导语

“请不要阅读这条消息”——哎呀，太晚了，你已经读了！恭喜你，你刚刚体验了自指悖论和愚人节恶作剧的完美结合。

愚人节让你分不清真假，自指则是让逻辑自己把自己绕晕。想想“这句话是假的”——如果它说的是真的，那它就是假的；如果它是假的，那它就是真的。是不是感觉大脑已经开始蓝屏重启了？

这种逻辑短路的奇妙感觉，正是愚人节和自指悖论共同的魅力所在。一个让你笑着上当，一个让你聪明地犯傻。下面，我们将一起探索这些能让侯世达都称为“金带”的脑筋急转弯，看看它们如何在从数学到生命，从计算机到哲学的各个领域捣鬼。

准备好让你的大脑在“是”与“不是”之间愉快地弹跳了吗？往下看，但别说我没警告你——虽然这警告本身可能也是个悖论！

PS：也欢迎你在文末分享你最爱的自指悖论，用逻辑打个结，点赞前三名赢取《复杂》书籍+知识卡~

张江 | 作者

自指——一条永恒的金带

自指是一个非常古老的话题，它通常与古代奥义以及各种神秘哲学有关。例如佛教中所提倡的“观身无常、观心无我”，以及古希腊的“认识你自己”，都在劝解人们能够将心智的观察箭头指向自己。中国道家所倡导的“无”，正是一个最简单的一字悖论。

自噬的蛇

一幅最能体现自指深邃含义的图画莫过于这条正在吞噬自己的蛇。此蛇作为一种图腾曾广泛出现在北欧神话、基督教神学、印度教和非洲宗教之中。这条蛇将自指那种深刻的自我毁灭性体现得淋漓尽致——我们可以想象一下当它把自己吞噬完毕会产生怎样怪异的情景。

将这种自我毁灭性的古代奥义应用到现代科学中已经产生了一系列深刻的结论。首先，在19世纪末，著名数学家康托尔（George Cantor）将“对角线删除”法则应用到集合论中，从而证明了实数的个数比自然数多。紧接着，罗素（Bertrand Russell）提出了著名的“罗素悖论”而摧毁了弗雷格（Gottlob Frege）的数学大厦。年仅25岁的哥德尔（Kurt Gödel）巧妙地应用同样的破坏性自指一举摧毁了数学大师希尔伯特（David Hilbert）的完备一致性的数学体系梦想。图灵（Alan Turing）则利用同样的技巧进一步发现任何超级计算机都不可能求解的图灵停机问题。

纽约时报曾将哥德尔不完备定理评价为20世纪最伟大的数学定理。自指可以用来构造破坏性的悖论已经是众人皆知、司空见惯了。然而，这种认识其实很片面。自指包含了比自指悖论更宽泛的内容，因为在自指大家庭中，还包括另外一类构建性的成员。

1953年，正当人们举杯欢庆沃森和克里克发现了DNA双螺旋结构，并从分子层面上解释了生命的自我复制之谜的时候，另外一名伟大的美国匈牙利裔数学家：约翰.冯诺依曼（John von Neumann）正在独立地思考着生命自我复制的逻辑基础。然而，令人遗憾的是，那时的冯诺依曼已经患上了癌症，并于1957年的2月去世。于是，他的助手阿瑟.伯克斯Arthur Burks将他关于自复制自动机理论的整理成书《Theory of Self-reproducing Automata》，并于1966年出版。

与沃森.克里克不同的是，冯诺依曼要寻找的是生命自我复制的逻辑基础而非物质基础。虽然冯诺依曼没有明确指出，但是已经暗含了这个自复制的逻辑基础不是别的，正是一种自指结构。也就是说，自指恰恰是生命实现自我复制的逻辑内核。这也许会让读者感到困惑。不是说，自指都是用来构造诸如哥德尔定理、罗素悖论之类的破坏性武器吗？实际上，还存在着另外一大类自指，笔者称之为“建构性的自指”，它不但不会引起破坏，反而能够创造很多令人意想不到的惊奇结构。至于自我繁殖的系统是如何令人意想不到的，请参考第4节的讨论。

实际上，早在1938年，与哥德尔共同奠定递归函数论基础的数学家克林尼（Stephen Kleene）就证明了递归函数论中的一个著名定理：递归定理（更精确地说，应该叫Kleene第二递归定理）。根据它，人们可以很轻松地得到一个数学推论，系统的自我复制是可能的。

