网络表征所要描绘的真正的二元依赖关系。
最后，相关（或共现）网络的测量本质上容易受到维数灾难的影响。对于n个长度为m的时间序列，为了以统计鲁棒性来测量相关或相似矩阵的n（n-1）/2个条目，需要m≥n，即原始数据中足够大量的时间观测值（或二分网络的另一层中的节点），以避免依赖性和统计噪声。不幸的是，对于给定的一组n个节点，增加长度m在现实中通常是不可能的，例如，因为需要考虑的时间跨度太长，非平稳性将不可避免地发生，使得测量的相关性不稳定并且不可正确解释。
上述复杂性导致需要与适当的原假设进行比较，该原假设同时控制节点异质性、可能的“混淆”全局模式和“诅咒”噪声测量。这里需要注意的一点是，在共现网络中，即使是零模型也必然会存在相互依赖的连边。相对于单层网络，这一关键差异源于以下事实：如果节点I与节点j正相关（或共现），而节点j又与节点k正相关，那么节点I和k通常也是正相关的。这种“度量”约束也存在于随机相关的原假设中，而它不适用于为单层网络开发的通常的零模型。因此，天真地使用这些零模型会在共现网络的统计分析中引入严重的偏差。幸运的是，统计物理文献已经提供了足够的零模型[83,89-92]，这些零模型根据随机相关矩阵（从技术上讲是Wishart矩阵[93]）定义，其条目以期望的方式自动相互依赖。
事实上，随机矩阵理论[93,94]已经成为分析相关矩阵的关键工具。该理论的一个成功应用是将测量的相关矩阵的谱与随机相关矩阵进行比较，以选择经验偏离的特征值，从而构建测量矩阵的过滤（非随机）分量[83]（图1d）。这种过滤矩阵能够检测诸如网络社区（图1e）的模式，并以纯粹数据驱动的方式识别经验依赖关系，这些依赖关系也是根据节点的名义分类或分类法先验不可预测的。这个方向的研究很活跃[85,92,95,96]，最近的文献使用超对称性概念研究了更一般的矩阵系综[92]，以进一步完善零假设的分析特征。
图1. 多元时间序列中基于相关性的网络。
（a）原始数据由在m个时间步长上延伸的n个时间序列组成。
（b）数据被转换成 n × n 关联矩阵C，其中条目cij 是第 i 和 j 时间序列之间的相关系数。
（c–e）通过以下几种方式，关联矩阵C可用于在最初n个对象上产生不同类型的网络结构：
（1）通过直接创建由连接具有超过给定阈值[87]的相关度 cij 的节点对的连边形成的网络；
（2）或者通过属于嵌入几何中的某些强加的结构（例如最小生成树[79]或最大平面图[80]）（c部分）；
（3）通过将C（蓝线）的特征值经验分布与预期的Marchenko–Pastur密度（红线）（d部分） 随机关联矩阵（随机矩阵理论中的Wishart系综[93,94]）相比较，以滤除噪声和全局分量[89-91]，并随后识别内部最大相关且相互最大反相关的时间序列社区（可能是分层的）[83-85]（e部分）。
c部分和e部分中的网络是从标准普尔500市场股票的时间序列获得的（转载自参考文献[83，87]），不同的颜色代表股票所属的不同部门：在所有情况下，这些部门都不能预测网络结构，这表明网络结构编码了关于标准分类的高阶信息。c部分在参考文献[83，87]的许可下改编。d部分根据参考文献[85]的许可进行修改，e部分根据参考文献[83]的许可进行修改。
到目前为止讨论的有关金融网络的例子，都是将一对金融机构之间关系的所有信息浓缩成一条（可能是加权的）连边。这通常是一个有效的抽象，但是在现实中，许多这样的关系更加复杂，这种复杂性会对风险传播产生影响。例如，成对的金融实体可以通过多种类型的关系连接起来，每一种关系都捕获一种不同的交互“层”。多层网络[97,98]为描述这种关系提供了一个自然的框架。金融多元化的实证案例研究包括：英国银行间市场的信贷和流动性风险[99]；墨西哥银行系统中的支付和风险[62]；墨西哥银行间市场[100]；意大利银行间市场[101]；股票和外汇市场收益的相关性[102,103]；股票市场收益与新闻情绪的相关性[104]；哥伦比亚金融机构和市场基础设施[105]；欧盟衍生品市场[21]；英国利率、外汇和信贷衍生品市场[106]；以及公司网络[107]。
对金融多层网络的研究发现，不同层的网络结构可能非常不同[62,99,101]，不同层中连边的持久性也是不同的[100,101]，不同层之间的重叠是非平凡的。与简单的单层网络相比，多层网络上的动力学过程（如金融传染）可以产生更丰富的现象[106,107]。本文将在后续讨论金融传染在多层网络上的几种模式。另一个富有成果的调查领域是衍生品市场所隐含的网络。由于数据的可用性，大多数早期的研究都集中在信用违约互换（CDSs）上，信用违约互换是一种衍生合约，在这种合约中，一家机构提出为另一家机构投保，以避免第三方机构违约。因此，它们是金融网络中三主体相互作用的一个例子，类似于物理学中的模型[108]。信用违约互换允许机构对冲其风险，并为不同市场参与者的金融风险提供市场估值。然而，正如一系列研究表明的那样[21,108-110]，当信用违约互换保险公司自身承担了太多风险时，这种传染会在信用违约互换市场上蔓延[111]。此外，事实[112]表明，在某些情况下，信用违约互换合同的存在可能导致无法确定哪些机构违约，在计算中也无法消除这种模糊性[113,114]。
