导语

量子力学和引力理论如何自洽地统一起来，一直以来是一个悬而未决的基本问题。最近的一些研究进展表明，来自量子信息理论的一些基本概念，如量子纠缠和量子纠错，可能会在量子引力的理解中起到基础性的作用。笔者认为，在当代物理学的未解之谜中，量子引力会给我们的认识带来最为深刻的变革。

来源：赛先生、Nature Physics

作者：祁晓亮

自从爱因斯坦提出广义相对论以来，如何发展出一个跟量子力学相容的引力理论一直是一个未解之谜。既然其他相互作用力都能被纳入量子力学的框架下，为什么引力就不行呢？

虽然我们并不知道答案，但是有一些迹象表明这种困难不仅仅是技术上的，而是有着根本的物理原因。

反常识的黑洞熵

在1970年代，Bekenstein和Hawking[1-4]指出，为了使热力学第二定律成立，黑洞就必须得有熵——否则的话一个物体扔到黑洞里，熵就凭空减少了。

他们推导出了黑洞的熵公式 S=A/4G，也就是说熵正比于黑洞的视界面积A, 而比例系数由牛顿引力常量G决定（这里取c= ℏ=1）。因为黑洞一旦形成就不会再变成其他物体，根据热力学第二定律，在同样大小的一个球形区域里，其他任何物质态的熵都不能超过黑洞[5,6]。

也就是说，一个球形区域里面能够容纳的最大熵，正比于它的面积。

这是一个非常反常识的结论，因为熵是一个物质态中微观自由度的度量。在一个有局域性的理论，比如量子场论里面，一个区域里的最大熵一定是正比于体积而不是面积的。

因此，如果你相信黑洞熵的公式，它马上告诉我们——量子引力理论一定不能是一个局域性的场论，而必定要是一个全新的东西。

全息原理

基于上述关于黑洞熵的结果，G ’t Hooft[7]和Susskind[5]提出了全息原理，意思是说我们看起来是三维的空间，实际上是二维的。我们可以把全息原理类比于今天的虚拟现实（VR）技术。

当我们带上VR眼镜的时候，手机屏幕上的二维图像通过我们的视觉系统的加工，让我们觉得看到了一个三维的虚拟世界。但是这样一个虚拟世界能够包含多少信息呢？

假设一个一直带着VR眼镜的物理学家，对他看到的景象进行仔细的研究，他就会发现——里面包含的信息量（熵）总是不会超过手机屏幕上的像素数目！

也就是说，熵的上限是正比于面积而不是体积。

这样的世界图像让我想到柏拉图的洞穴之喻。在全息原理的观点中，二维屏幕上的图像才是洞穴外的真实世界，而我们看到的三维世界则是洞穴中人在墙上看到的影子。

有趣的是，影子竟然比现实还高一维度！

全息对偶

什么样的量子引力理论才能满足全息原理呢？因为必须得放弃定域性，建立这样的理论是一个很困难的任务。

一个重要的突破是1997年Juan Maldacena提出的AdS/CFT对偶[8]，又名全息对偶。AdS代表反德西特空间（Anti de Sitter space），也就是负曲率空间的引力理论，而CFT代表共形场论（conformal field theory）。

在物理学中，“对偶”的意思是，有两个看起来不一样的物理理论，但它们的性质却是一一对应的。这就好像两种语言中的两句话，听起来完全不同，但是按照词典翻译一下发现其实是同样的意思。

在全息对偶中，CFT是定义在一个没有引力的空间中的量子场论，而与之对偶的AdS空间的引力理论要高出一个空间维度[8-10]。例如如果引力理论定义在三维空间，对偶的量子场论就定义在二维空间。

可以认为量子场论定义在引力理论的空间的渐近边界上，所以通常把量子场论称为边界理论，而把对偶的引力理论称之为体态（bulk）理论。

这个多出来的空间维度对偶于共形场论中的能量尺度。能量尺度越低的自由度离边界越远（如图1）。

图 1. 全息对偶和RT公式的示意图。

(a) 体态理论是边界理论的全息影像。体系中的总自由度数目由边界理论中的“像素”数目决定。演生的空间维度z代表能量尺度，越深入体态内部能量尺度越低，对应的空间尺度也越大。

(b) 区域A的纠缠熵决定于极小曲面γA的面积。由A向体态内部形变直到面积达到最小值，就得到了γA。

如果我们认为这个对偶是严格的，那么边界上任何的物理性质都应该在对偶的引力理论中有个对应，反之亦然。

在2006年，笠真生（Shinsei Ryu）和高柳匡（Tadashi Takayanagi）[11]提出，边界上一个区域A的纠缠熵，对偶于引力理论中的一个曲面γA的面积。这个曲面是跟A具有同样边界的曲面中面积最小的一个（如图1b和1c）。

纠缠熵跟曲面面积的关系，跟黑洞熵的公式是一样的：S=|γA|/4G。这个公式被称为RT公式，曲面γA被称为RT曲面。

在边界理论中，不同的量子态具有不同的量子纠缠性质，它们也就对应于体态中的不同几何。

例如，共形场论的基态对应于反德西特空间，RT曲面的面积增长比A的体积要慢，这是因为曲面越是深入体态内部的部分，面积元越小。相比之下，边界上有限温度的热平衡态对应于体态的引力理论中有一个黑洞。

在这种情况下，RT曲面就被夹在边界和黑洞的视界之间，平行于边界，因此它的面积就正比于边界区域A的体积。温度越高，对应的体态的黑洞越大，RT曲面就越接近于边界，它的面积也越大。这跟一个热平衡态的熵的性质是吻合的。