证明递归定理的核心技巧，是一个被称为“蒯（kuai3）恩”的特别技术。蒯恩（Willard.V. Quine）是美国的哲学家，终身致力于哲学、数理逻辑、集合论的研究。他创造了一种称之为蒯恩的方法，使得人们可以不通过使用“我”或者“这句话”等词语就能创造出可以谈论自身的句子来。

有趣的是，蒯恩构造恰恰就是那条“黄金对角线”（这一方法正是当年康托尔最早提出证明实数比自然数多的方法，也是哥德尔定理构造哥德尔句子的关键技术）。只不过，康托尔、哥德尔等人的对角线与蒯恩的对角线方法稍有不同。我们会在第6节中详细地讨论这些技术。

总而言之，从宗教到科学，从悖论到自复制，自指是贯穿始终的主题。正如《哥德尔、艾舍尔、巴赫》这本书指出的那样，自指是一条永恒的金带。

语言中的自指

提到自指，很多读者马上就会联系到那句臭名昭著的悖论句子：

这句话是错的

这句话之所以让人讨厌，是因为你无论从正面（即假设它是对的），还是从反面（即假设它是错的），都会得出相反的结论。因此，这句话既不对也不错。

然而，这句“说谎者悖论”仅仅是广大自指语句家庭中的成员之一，有很多语言是自指的，但却是无害的甚至是有益的。比如下面的句子：

这句话是对的

这句话就是一个既可以是对又可以是错的句子。你可以非常虔诚地承认这句话所论述的内容是对的，然后，再看它的内容，它正在陈述：它自己是对的。于是你初期的假设被证实了。另一方面，当你假设它是错误的时候，你就会知道它的语义“这句话对”是错误的，于是你就真的得到了这句话就是错误的结论。也就是说这句话的对错完全取决于你的假设。

当然，还有一些更好玩的自指句子，如：

这句话有2个‘这’字，2个‘句’字，2个‘话’字，2个‘有’字，7个‘2’字，11个‘个’字，11个‘字’字，2个‘7’字，3个‘11’字，2个‘3’字

这被称为自描述语句，也就是说这个句子正在描述自己的“分子”构成。当你尝试独立写下这样一个自描述语句的时候就会发现，你其实并没有创造这句话，而是这句话正在“迫使”你写出它自己。这是因为，按照这个句子的逻辑一旦你开始写下第一个字，你就必须按照已出现的字的情况而自动补全后面的句子。同时，这个语句还具有了不起的自我修复性。你不妨将该句子中的某一个汉字删掉（例如你删除第一个‘2’字），就会很快发现该句子中的一部分出现问题了，即“7个‘2’字”是错误的。因此，你会根据句子整体的意思指导而发现你少了一个‘2’字。

因此，自指不都是破坏性的，更多的自指是无害的，而且可以给我们带来一定的“惊奇性”。这种惊奇性的来源主要是自指语句中包含的无穷递归，因为它可以创造无限的虚拟层次。

虚拟层次是一个我们司空见惯的概念，例如故事中的故事，电影中的电影，梦境中的梦境等等（电影《盗梦空间》（Inception）就是对梦中梦层次的一个非常好的展示）。在上一章中，我们已经领略了程序是可以通过模拟而产生多个虚拟层次的。在语言中，我们不妨将引号看作是标识一个新的虚拟层次出现的符号。这样，下面这句话：

“明天会下雨”是错的

就包含了两个层次，更深一层的句子是“明天会下雨”，而上面一层则是“‘明天会下雨’是错的”。当然，我们通过不断地加引号就能创造出各种复杂的嵌套结构。

另外，人们发明了一类代词可以指代不同的句子。例如“这句话”，“那句话”。这些代词就仿佛是一个指针会将一个句子整体放到一个引号中而实现多个层次的嵌套。例如下面两句话：

下面的句子是对的

明天会下雨

在第一句话中出现了一个指代词“下面的句子”，它是一个指针指向了“明天会下雨”这句话，于是我们观察者作为一个解读器就会将这两句话解释为：

“明天会下雨”是对的

也就是说，我们照指代词的意思将“明天会下雨”这句话加上了引号放到了第一句中的“下面的句子”那个指代词之中了。于是，指代词创造了包含了两个虚拟层次的句子。

按照同样的逻辑，当我们遇到了指代词“这句话”的时候会发生什么呢？我们将会得到一个包含无穷虚拟层次的语句。例如我们将自指语句“这句话是错的”按照代词的法则展开就会得到：