在本节中，我们将回顾金融传染模型，这些模型侧重于金融机构（为简洁起见，在下文中称为“银行”）之间的双边关系，这是金融网络最常见的例子之一。大多数模型可以在图2的顶部面板所示的一般框架下分组[30]。在这种方法中，每家银行都与一些动力学变量相关联，这些动力学变量代表了它们资产负债表中的关键数量。这些变量通过依赖于银行之间关系的动力学方程更新，而银行通常是静态的。代表银行个体的资产负债表包括资产端（为银行创造收入的事物，如发放给家庭、其他银行或公司的贷款）和负债端（其他经济主体对该银行的债权），如客户存款、从其他银行或公司借入的资金、发行的债券和股票。资产负债表的同一性规定，每家银行的资产总和等于其负债总和。负债有不同的优先级（也称为级别）。
如果一家银行倒闭，其资产将被清算，同时其负债将按照优先级从高到低的顺序被偿还。优先级最低的负债是股权，其对应于所有其他负债全部清偿后股东的剩余索取权。因此，它能够衡量银行的净值。资产和负债都可以根据它们所属的市场进行区分，比如说人们通常会区分银行间市场的资产负债与外部市场的资产负债。i 银行的同业负债（银行间市场负债）项目是其对系统中其他银行的偿付义务，如即将进行的支付项目或未来要进行支付的贷款项目。同样，i 银行的同业资产（银行间市场资产）是系统中其他银行对 i 的偿付义务。每笔同业负债（例如，i 对 j ）对应一笔同业资产（ j 对 i ）。因此，同业资产和负债相当于银行对之间的偿付义务。这种网络的构建只需将每个银行作为一个节点，将每笔银行间负债（或资产）作为一个连边。这些网络是单向 （债务不一定是对称的）和加权的（通过债务的货币金额），且没有环路（银行不对自身支付）。
为了简洁起见，在这里，我们考虑了每对银行之间的所有债务都加总成一个同业负债（或资产）的情况。如下所述，基于多层网络的更精细的模型可以克服这个限制。建模中通常采用的方法是用对一家或多家银行施加外部冲击，例如，降低其外部资产的价值，并通过网络传播这种冲击，这与流行病传播方式并无差异。形式上，这种传播方式对应于网络上资产负债表变量演化的动力学过程（由外部冲击触发）。这种方法类似于2007-2008年金融危机后监管机构在全球范围内实施的银行业压力测试。然而，这些人通常孤立地看待银行，而忽略了它们之间的相互作用。因此，将网络效应纳入到传统的压力测试模型中，是一种非常自然的应用。
尽管模型在实现细节上有所不同，但它们只描述了少数几个基本的冲击传播机制。一是流动性传染（liquidity contagion）。在这种情况下，资产负债表中的相关量是同业负债和流动性资产，同业负债代表即将交付的付款，流动性资产是外部资产的一个子集，由现金或易于转换为现金的资产组成。例如，我们假设图2中的所有银行都有一个现金单位，它们的支付义务（即同业负债）如下：L13=2，L21=1，L32=2。付款发生在随后的几轮中。在第一轮支付中，每家银行只依赖现金。银行1向银行3支付一个单位，银行2向银行1支付一个单位，银行3向银行2支付一个单位。因此，银行2已全额支付其债务。在第二轮付款中，银行1和3可以使用第一轮收到的付款分别向银行3和2全额支付债务。这个示例模仿了Eisenberg-Noe模型的迭代解决方案[115]，在该模型中，银行使用其自身的流动资产和从其他银行那里收到的支付款来履行其付款义务。
Eisenberg-Noe模型已经扩展到了多种情形，包括：不能完全支付债务的银行面临破产成本的情况[116]；支付债务取决于其他变量的情况[117]；银行连部分支付都无法实现的情况[118]；以及扩展到连续时间的情况[119]。在Eisenberg-Noe模型中，如果银行只能通过收到的其他主体的付款来履行自己的支付义务，那么传染就可能会蔓延。如果其中一些理应收到的付款没有（或只是部分）交付，银行就不能完全交付其应当支付的付款，这可能会使银行在同样的情况下处于付款的接收端。最初的冲击通常是由不可预见的支付义务引发的，例如由于衍生产品市场的价格波动而产生的追加保证金要求[71,120,121]。
另一个冲击传播机制是偿付能力传染（solvency contagion），当一家银行的破产或信誉下降对其债权人产生影响时，就会发生这种情况。偿付能力传染最简单的形式是违约传染。在这种情况下，只要 i 银行的股本大于零，i 银行的债权人就将其所持有的 i 银行的同业资产按面值计入。然而，当 i 银行的股本小于或等于零时， i 银行的债权人会核销其持有的 i 银行的同业资产，因为他们对得到全额偿付不再抱有希望。（负资产是破产或违约的常见充分条件。然而，2007-2008年金融危机后建立的解决框架意味着，当银行未能遵守监管要求时，即使它们的股本是正的，它们也可能会倒闭。）
在最保守的情况下， i 银行的债权人将持有的相应同业资产的价值设置为零，因为他们预计不会从违约的银行收回任何东西[122]。一般来说，他们对银行间资产折现的系数介于0和1之间，称为回收利率（recovery rate），例如参考文献 [123] 中那样。当 i 的债权人之一 j 注销其同业资产时，j 资产的总价值就会减少，由于资产负债表的同一性要求，j 负债的总价值也会减少。因为股权在所有债务中的优先级最低，所以其将首先核销 j 的损失。然而，如果 j 的股本不够大，它也将违约，从而进一步引发其债权人资产的核销。违约在金融网络中的蔓延被称为违约级联效应或多米诺效应。例如，让我们假设，对于图2中的银行，我们有 A31 > E3 和 A23 < E2（其中Aij是银 i 对银行 j 的风险敞口，Ei 是银行 i 的股本），回收率等于零。如果银行1的股本受到的初始冲击大到足以使银行1违约，即E1≤0，那么银行3将完全注销其银行间资产A31，并且由于相应的损失大于其股本，它也将违约，即E3 <0。因此，银行2也将全额核销其同业资产A23，但由于其权益大于相应损失，因此不会违约。
