空间吸引由自然禀赋和人口密度共同定义

图中的 C 为常数，表示自然禀赋吸引力，而ρ(x,y)表示在x、y坐标处的人口密度。假设某点的空间吸引正比于 C 与 ρ(x,y) 的和，因此在该点的空间吸引力就可以被定义为如下公式：

更进一步的，我们可以定义匹配生长过程（Matching Growth），匹配生长过程的假设同样来自于现实情况：如果一个社区距离已有社区的地理位置太遥远，这个社区就会面临诸多不利因素而难以生存（例如在古代，离群索居的小群体存在着生存危险，而在现代，孤独的社区又会面临难以于其他社区交流和交易而带来的巨大成本）。

如果用二维坐标来表示地理信息，即可得到下图：

匹配生长模型

在匹配生长模型中，我们不断在二维空间中的随机位置加入新节点（代表城市中的社区），但只有当新节点与已有节点距离足够近时，新节点才能够存活。

因为开始时节点较少，新的节点难以留存，但随着已经存活的节点数的增加，新的节点存活的概率将大大提高，城市的扩张也将加速。

因此，匹配生长模型不但能够模拟城市的空间扩张方式，还能从时间的角度还原城市的加速扩张过程。

道路生成机制

与社会经济交互规则

为了保证模型的简单性，李睿琪博士采用了泰森多边形划分的方法进行路网的生成，这种方法生成的路网在统计特性上与真实的路网十分接近，而在形态上也非常相似。

泰森多边形是由一组由任意两个邻近点连成线段的垂直平分线组成的连续多边形，常用于作面积区域的划分

在上图中，左边的图像是模型生成的道路网络，而右边则是伦敦实际的路网，从形态上来看，二者具有很强的相似性。而进一步分析路网的长度与人口密度的关系，我们可以得到有趣的结论：

在单位区域内，节点之间的路段的平均长度与人口密度之间呈 -1/2 次幂的关系，而路网的总长度则与人口密度呈 1/2次 幂的关系——幂律法则再次得以体现，如果用l表示路网总长度，用ρ表示人口密度，即可得到：

幂律法则是复杂系统中常见的统计规律，它代表一个系统的指标与系统规模的幂次方成正比关系，如在本例中，路网的总长度与人口数的1/2次方成正比关系。详见：

解读幂律与无标度网络 | 网络科学入门

社交网络中的幂律分布

生物大小、城市规模、公司寿命，背后竟然遵循同一套规模法则！

系统学习幂律法则传送门：

公开课 | 解读幂律分布与无标度网络

有了城市中的社区与路网，就可以进一步定义城市中的经济产出与交互了，此处模型假设社会经济产出正比于交互数量，而所有的交互则都会发生在路上——这种假设的提出也是来自于实际情况的抽象：在城市中，大量的写字楼、超市、工厂等是社会价值产出的核心，而他们很多都是建在路边的。

由于在前文中，我们已经推演出路网的总长度与人口密度呈1/2次幂的关系，而由此经济产出与交互的假设，可以进一步推算，每一个区域的经济产出值将正比于人口密度与道路总长度的乘积，即正比于人口密度的3/2次方，公式如下：

在此公式中，g代表经济产出量，ρ代表该区域的人口密度，l代表该区域的道路长度。这就使得我们可以用活跃人口密度来更好地估计每一个区域的社会经济产出量，如图所示：

使用人口密度估计区域社会经济产出量

在上图中，可以看到蓝色的点代表人口分布，灰色的线条代表道路，而从黄到红的背景颜色就表示该区域社会经济产出的强度值。

从模型到实证：

紧抓本质的城市建模

• 人口密度的验证

有了前面提到的四个简单的规则，城市的生长与演化模型就可以被建立起来了，进一步，有了可以代表现实世界的模型，科学家就可以通过对模型的观察、模拟与理解来更深刻的感知我们现实世界中的城市——而问题就在于，城市生长演化模型是否能准确的代表现实世界呢？

李睿琪博士等人从多个角度进行了验证，下图是模型生成的城市与伦敦实际的人口密度比较：

模型生成城市与伦敦实际人口分布比较

从人口密度方面，由于在某个时刻，城市的大小是确定的，因此可以推演出从城市的中心到边缘上的人口密度分布，可以看到在城市的核心区域，这个分布呈幂律形式（如下图左），同时，我们也可以观察到，模拟的数据很好地契合了北京和伦敦的人口密度分布实际数据（如下图右）。