““““…………”是错的”是错的”…………”是错的”是错的

我们看到，只要“这句话”这个指代词一出现，我们就能够得到无穷。因此，自指语句往往都与无穷虚拟层次有关。注意，我这里用的词语是“往往”，而不是“一定”。之所以这样说，是因为的确存在着一种构造自指语句的方法，让我们绕过无穷。这种方法就是大名鼎鼎的蒯恩法。

在讨论蒯恩之前，让我们先来领教句子中的动词（动词短语）。大部分动词是与我们读句子的观察者无关的，例如：

小明起床了

这个句子表达了小明这个人物正在做的一个动作是起床了。其中“起床了”就是一个动词。当然，有很多动词不仅可以描述一个人或者事物，还可以去描述句子，例如：

“小明起床了”包含5个字

这里面的“包含5个字”就是一个描述句子“小明起床了”的动词。还有一些句子包含了动词，而这个动词是使役我们读这个句子的观察者做出某种动作的：

删除“小明起床了”中的第一个字

这个“删除第一个字”的动作就是使役读句子的观察者做出的，于是，我们按照这个句子的说法进行操作，就会得到一个新句子：

明起床了

我们可以再做稍微复杂一点的操作，例如：

把“小明起床了”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

按照这个句子所描述的复杂操作（你最好拿来一个草稿纸，自己在纸上写一写），我们就可以得到：

小“小明起床了”明起床了

好，既然你已经熟悉了这个复杂的操作，那么让我们来看下面一个古怪的句子：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

如果按照这个句子指示的操作你会得到什么？让我们来做一做。按照这个句子的要求，我们可以把引号之中的句子施行下面的三步操作：第一步，把第一个字，也就是“把”放在左引号前面，这样就得到的新句子中的第一个字：“把”；第二步，将后面的字放在右引号后面，这样新句子就会以“中的第一个字放到……字不变”为结尾；第三步，保持引号和其中的字不变，于是新句子的中间会有一个引号，并且引号的中间就会是“把中的第一个字放到……”。于是，我们得到的新句子就是：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

请注意，这个新句子和原句子是一模一样的！事实上，原句子使役我们观察者完成了一次对自己的拷贝！这个句子其实就是大名鼎鼎的蒯恩了！

也许，你已经有些糊涂了，让我们再好好看看究竟蒯恩是怎么操作的。首先，我们定义了一种具有动词的句子，也就是：

把“X”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

我们不妨将这个句子记为，其中的就是一个空穴，可以往其中添放任何一个句子。例如，如果我们让=“小明起床了”，那么原句子就成为了一个完整的句子：

把“小明起床了”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

按照的意思对进行操作就得到了新句子：

小“小明起床了”明起床了

在这个例子中，显然与没有什么关系。

进一步，如果去除句子中的空穴，我们可以得到：

把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

它也是一个句子（尽管它不完整），我们记它为。最关键的时刻来临了：我们让并代入之中会怎样？也就是将除去空穴的句子部分放到这个句子的空穴之中：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

我们不妨把这个句子记做，因为我们把空穴换成了残句子。之后，我们再按照这个句子所给出的使役动词进行操作，就能得到新句子，也就是：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变

令人惊奇的是，经过动词操作之后创造的句子与原来的句子竟然是一模一样的！所以句子利用使役动词完成了“自复制”过程，也就是。

我们把这种技巧称之为蒯恩以纪念它的发现者美国哲学家W.V. Quine。你会看到，这种技巧可以让我们不用“这句话”指代词就能够造出自指语句，比如下面这个句子：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的

注意，这个句子与前面的句子稍有不同，这就是在后面加上了一个判断“得到的句子是假的”。我们不妨记“得到的句子是假的”，并且把：

把“X”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的

这句话记为，其中符号表示将两个句子粘合在一起形成新的句子，于是就是：

把“把中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的”中的第一个字放到左引号前面，其余的字放到右引号后面，并保持引号及其中的字不变得到的句子是假的

我们可以验证，经过句子所描述的操作之后得到的句子跟是一模一样的。所以这句话就相当于：“这句话是假的”。我们没使用“这句话”指代词就实现了自指。

有关更多的语言中的蒯恩操作的讨论请参看《哥德尔、艾舍尔、巴赫——集异璧之大成》一书的对话《G弦上的咏叹调》，以及《Diagonalization and Self-Reference》一书。