这些模型在数学上类似于线性阈值模型，因此可以对其进行分析处理[13]，例如，推导出违约级联的规模[124,125]。在更一般的模型中，核销不仅由违约引发，也由违约概率的增加引发。这是债务等级模型、实证模型[128]或估值模型[129-132]遵循的方法[15,126,127]（参见图2的中间面板）。这些通用模型的机制模仿了市场中基础资产的会计要求，其在2007-2008年金融危机期间产生了重大损失[133]。有趣的是，有研究表明[131]，几种传染模型（如前面提到的Eisenberg-Noe模型、违约传染模型和债务等级模型）是更一般估值模型的特例。偿付能力传染是实证研究最多的传染渠道。人们发现，自2007-2008年金融危机以来，发生系统性事件的风险概率总体较小[123,129,134-136]，或者至少大幅降低[132]。然而，系统性事件的后果可能更加严重[129]，风险似乎严重集中在少数关键机构，而这些机构不一定是最大的机构[122,128]。这一发现指出了网络结构所扮演的重要角色[137]，并对“大到不能倒”的范式[15,122]提出了挑战。
图2. 银行间网络及其动力学。
（a）是一个由三家银行组成的典型银行间网络，每家银行都有自己的资产负债表。资产端是银行间市场同业资产Aiib，进一步细分为单个风险敞口（例如，A12是银行1对银行2的风险敞口）和外部资产Aie（细分为A, B, …）。负债端是银行间市场同业负债Liib，同样细分为外部负债Lie和权益Ei。
（b-e）偿付能力通过银行间资产重估传染。外部冲击ΔA1e冲击银行1的外部资产（b部分），并被银行1的股权（c部分）吸收。因为银行3对银行1有风险敞口，所以它对其银行间资产A31（d部分）进行了重估。确切的估值方法取决于具体的模型。最后，银行3资产的减少被其股权吸收（e部分）。
（f-I）通过重叠投资组合传染。例如，银行1出售资产A和B，以达到其杠杆率目标（f部分）。这样做导致资产A和B贬值。持有A和B的银行1和2的资产价值减少（g部分）。因此，银行2现在需要去杠杆化并出售资产A和C（h部分）。这些资产贬值，银行1、2和3的资产价值进一步减少（i部分）。
另一种类型的传染是融资传染（funding contagion），当以前向 i 银行借贷的银行决定一旦贷款到期不再续贷时[138,139]，这种传染就会发生。类似地，对于偿付能力传染，这一决定可以由 i 银行信誉的变化触发[140]。参考文献[140]报告了一个整合了偿付能力和融资传染的模型。
双重风险敞口模型也被用来研究网络底层拓扑与其稳定性之间的关系。遵循标准经济理论的早期文献[141,142]表明，随着冲击传播到更多银行，更多样化（更互联）的网络更具韧性。然而，事实表明[143,144]，当存在放大损失的机制（例如，债权人的反应）时，系统性风险和多样化之间的关系是非线性的。此外，一个连通性更强的网络对小冲击韧性较大，对大冲击的韧性却更小[145]，这与金融网络可能具有“鲁棒但脆弱”特征的推测是一致的[27]。同样，事实[24,147]表明，尽管大范围传染的可能性很小，但系统性事件一旦发生，其后果可能很严重。已经表明，多样化不会对违约级联的程度产生单调的影响。此外，拓扑的作用至关重要[148,149]，没有哪种网络体系结构优于其他网络体系结构[150]。在参考文献[32]中传染动力学的不稳定性（同样可以在参考文献[151]中看到）与特定拓扑结构（不稳定循环）的存在有关，这些拓扑结构可能出现在更多样化的网络中。参考文献[152]、[153]采用了一种不同的方法，通过利用网络结构的最少信息来研究连通性和韧性之间的关系。
还有一种文献着眼于评估和设计（最佳）政策。例如，有研究表明[154]，对风险敞口的限制往往能（但不总是）降低系统性风险，并且开发了一个工具包[136]来测试内部纾困的影响。还有几项研究侧重于对公共财政的影响：研究表明[155]，解决框架可以有效减少外部纾困，基于中心性的外部纾困已经得到调查[156]，最佳纾困条件已经确定[157-159]。与此密切相关的是关于最佳修复策略[160]和金融网络可控性[161,162]的研究，旨在通过定向征税、要求银行披露其系统性影响[164]或明确优化风险敞口[165]等方法降低系统性风险[163]。
冲击也可以在没有通过合约直接联系在一起的银行之间传播。如果它们通过某种共现关系（例如投资于共同资产）间接联系在一起，就会发生这种情况。如果一家机构陷入困境，它可能会出售部分资产。这样做会导致这些资产贬值，从而给其他投资过这些资产的银行带来损失。为了避免进一步的损失，这些银行又可能会进一步采取依次出售资产的策略。尽管这种类型的传染是由市场通过价格来调节的，但相互作用仍然可以被建模为一个重叠投资组合的网络。这是一种二分网络，两种类型的节点分布代表银行和资产，而连边将银行连接到其所投资的资产（参见关于共现网络的部分和图2的底部面板）。在图中，银行1没有直接接触银行2，然而，银行1向银行2的传染可能发生，因为它们都投资于资产A。该图也有助于引入间接风险敞口的概念，也就是说，通过重叠投资组合的网络，银行可能会被动地受到它们没有投资的资产的影响。例如，尽管银行1没有直接持有C资产，但它通过其投资组合和银行2之间的重叠间接暴露在C资产的风险中。