模型推演的人口密度分布与实际情况比较

• 人口总量、道路总长与GDP的验证

有了人口密度分布的函数形式，也有了道路长度、GDP（即人口的总交互数量）与人口密度的数学关系，我们就可以通过在整个城市面积上对相关统计量进行积分，从而得到城市中的GDP总量、道路网总长度和人口总量，如下：

其中Pt(R)代表在城市半径为R的情况下，城市的人口总量。同理，Lt(R) 代表了城市道路的总长度，Gt(R)则代表了总的GDP数量。可以看到这三个方程含有共同的参数，因此有了其中的任何一种城市元素的分布，我们都可以推测出另外两种城市元素的空间分布。

北京和伦敦的实证数据结果表明，模型模拟产生的人口数量、道路总长度与 GDP 都能够很好的拟合实际效果。

而对于更多的，难以获得直接数据的城市而言，李睿琪博士等人还创造性地使用夜光和城市路网长度进行了验证——这不但因为开源的夜光数据易于获取，还因为研究者们发现：不仅能从定性的角度观察，越发达的地方夜晚越灯火通明，而且从定量的角度描述，夜光数据在大尺度上也与该地区的 GDP 直接相关。

李睿琪博士等人经过对十个有代表性的城市的道路与夜光的相互验证，模型依然很好地通过了考验，如下表所示：

幂律方程的验证

通过更深入分析，我们还可以得到不同城市指标量与城市规模之间的幂律方程，可以看到，经过推演得到的幂律方程中的标度指数同样在实证数据中得到了很好的验证。

城市的生长画像：

感知和模拟城市的演化

使用本文展示的城市的生长与演化模型，我们可以对城市社会经济交互活动进行千米级别的预测，这在以前的城市研究中是无法做到的。如图：

使用城市生长演化模型进行千米级别的社会经济交互活动预测

在上图中，左边是实际的伦敦社会经济交互活动分布情况，而右边则是模型模拟的结果，可以看到模拟结果与实际结果是较为接近的。准确地预测城市的社会经济交互活动，是对城市最为直观的感知之一，这种方法让我们直接看到城市中不同区域的活跃程度的描述。

模型还允许我们进行更多方面的研究和测试，李睿琪博士还以北京为例，进行了区域经济发展情况与房租情况的分析，如下图所示：

北京不同区域的经济发展情况与房租之间的关系

由上图可以看到，房租与经济发展在图的前半部分，也就是城市核心区域的确呈现了非常准确的相关关系，并且幂指数为 -0.3，与模型预测的 -0.25 非常接近。

但同时，由于房租与众多其他因素相关，例如房屋年限、户型如何、是否是学区房等等，因此在特定距离的不同区域房价的波动也较大，而且房价相比于人口来说有其自身的特点，并不会像人口一样那样迅速地下降。

不过，从整体上来说，模型够把握住一些重要的影响因素，在空间上做出较为准确的预测。

生长与设计

矛盾与统一

纵观城市的生长与演化模型，我们发现它近似抓住了问题的本质，并取得了大量的实证数据的支持。

在本文的最后，让我们来重新回顾城市的生长与设计这样一对奇妙的关系：生长，意味着自底向上地自组织，而设计则代表了一种自顶向下地规划。

这似乎是一对矛盾的概念，然而协调这两对矛盾，也恰恰是李睿琪博士等人的工作的重要意义之一：我们可以使用模型来抓住城市生长的自组织规律，从而让城市的演化可以更好的在执行城市规划与迎合生长规律之间取得平衡。

否则，太过激进的设计往往会得不到人们的支持——例如中国大量“鬼城”的存在，而太过自由的增长又会因为缺乏引导和基础设施建设而遇到种种困难。

鬼城：指资源枯竭并被废弃的城市，属于地理学名词。随着城市化的推进，出现了越来越多的新规划高标准建设的城市新区，这些新城新区因空置率过高，鲜有人居住，夜晚漆黑一片，被形象地称为“鬼城”。

只有感知到城市的生长与演化方向并加以引导，才能帮助城市的规划者们找到最好的协调角度——在生长与设计的边界上跳舞。