也许你会觉得我们在玩弄语言游戏，然而，这种语言技术却在数学和计算机中起到了非常大的作用，因为蒯恩句子恰恰就是自复制机器的逻辑基础，也是Godel定理证明过程中的关键一步。下面，我们分别对建构性自指和破坏性自指进行详细地介绍。

建构性的自指

虽然提起自指，人们很容易想到自指悖轮。但是，人们不熟悉的是另外一大类无害的自指，它们通常直接应用蒯恩技术，而实现某些意想不到的结构或者功能。下面，让我们先从一种最简单的建构性自指：自打印程序说起。

所谓的程序自打印就是指一个程序能够在不读取外部文件的条件下把自己的源代码打印出来。首先，我们要先领教一下，一个自我打印的程序是多么不可能的！我们知道，要写一个程序打印出“helloworld!”字样是非常容易的，例如：

Print(‘helloworld!’)

注意在这个程序中，字符串都用单引号括起来。那么，我们能不能写一个程序，把这个打印“helloworld!”程序的源代码打印出来呢？这也是可以办到的，例如下面的程序：

Print(‘Print(’helloworld!’)’)

注意，这里面的“’”会被编译器解释为一个字符串，这个字符串中就有一个字符：“ ` ”。采用这个技巧，我们就可以解决如何在一个引号之中再输入一个引号的问题了。所以，我们可以很轻松地打印出这个能够打印”helloworld!”程序的程序源代码出来。但是很显然这个程序并不能打印出它自己，也许你会想到能不能打印出上面的程序源代码出来？当然可以！

Print(‘Print(’Print(\’helloworld!\’)’)’)

其中\就表示包含一个字符“”的字符串变量，这样Print(‘\’)就会打印出一个字符“”，而Print(‘\’’)就会打印出字符串“’”出来。所以，引号里面可以放入任意层次的引号。

但是这个程序仍然不能打印自己！你很快发现，我们人类是写不出这种能够打印自己的程序的，因为它包含了无穷递归。不过，通过蒯恩技巧，实际上我们完全可以写出来一个自打印程序，如下：

S(x){ q=’S(x){\n  q=\’’+q+’\’;\n 
Print(\’’+p(q)+’\’);\n}’;
 Print(‘S(x){n  q=’’+q+’’;n  Print(’’+p(q)+’’);n}’); }

源代码1：自打印程序源代码

这里面的“n”表示换行符，即如果执行Print(‘AnB’)，则程序会输出下面的字符串：

A

B

“+”表示将两个字符串进行串联形成一个新的字符串，例如A=’123’,B=’456’，则A+B=’123456’。

这个自打印程序调用了一个简单的解码函数，的作用是将字符串变换成更浅一层次的字符串。例如，如果是“\’\’\n\”，那么这个函数就会计算输出“’’n”。也就是说完成了一组映射：它把“\”映射成“”，把“’”映射成“’”，而把“n”映射成回车符。显然是可以写出来的。我们知道，由引号的引用可以形成更加深层次的虚拟世界（参见上一小节）。所以的作用就是让字符串弹出一层虚拟世界。由于的作用很简单，我们假设它是一个系统自带的函数，因此就不在源代码1中给出的实现代码了。

S(x)这个程序中包含了过多的“”和“’”符号，这就导致我们理解源代码1稍显困难，下面我们将把该程序表示成下面的图，从而让读者看得更清晰一些：

自打印程序源代码中的引号层次示意

如上图，这个自打印程序中的引号全部用方框来替代。这样第一层引号’…’就对应了第一层的方框，引号中的引号，即“’…’”就对应了框中的一个框。这样，由于程序中出现最多的层次是四层引号，即“\’”，所以上图中就出现了第四层框。

另外，我们还观察到，这个程序包含了两个大框，即“q=”后面的黄框和“Print()”之中的那个蓝框。这两个框的结构是完全一样的，只不过黄框比蓝框多了一个虚拟层次，这反映在所有的蓝色框中的最深一层框都再加上一层框就得到了黄色框。

更有趣的是，整个程序S(x)实际上和这两个框是相似的，因此这个程序本身就是一个分形结构。在传统的分形结构中，每一个部分都会包括无穷多的细节。但是，在这个自打印程序中，虽然有嵌套的分形结构，但是却没有达到无穷，最深的引号也仅仅有4层。