与直接风险敞口的情况一样，这类研究的目标是了解重叠投资组合网络的属性如何影响其稳定性，以及在什么条件下系统能够吸收或放大外部冲击[78,166-170]。为了对这个网络上的冲击传播的动力学过程进行建模，人们需要具体说明银行如何对其投资组合中的损失做出反应（例如，它们如何重新调整投资组合以管理风险），以及资产价格如何对银行的交易活动做出反应。价格对清算的反应通常是通过市场影响函数来实现的[171]，该函数将资产的清算量与其价格联系起来：资产清算得越多，其贬值就越大。大多数文献都考虑了收益或对数收益呈线性的市场影响函数，但也有研究考虑了更复杂的形式，这些形式解释了当一项资产大幅贬值时，其他投资者会试图以低价购买该资产的行为[170]。
关于银行的动力学，最简单的选择是线性阈值模型[172]，在该模型中，只要银行的损失保持在给定的阈值以下（通常选择等于其股本），银行就是被动不做出其他行为的，而当损失超过阈值时则将清算其整个投资组合[78,166]。在这个假设下，传播动力学可以用一个多类型分支过程来近似，并且有可能导出随机网络情况下的分析结果[166]。当分支过程处于超临界状态时，即使是一个小的外源冲击也可以在整个网络中传播。使用这种方法，能够确定出参数空间（典型的参数是银行和资产在网络中的平均度、市场影响的强度、杠杆率）中发生违约级联的区域，并能得出增加多样性（这降低了单个机构的风险）不一定会增加系统稳定性的结论[166]。事实上，就像交易对手违约传染的情况一样[146]，人们观察到违约级联发生的概率相对于银行的平均多样性（它们在网络中的平均度）是非单调的。
从理论的角度来看，随机网络的研究是重要的，但传染模型的最终目标是刻画真实世界中系统的稳定性。例如，2007年，美国商业银行之间的重叠投资组合网络通过数值模拟实现了压力测试[78]。这些模拟揭示了在稳定和不稳定状态之间存在类似相变的现象。将该模型预测会发生违约的银行与2008年至2011年间观察到的实际违约清单进行比较表明，该模型能比随机分类器更好地识别违约，并能够将商业房地产贷款识别为违约的可能触发因素。参考文献[173]进一步证实了由投资组合重叠导致的网络传染模型具有正确识别与危机相关违约的能力。其中参考文献[78]中的分析被扩展到更广泛的行为假设，以分析银行对其资产贬值的反应。参考文献[78]中的模型还被用来研究1990年代末的日本银行危机[174,175]，最近还被用来测试减少违约级联发生的潜在策略[176]。参考文献[176]特别考虑了对欧洲银行和主权债券的二分网络的应用，并表明通过保护一小部分节点可以提高系统整体的稳定性。
尽管被动投资者的假设是一个有用的基准（它可以用来评估主动风险管理的效果，而且在快速发展的危机中，银行没有时间在违约之前做出反应，这种假设可能是现实的），但实际上，银行会通过积极重新平衡投资组合来应对不断变化的市场条件。这是因为银行需要满足内部风险管理程序或监管约束的要求[177]。主动风险管理的研究方法通常是杠杆率目标动力学（leverage-targeting dynamics）[166-169]。在这些模型中，遭受损失的银行清算一小部分投资，试图保持杠杆率不变。事实上，可以证明，杠杆率目标是投资者的一种最优策略，该策略试图最大化其预期的股本回报率，同时受到风险价值（VaR）或预期损失（ES）的约束[178]。
研究[170]还考虑了阈值和杠杆率目标之间的动态关系[170]，在这种情况下，银行直到损失超过给定阈值时才会做出反应，然后再瞄准杠杆率。利用这一动力学过程，有研究对欧洲银行之间的重叠投资组合网络进行了压力测试，考虑了欧洲银行在不同国家的主权债券和公司债券投资之间的重叠部分，并计算了该网络导致的间接风险敞口金额。例如，这一分析表明，尽管欧洲银行只持有少量外国抵押贷款，但其实际上通过重叠的投资组合网络暴露于外国房地产市场风险中。例如，北欧国家银行对南欧国家房地产市场的间接敞口几乎是其名义敞口的两倍。尽管这些估计依赖于对模型及其校准的许多假设，但它们却得出了一个很好的结论，即网络效应的作用是显著的。此外，通过引入两个指标来衡量投资组合重叠导致的间接传染风险，表明银行的规模不一定决定其系统重要性[179]。
投资组合重叠造成的传染也会影响银行以外的金融机构。在过去的几年里，许多研究的重点是那些在困难时期通过清算资产积极管理投资组合的基金。例如，参考文献[180]，[181]提供了基金间重叠投资组合网络的实证特征，参考文献[182–184]引入了压力测试框架来研究美国共同基金、欧洲投资基金和德国基金的稳定性。对美国共同基金网络的一项研究表明，与保留节点度的随机网络的基准模型相比，该网络更为脆弱[185]。
迄今为止，大部分研究侧重于金融系统的特定部门（例如，侧重于银行之间或基金之间的关系），但也有一些研究致力于开发全系统的压力测试框架，在其中会考虑不同部门之间的投资组合重叠[186,187]。参考文献[186]介绍了欧洲金融体系的系统性压力测试框架。该论文考虑了不同类型的传染机制和不同的风险管理约束，从而允许对银行、对冲基金、投资基金和保险公司等不同机构进行建模。该模型是使用银行部门的粒度数据和一组非银行机构的代表性主体构建的，结果表明，在模型中考虑非银行因素会导致冲击放大效应增加。参考文献[187]进一步确认了计算不同部门之间投资组合重叠的重要性，并且介绍了英国金融系统的一个更精细的模型，在该模型中，每个单独的非银行机构都是明确建模的，而不是用一个代表性主体表示。
