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本文是对集智百科中“联合熵”词条的摘录，参考资料及相关词条请参阅百科词条原文。

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目录


一、定义
二、属性
三、与其他熵测度的关系
四、联合微分熵
五、编者推荐
六、百科项目志愿者招募

该图表示在变量X、Y相关联的各种信息量之间，进行加减关系的维恩图。两个圆重合的区域是联合熵H(X,Y)。左侧的圆（红色和紫色）是单个熵H（X），红色是条件熵H（X ǀ Y）。右侧的圆（蓝色和紫色）为H（Y），蓝色为H（Y ǀ X）。中间紫色的是相互信息i（X; Y）。


在信息论中， 联合熵是用于对与一组变量相关的不确定性进行度量。





定义




联合熵 的定义是：以比特为单位，对于具有x和y的两个离散随机变量函数X和Y有



其中x和y分别是X和Y的特定值，P(x,y)是这些值产生交集时的联合概率，如果P(x,y)=0那么P(x,y)log2[P(x,y)]定义为0。对于两个以上的随机变量X1X2,,,,Xn，它扩展为



其中x1,x2,,,,xn分别是X1X2,,,,,Xn的特定值，P(x1,x2,,,,xn)是这些值产生交集的概率，如果P(x1,x2,,,,xn)=0那么P(x,y)log2[P(x,y)]定义为0。





属性




非负性

一组随机变量的联合熵是一个非负数。



高值性/最值性/大于或等于单个熵的最大值

一组变量的联合熵大于或等于该组变量的所有单个熵的最大值。



低值性/小于或等于单个熵的总和

一组变量的联合熵小于或等于该组变量各个熵的总和，这是次可加性的一个运用实例。即当且仅当X和Y独立统计时，该不等式才是等式。






与其他熵测度的关系




联合熵被用于定义条件熵：



它也被用于定义交互信息：



在量子信息论中，使用的是广义化的联合熵，即联合量子熵。


应用

在这里我们提供了一个python软件包，可用于计算n个变量的数据集中的所有多元联合熵、交互信息、条件交互信息、总相关性以及信息距离。





联合微分熵




定义

上文中的定义是针对离散随机变量的，而其实对于连续随机变量，联合熵同样成立。离散联合熵的连续形式称为联合微分（或连续）熵。令X和Y分别为具有联合概率密度函数f(x,y)的连续随机变量，那么微分联合熵h(X,Y)定义为：



对于两个以上的连续随机变量X1X2,,,,Xn，其定义可概括为：



这里可以用积分处理表达 f。当然，如果微分熵没有定义，那么积分也可能不存在。


属性

与离散条件下的联合熵相似，联合微分熵也具有同样的属性，即：一组随机变量的联合微分熵小于或等于各个随机变量的熵之和：



以下链式法则适用于两个随机变量：



对于两个以上的随机变量，一般可归纳为：



联合微分熵也用于定义连续随机变量之间的交互信息：






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来源：集智百科

编辑：王建萍


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