让我们来分析一下这个程序是如何运作的。首先，看程序的最后一行，即Print(‘S(x){nq=’’+q+’’;nPrint(’’+p(q)+’’);n}’);这句话的作用是让程序在屏幕上打印出一个字符串。注意观察，这个被打印出的字符串其实是由“+”号被分割成了5个部分，第一部分是“S(x){nq=’”，第二个部分是q这个字符串的原封不动的拷贝，第三部分是字符串：“’;nPrint(’”，第四部分是函数作用到上面的结果即；第五部分还是一个字符串：“’);n}”。然后当我们把q字符串的数值代入第二部分和第四部分，并进行运算之后，就得到了和源程序一模一样的结果。你不妨在计算机上运行这段程序，就会发现这段程序会在屏幕上赤裸裸地把自己的源代码打印出来。

我们不妨把这段程序的5个部分进行归并，写成由下面的三部分构成的：，其中Copy就是5部分中的第二部分，即相当于一个拷贝字符串的程序，你输入 给Copy什么字符串，Copy就会把那个字符串再原封不动地吐出来；Popup这部分就是原来的5部分中的第四部分，即函数，它的作用相当于一个弹出操作，也就是为输入的字符 串脱去一层引号。如果输入的字符串原来是在第层虚拟世界，则Popup的作用就是让字符串跳到第层；最后Control这部分就相当于原来的第1、3、5这三部分以及最一开始的语句Print的总合，它的作用就相当于是为Copy和Popup制造出来的字符添加适当的连接词，使得最后的字符串能够拼接成与原来的程序一模一样的源程序，并将其打印到屏幕上。所以这句“Print(‘S(x){nq=’’+q+’’;nPrint(’’+p(q)+’’);n}’);”就可以改写成。其中“о”表示将不同的程序连接为一体。

如果我们把一个计算机程序的描述（或者称源代码）写为，则自打印程序的第一条赋值语句就相当于给赋予了，即这三个程序连在一起的源代码。最后我们可以将自打印程序简写为：

S(x){ 
q= λ (Copyo  Popupo  Control) 
(Copyo  Popupo  Control)(q); }

源代码2：自打印程序的源码缩写

我们可以进一步地把它简写为：，其中表示()这三个程序的联合程序，而则表示联合程序的源代码。这个程序的作用是输出一个特殊的字符串“”即程序调用自己的代码x的源程序，我们称这个为蒯恩函数。

那么，自打印程序不是别的，正是将蒯恩函数自己的源代码再喂给它自己，这样就产生了""的效果。等式左边是对的计算，是一个动作，它的结果产生了等式右边的字符串""，而这个字符串恰恰就是作用于的源代码。我们看到，第2节中的蒯恩方法与这里的是一模一样的。仔细想想不难发现，其实自打印程序的逻辑与蒯恩语句的逻辑是相通的。因此，自指恰恰就隐藏在了这段自打印程序之中了。

我们只要对这个自打印程序稍加更改就能创造出自我复制的程序出来。首先，我们要说明程序的自我复制究竟是什么意思。假设内存中漂浮着很多大大小小的程序，某一个程序P能够自我复制是指，当CPU执行到程序P的时候，P就会命令CPU执行一系列的操作使得它自己的一份拷贝会出现在内存中。但是，需要强调的是P不能够从硬盘上读取文件，否则自我复制将变得异常简单，只要把硬盘上的源程序再调用到内存中就行了。乍一看，这似乎与自打印程序一样不可能实现。但是利用与自打印程序同样的蒯恩技巧，我们依然可以很轻松地构造出自复制的程序出来。

我们只需要把自打印程序()中的改成Construct就可以了。这里的Construct是一个函数，你输入给Construct一段程序的源代码，它就能把所对应的程序编译出来并驻留在内存中。这样，程序就可以完成自复制功能。

进一步，利用同样的逻辑，我们也能够制造出可以复制自身的真实机器。只要让Construct代表从给定机器的描述而构造出实际机器就行了。在冯诺依曼的著作《自复制自动机理论（Theory of Self-reproducing Automata）》一书中，作者试图构建的自复制自动机就包括了这四个部分。即自复制机器是由一个通用拷贝机（Copy）、一个通用构造机（Construct）和一个控制器（Control）以及所有这三台机器的描述即源代码构成的。

在此小节中，我们用自打印程序和自复制程序为例来说明了建构型的自指。然而，建构性的自指实际上不仅仅是这两种，它还会有各种各样的用途。

如果想更系统的了解层级与自指，推荐张江老师的复杂性思维的课程：https://campus.swarma.org/course/1128

未完待续：

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