如多层网络和高阶网络一节所述，风险敞口按期限、级别[130]或资产类别[189]分类的粒度模型[188]可以用多层网络来表示。同样，如上所述，压力可以通过不同的传染渠道在金融机构之间传播。因为每个渠道都可以表示为一个网络，所以对金融传染的完整描述应该同时考虑多层网络上的多个传染渠道。基本上，不同层面的风险可以相互抵消或相互加强。事实上同样如此，系统的稳定性取决于各层之间传染过程的相互作用，这种相互作用的性质可能因层的类型而异。只看一层网络，人们可能无法发现不稳定性，也无法识别其他可能的传染渠道。
已有研究表明[190]，当两个层弱耦合时，多层网络中的系统风险小于聚合单层网络中的系统风险。此外，级联大小的急剧相变在多层网络中更为明显。还有证据表明[191]，将不同级别的债务混合在一起会使系统更加稳定。参考文献[192]介绍了2007年至2013年间墨西哥银行体系的多元化表现。至关重要的是，有研究表明，专注于网络中的单层可能会低估高达90%的总体系统性风险，单个层产生的风险不能简单地相加，而是以非线性方式相互作用。参考文献[193]中也有类似的结果，其介绍了关于欧盟大型银行的基于多主体的多重银行间网络模型。参考文献[194]概述了对应于短期融资、资产和抵押品流动的各层之间可能发生的相互作用，并以2007-2008年金融危机期间贝尔斯登的案例为例，阐明了风险是如何从一层传播到另一层的。
一些关于金融传染的早期研究[13,146,147,195]假设所有银行持有一种共同的资产，并在银行发生违约时对这种资产进行清算，来分析卖空的影响，但他们的关注点仍然是银行间风险敞口网络的拓扑结构如何影响其稳定性。最近，有研究使用奥地利银行间直接风险敞口的数据，并在银行间存在共同资产的假设下，得出了传染渠道之间的相互作用会大大增加总损失的结论[196]。这些发现在参考文献[197]中得到证实，该报告使用了墨西哥银行间直接风险敞口和重叠投资组合的详细数据。同样，对欧洲金融体系进行的全系统压力测试[186]显示，相互作用的传染渠道导致的银行破产数量，可能是相同渠道单独作用时的五倍。
上面讨论的金融网络的统计物理学结构和动力学方法，都是基于网络的静态切片或对切片的时间序列进行的重复分析。因此，它们将特定网络结构的所有微观细节（所有连边的确切位置和大小）作为输入。然而，在分析所有大型系统时，人们可能会从统计物理学的角度出发，怀疑那些产生观察到的结构和动力学模式的微观细节并不都是相关的，换句话说，是否只需指定某些“关键”网络特征，并让架构的其余部分遵循这些特征就足够了。从数据科学的角度来看，这个问题相当于想知道，对特定网络结构（例如，在给定时间和给定地理位置观察到的银行间网络）建模时是否存在过拟合问题。换句话说，当考虑到同一类型网络的不同结构（例如在不同的时间或地点）时，这种模型的结果仍然有效吗？
这个问题可以通过引入网络结构的统计系综来解决，这些统计系综的某些特征与实际网络相同，但在其他方面是随机的[198]。Box2和图3说明了这种方法。从技术上来说，这样的系综是通过如下方法构建的：在想要施加的表示关键拓扑属性的一组约束条件下，寻找使熵泛函最大化的图（在允许的结构上定义）的概率分布。这种统计物理结构可以有效地产生能量函数（或哈密顿量），它是指定约束的线性组合。具有相同约束值的不同结构具有相同的“能量”，并且在系综中以相同的概率出现。
这个过程自然地定义了热力学（或统计）平衡下的网络概念：如果现实世界的网络与某一组约束所指定的系综一致，那么这些约束就捕捉到了现实世界网络中的鲁棒或守恒性质（比如物理学中的总能量）[199]。重要的是，已经发现有几组约束重现了几个实证结构属性（因此，说明真实网络和平衡系综之间存在一致性）的约束是局部的，也就是说，它们包括所有节点的度（可能还有强度）[198,200]。如果只施加全局属性（如连边总数或所有边的总权重），则生成的网络是完全同质的，而且与观察到的真实网络非常不同。
根据最大熵原理，图形构形G的无偏概率分布P(G)通过如下方法得到：强加一组被选作约束的结构性质(C)，并最大化关于其他一切的不确定性[198]。
约束C可以是在特定现实网络G*上测量的一组属性C(G*)，在这种情况下，分布P(G)生成G*的随机配对的系综。这种系综可以作为G*的零模型，这对于检测G*相对其随机配对的经验偏差非常有用——如果后者的拓扑完全已知。或者说，系综是根据部分信息对G*结构的无偏“最佳猜测”，这有助于根据可用属性C(G*)从统计上重建G* ——如果后者的拓扑不完全已知的话。这种结构如图3所示。
定量地说，P(G)是通过最大化香农熵得到的如下泛函，
（1）
其中 Ω 是一组特定的图的集合（例如，所有具有相同N个节点的图作为G*)，服从归一化条件∑G∈ωP(G)= 1，并且所选约束条件C必须被实现 [213]。与传统的统计物理一样，后一个条件既可以作为对每个实现的硬约束（微正则系综），即对于每个允许的G，满足 C(G) = C(G*)，也可以作为对系综平均值的软约束（正则系综），即 ∑G∈ΩP(G)C(G)= C(G*)。
在微正则系综中，最大熵概率在实现硬约束的构型上是一致的。在正则系综中，概率采用参数形式
（2）
其中 H(G, θ) = θ⋅C(G) 是哈密顿量（强制属性的线性组合），θ是与约束相关联的拉格朗日乘子集，
为配分函数。重要的是，P(G∣θ)仅通过强制属性C(G)的向量依赖于G，这是充分统计量。当G*仅被部分观察到，并且C(G*)是关于它的可用信息时，构造最大熵分布P(G∣θ)提供了从部分信息重建网络的统计物理路线。
这个正则系综与指数随机图模型 [198,210,211,262]一致，并且确保P(G∣θ)对没有通过约束强制的属性具有最小偏差[213]。注意方程(2)仅指定了定义正则系综的概率分布的泛函形式，而没有（从数值上）确定拉格朗日乘子。尽管有可能从一些特定的概率密度函数中提取拉格朗日乘子，来归纳网络的原型玩具模型（例如同构图、无标度网络或区块模型）[210]，但是在真实世界网络的分析中，将这些参数与实际网络相匹配至关重要。
为此，根据最大似然原理，可以将函数关于θ求最大化[198, 211]
（3）
这步最大化可以找到满足
这一条件的特定值θ*，这意味着如同期望的那样，每个约束的总体平均值与其经验值匹配。
需要强调的是，一般来说，热力学平衡的概念与经济均衡的概念无关，经济均衡的基础是供需匹配（市场清算），通常要求每个金融机构的某些假定效用函数最大化[201-203]。然而，这两个概念之间的联系[204]可以通过考虑以下因素来建立：如果观察到的网络是经济均衡的结果，那么和所有节点具有相同供需水平的替代结构都是可行的。事实上，根据瓦尔拉斯的经济学理论，交换经济中的主体只关心最终分配，而对实现相同分配背后的不同市场结构漠不关心。所以如果真实网络处于经济均衡，那么任何与所有节点具有相同供需约束的结构也应该同样处于经济均衡。因此，以每个节点的供需为约束条件构造的最大熵系综，应该能够提供一个瓦尔拉斯均衡（Walrasian equilibrium）的热力学构造[204]。有趣的是，这种理论预期导致了局部（特定节点的）网络属性被识别为表征瓦尔拉斯均衡约束的一种选择，这与前述经验结果，即局部属性是在最大熵构造中使用的有效约束相一致。
因此，在某种意义上，经济均衡的概念原则上应该试图解释，现实世界金融网络中观察到的供需约束的真实值，而热力学平衡的概念原则上应该试图去解释，在给定这些真实值的情况下，各种与（瓦尔拉斯）经济均衡一致的市场结构产生的典型网络的属性。考虑到这些因素，我们讨论了金融网络统计系综在网络重构和模式检测中的可能应用。
图3. 金融网络统计系综的构建及其在网络重构和模式检测中的应用。
从真实世界网络G*（a部分）开始，选择一组结构属性C(G*)作为约束——例如，所有节点的度或强度（b部分）。然后，网络的正则系综是通过计算在所选约束下概率分布P(G∣θ)的最大香农熵估计和参数θ*的最大似然估计来构造的[198,211]（c部分）。这种结构确保约束的期望值与经验值相匹配。
当C(G*)是关于初始网络G*的唯一可用信息，并且后者被认为处于由所选约束[205]（例如，d部分）引起的热力学平衡时，该系综可以用作网络重构的方法。
或者，该系综可以用作零模型来检测G*与平衡态的经验偏差，例如，小子图（二元图或三元图，dyads or triads）出现时的系统变化，它们甚至可以作为网络结构[199]中主要转变的预警信号（e部分）。在所示的例子中，荷兰银行间网络中二元模体和三元模体（银行间连接的二元图和三元图结构）随经济周期的统计显著性变化被证明是2008年危机的预警信号[59]。图片经参考文献[59,127]许可修改。
上面讨论的方法假设金融机构之间关系的存在和规模是已知的。不幸的是，由于保密问题，这些信息往往只能由监管机构获取。即便如此，监管机构对金融网络的看法也只是片面的，通常仅限于他们的管辖范围。因此，金融网络的可观测性和在特定网络上获得结果的可再现性都存在一定问题。
复杂网络中的数据缺失问题非常普遍，并由此导致了网络重构领域的诞生。由于问题的相关性，在金融（主要是银行间）网络的背景下，已经提出了许多重构算法[205]（最相关的技术列表见表1）。粗略地说，根据重建过程的结果，这些方法可以分为确定性方法或概率性方法。确定性方法包括流行的MaxEnt[134]（这种方法不应与上述最大熵系综混淆，因为它实现了概念上不同的优化过程）和迭代比例拟合算法[135,206]。这些方法都制造了重构网络的单个实例。虽然更直观，但这些方法受到将零概率分配给任何其他网络配置的限制[207]，包括（几乎可以肯定）真正的未观察到的网络配置。同样的限制影响了将估计网络拓扑的概率方法（用于确定连边的存在）与估计连边权重的确定性方法相结合的方法[208,209]。
“ME”表示该方法是否基于最大熵，“密度”表示重构网络的密度，“类别”是确定性的还是概率性的，这取决于该方法是生成单个网络实例还是系综。ERG, 指数随机图；IPF，迭代比例拟合；KL，库尔巴克–莱布勒（Kullback–Leibler）；MECAPM，最大熵资本资产定价模型。
概率方法通过生成重构网络的系综来克服这种限制，每个重构网络都有成为真实网络的概率。这类方法包括基于上述最大熵系综的网络重构方法[205,210,211]（见Box2）。从信息论的角度来看，最大熵推理方法最小化了关于未观测（即保密）数据真实分布的未获支持的假设[212,213]，并说明了能够最好地描述系统知识状态的概率分布是具有最大熵的概率分布，受约束以满足系统本身的可用信息[12,210]。
与统计力学中的应用类似，我们可以推导出未观察到的个体风险的概率分布，这些风险受到观察到的总风险的约束——通常是每个银行的银行间同业拆借（资产）和借款（负债）的总和。不确定性最大化是通过最大化香农熵来实现的，可用信息作为约束包含在优化过程中。基本原理是利用作为施加约束结果的性质来获得重构网络。换句话说，这种方法避免了做出没有可用信息支持的假设，否则会使整个估计过程产生偏差。因此，最大熵推断对不可访问的网络属性最大程度地“漠不关心”。
第一个基于熵的算法是基于这样的假设：关于度为2和加权网络结构的约束共同决定重构输出。这种方法在增强配置模型中采用，同时约束节点的度和强度[200,214]。然而，现实中度（即每家银行的贷款人或借款人的数量）的不可及性使得这些方法不适用于银行间网络的重建。这个困难导致了两步算法的引入[17,215]，为了克服信息的缺乏，使用适应度模型初步估计节点度[216]。这种以二元结构的初步估计为条件来估计加权网络结构的思想，是通过最大化条件香农熵来恰当地形式化的，使用加权的可用信息和网络的先验拓扑结构（无论是经验的还是推断的）作为约束[207]。
密度校正重力法（density-corrected gravity method）属于这类两步最大熵模型，通过生成在拓扑和系统风险性质方面类似于经验方法的网络，系统地优于其他重构方法。这一证据来自学术界和央行研究人员进行的四项独立的“赛马”或比较研究[217-220]。该方法有效性的一个关键因素是有能力再现要重建的网络密度。然而，这种密度也可以调整，从而允许该方法生成非常密集或非常稀疏网络这些极端场景，类似于完全连接[134]和最小密度方法[208]。然而，如前一节所述，尚不清楚金融网络的密度和稳定性之间的关系，因此，通常不可能先验地确定最佳和最差网络结构。
正如统计力学的信息论公式所强调的那样，对于最大熵方法，重构网络和经验数据之间的一致性需要一定的条件。首先，要重建的网络接近于由强加的约束所定义的正则系综的平均（平衡）配置（参见图3以了解该概念的示意图）。第二，如果网络被认为是由约束本身的演化驱动的，则该网络演化是准静态的[199]。其结果是网络的特点是平稳的结构变化，而不是突然的转变。尽管表征准平衡网络的平滑变化通常可以被控制，但是在表征非平稳网络的突然转变的情况下，不可能这样做。
作为例证，我们考虑两种制度，一种是经济制度，一种是金融制度。第一个例子是国际贸易网络（ITN），其节点代表世界经济体，连边代表它们之间的出口关系[221-226]。随着时间的推移，ITN的许多属性发生了很大的变化（例如，随着国家获得独立，节点总数从1950年到2000年翻了一番，参考文献[227]），因此，该网络是（失衡）特性的理想测试平台。实际上，对于数据的每个时间片，ITN的二分结构通过最大熵模型被精确地再现[199]。尽管强加的约束条件在数据集的时间跨度上变化很大（可能是因为外部影响，如新国家的创建），但与模型预期的偏差是有限和系统的，因此ITN成为了一个准平衡网络。第二个例子是荷兰银行间网络（DIN）[59]。与ITN不同，DIN只在特定时期（特别是远离金融危机的时期）与最大熵模型兼容，这暗示了它的非均衡特性。因此，在非平稳网络的情况下，质疑最大熵形式化（formalism）的有用性是很自然的。下一节专门讨论这个问题。
如前一节所述，要实现成功的重构，需要网络处于强加的约束所隐含的（信息论或等效的热力学）平衡。当关于经验网络的全部信息可用时，基于熵的框架可以用于构建零模型，并检查经验网络是否与它们兼容。与约束由可用信息定义的重构任务不同，在这种情况下，强加的约束被假设为手头网络的唯一解释变量（这正是任何最大熵模型的零假设）。因此，如果用零模型能准确描述经验网络，它所体现的零假设就不能被拒绝。当这种情况没有发生时，这意味着所选择的约束无法给出经验网络的详尽描述（图3）。从这个意义上说，经验网络是“失衡的”。
一个例子可能有助于澄清讨论。我们再次考虑荷兰银行间网络[59]，它有完整的信息。对于这个网络来说，在2007-2008年金融危机爆发时，相互连边的比例（也就是互相贷款的银行对的数量）急剧下降。这种衡量标准可以被视为银行之间信任程度的一个指标，通过建立指向相反方向的合约来对冲彼此的预期风险。从某种意义上说，这种趋势的变化表明，信任在危机期间受到了侵蚀。通过使用基于熵的零模型（通过限制每家银行的借款人和贷款人的数量来定义）来突出失衡属性（即与模型本身不兼容的属性），人们发现情况发生了变化。在危机期间观察到了经验互惠与零模型的显著偏差——不过在之前的四年中也是如此。这一结果表明，在危机爆发前的几年里，该银行系统之间的信任已经经历了一个下降阶段。这种模式只有在与基于熵的零模型进行比较后才会出现（图3）。这种模式可以视为预警信号：在网络结构发生剧烈变化之前，仍然有可能检测到平滑的变化，这可以通过观察适当的零模型和真实系统之间的差异来突显。对于其他量也观察到类似的模式，例如循环模式（三家银行参与循环贷款的模式） 就在危机来袭之前变得具有统计学意义，它甚至在危机前的一段时间就增加了（图3）。
同样的框架也被用来分析金融机构持有共同资产的模式[228]，其思路是，与基于熵的零模型不兼容的投资组合重叠，在大甩卖中承担最高的清算风险。在这种情况下，零模型是通过限制投资组合的多样化和每种证券的投资者数量来构建的，以考虑系统中参与者的异质性[229,230]。分析显示，早在2007-2008年金融危机之前，投资组合相似性就显著增加，并在危机开始时达到峰值，这与零模型不兼容。换句话说，系统的属性不能仅仅通过观察投资组合和证券的异质性来解释：系统严重失衡，对重大投资组合重叠的观察带来了额外的信息。
零模型通常被用作为各种系统提取重要信息的基准。上面讨论的基于熵的零模型以软约束为特征，也就是说，在适当指定的网络系综上满足平均约束。或者，可以构建以硬约束为特征的零模型，在这种情况下，相应的系综只包含单独满足约束的网络。具有软约束的零模型对应于正则系综，用于描述被指定平均能量的物理系统。相比之下，具有硬约束的零模型对应于微正则系综，用于描述能量是特定的且不产生波动的物理系统。正如在传统的统计物理中一样，微正则模型通常很难解析地逼近，因此，经常需要采用定点逼近或数值采样[97,231-239]（参见参考文献[12]了解更多细节）。
在2007-2008年金融危机之后，政策界和学术界广泛意识到，要想理解和管理金融体系中的风险，需要从金融网络的角度对其进行建模。尤其是，对网络效应重要性的认识导致了政策概念的重大发展。微观审慎监管（用金融政策行话来说，是一种专注于银行个体的监管方法）此后得到了宏观审慎监管（将金融体系视为一个金融机构网络整体[154,240,241]，并试图限制金融冲击对实体经济的影响）的补充。后一种方法认识到，网络建模中的相互联系会对资产价格产生顺周期（即正反馈）影响，或者换句话说，这种相互联系会放大风险。
过去十年，越来越多的机构开始使用金融网络模型，包括：欧洲央行（ECB）评估系统性风险[20]；欧洲系统性风险委员会（ESRB）描述衍生品市场[21,109]和保险公司网络[242]的特征；金融研究办公室（OFR）[194]；以及英格兰银行（BoE）在压力测试中捕捉来自偿付能力[243,244]传染、融资传染或投资组合重叠[244]的反馈机制[22]。此外，国际清算银行（BIS，协调全球银行监管的机构）已将相互关联性纳入用于识别系统重要性银行的标准[245]。
我们现在简要讨论一些关键的公开挑战。首先，尽管人们为建立多种金融传染渠道模型付出了越来越多努力（如上所述），但仍有一些一般性的方面没有得到充分探索。例如，人们通常不清楚如何整合在同一时间尺度上运作的不同传染渠道。此外，同时具有放大和衰减机制的模型往往不太容易分析处理。
其次，尽管在许多模型中金融参与者之间的关系是静态的，但实际上，这种关系可能会改变，甚至改变得很突然。从某种意义上说，大多数模型都隐含着这样的假设，即发生关系变化的时间尺度比模型动力学的典型时间尺度要长得多。需要进一步的实证研究来确定这一假设何时成立。如果该假设不成立，我们需要开发模型来解释这些关系是如何形成和消失的[246-248]。
第三，许多模型是用金融市场每天产生的大量数据中的极小一部分进行校准的。事实上，监管数据通常是每季度或每年报告一次，只允许对时间切片进行分析，这些切片可能相距太远，无法检测到风险的快速积累。我们预计，随着可以使用的（在最精细的时间尺度上捕捉市场活动的）交易级数据集的增加，这一问题将得到部分缓解。至关重要的是，大多数数据集仅涵盖单个辖区范围，这意味着对全球金融网络的全面分析仍然遥不可及。
第四，金融网络通常只包含一种金融机构（通常是银行），并与经济的其他部分脱钩。然而，不同类型的金融机构在金融市场中可以扮演不同的角色，这只能在具有异质机构的系统性模型中说明[186]。金融系统和经济其他部分之间的相互作用形成了一个双向反馈回路。尽管有人试图用银行-企业网络来模拟这些反馈[249-251]，但更系统的方法需要将金融网络嵌入到成熟的宏观经济模型中。
最后，人们越来越意识到与气候相关的金融风险，以及金融网络模型在气候压力测试中起到的关键作用[252]。如果向低碳经济的转型被推迟并以无序的方式发生，可能会对金融稳定产生影响。事实上，碳密集型资产大幅贬值——这些资产被“搁浅”——可能会影响持有这些资产的机构的资产负债表。因此，绘制金融机构对不同部门的风险敞口网络图有助于识别和减轻这些风险。
仅有两种类型节点，且连边仅存在于不同类型节点间的网络。比如A类节点代表公司，B类节点代表董事，仅公司和董事间存在连接，若 B 董事在 A 公司的董事会中，则将二者相连。
节点集相同，但连接不同的网络（也称为层）。在金融网络的背景下，多层网络被用来表示金融机构之间不同种类的联系。
金融机构资产负债表上，因当前或未来会产生收入而具有正经济价值的项目。
小世界网络（Small-world network）
社团结构（Community structure）
网络的一种结构，该结构内部的节点之间的连接相对较为紧密，各结构之间的连接相对比较稀疏。
网络中连接一系列不同节点的连续连边，最短路径指两个节点之间长度最短的路径。
节点连接到与其具有不同度数的节点的倾向。相反，同配性是指节点连接到与其具有相似度数的倾向。
二分网络到单分网络的投影（One-mode projections）
二分网络到单分网络的投影只包含一种类型的节点(如 A 类节点) ，当两个同类节点所共同连接另一类节点（如B类节点）的数量不为零时，这两个同类节点相连，并且连边的权值正比于其共同连接的另一类节点的数量（例如，两个董事的连边权值代表他们同时所在的公司的数量）。
已经过统计检验或消除噪声影响的矩阵，理想情况下，仅保留统计上有意义的信息。
指一家机构的流动资产（如现金）大于其短期负债（如隔日偿还的贷款）的数值。
金融机构资产负债表上因当前或未来产生负债而经济价值为负的项目。
偿付能力是指一家机构的资产大于负债，因此其股东权益为正数的情况。
风险度量被定义为损失概率分布的（典型）大分位数。例如，当分位数为0.99时，损失分布的时间跨度超过1年，它被解释为每100年发生一次的损失。
预期资金缺口（Expected shortfall，ES）
风险度量被定义为平均损失超过损失概率分布的一个（典型）大分位数。它总是大于同一分位数下的风险价值。
在网络重构过程中实施或在网络检验过程中忽略的网络结构属性。
根据随机变量的概率分布量化不确定性的泛函，在概率分布为均匀分布的情况下达到最大值。
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