RT公式和它的推广[12,13]暗示着量子纠缠是建造时空几何的材料[14,15]。

为了寻找满足全息原理的量子引力理论，第一步是找到量子纠缠性质满足RT公式的量子态。这对于量子态是一个很不寻常的要求。比如，为了满足RT公式，边界上一个区域A跟另外两个区域B和C的关联度一定要大于AB关联度和AC关联度之和[16]。

关联度可以由互信息（mutual information）来量度

这个条件表明了非局域的关联，对于一般的量子态并不成立。

来自量子纠错的定域性

如果我们相信全息对偶是严格成立的，那么引力理论中的每个态都唯一对应于边界量子场论中的一个量子态。

作为一个例子，我们可以考虑体态内部一个位置x附近的一个电子，它的量子波函数局限在那个点附近，离边界很远（图2a）。

这个电子的自旋有上下两个状态，可以携带一个比特的量子信息。按照全息对偶，我们一定可以在边界上操纵这个电子自旋——因为所有态都对应这边界上的态。比如说自旋的z方向分量应该对应于边界上某个特定的算符，原则上说我们可以在边界理论里测量这个算符，从而测量体态里这个电子的自旋。

可是这看起来跟体态的定域性是矛盾的：如果体态理论满足相对论的话，应该没有办法超越光速，那怎么可能通过在边界上的操作，来即时操控和边界有一定距离的自旋呢？

图 2. 量子纠错与从边界操控体态中的量子比特的对比。

(a) 体态中一个点x的一个量子比特不能马上被边界上的小区域（例如A）探测到，因为信号传播需要时间。但是从边界上的一个大区域（例如B）就可以直接操纵它。

(b) 一个量子纠错码的示意图。一个量子比特被存储到五个量子比特中。如果其中两个出错，信息仍然可以从其他三个中读出。

在2014年的一篇论文中，Ahmed Almheiri，董希和Daniel Harlow (ADH)[17]对这个悖论给出了一个优美的解决方案。

在他们的工作之前，人们已经知道如何在全息对偶中把体态中的局域算符（比如翻转一个x点的电子自旋）对应到边界上一个子区域中，而不是用到整个边界。这个技术叫做局部重构（local reconstruction）[18,19]。

运用这个技术，ADH指出，从边界上即时操控体态的一个电子自旋确实是可能的，但是前提是你必须能够操控边界上一个足够大的区域，例如图2a中的B区域。如果你只能操控边界上一个小一些的区域（例如图2a中的A），那么你就无法操纵体态中的那个自旋。

换言之，对于只能操纵边界上一个小区域的观测者来说，体态的自旋是无法操纵的，所以它“看起来”离得很远。因此在这个世界中，定域性和速度上限——光速——都不是严格成立的，而只是适用于能力有限、无法同时操控宇宙中一大块地方的观测者。（我们“正好”就是这样的观测者！）

很有趣的是，ADH意识到，上面描述的机制不是新的，正好就是量子信息理论中研究过的量子纠错码（quantum error correction code）。

量子纠错的核心机制和经典计算机的纠错是类似的，就是把量子信息以一种冗余的方式储存在一个更大的系统里，以保证如果系统的一部分出了错误，还能从未出错的剩余部分中把信息提取出来。

我们可以把全息对偶看成是一种量子编码。在刚才所讲的体态电子自旋的例子中，电子自旋的两个状态|↑⟩,|↓⟩被全息对偶对应于边界上的两个量子态。这两个态是对体态中的这个量子比特的编码（encoding）。

我们可以把边界上的量子场论想象成一个量子计算机。因为边界上一个小区域的观测者无法看到或者影响体态中的电子，那也就意味着在量子计算机的这个小区域出了什么错误（比如一个量子比特丢失了或者发生了退相干）都不会破坏掉体态自旋中储存的量子信息。

这样，体态引力理论的定域性实际上来自于全息对偶作为一个“量子编码”的量子纠错性质。

这个量子纠错性质跟RT公式也是密切相关的[20]。粗略地说，RT公式给出的纠缠熵，对于实现量子纠错性质是一种必要的资源。

张量网络

基于这个对于定域性的新理解，我们如何进一步取得进展呢？

RT公式和量子纠错所描述的性质，究竟是只对一些非常特别的理论成立，还是对于很多量子多体系统普遍成立的性质呢？

决定这些性质的关键要素有哪些？

和物理中很多其他问题一样，如果真实情况太难研究，我们就先构造一些简化的玩具模型来帮助我们增进理解。

2009年Brian Swingle提出可以用一类称为张量网络（tensor network）的模型来阐释全息对偶和RT公式[21]。

在此之前，在凝聚态物理领域，张量网络被用来描述强关联体系的多体波函数，已经有很多研究[22-24]。Swingle的工作用到的一类张量网络是Guifre Vidal提出的“多尺度纠缠重整化模型”（Multiscale entanglement renormalization ansatz, MERA）[24]。

张量网络是一种构造多体波函数的方式。每一个“张量”是由几个量子比特组成的少体波函数。然后通过把量子比特之间纠缠起来，把这些少体系统“粘合”成一个多体系统。

构建张量网络的过程很像把计算机联结成互联网。

当我发送一封电子邮件时，信息不是直接从我的电脑传到收信人的电脑，而是经过服务器的中继。在张量网络中，量子比特通过量子测量被投影到一些纠缠态，这些纠缠态作为中继站把更多的量子比特连接成一个复杂的纠缠网络（如图3）。

即使每个张量只是少数几个量子比特的纠缠态，很多张量连接起来就可以描述复杂得多的多体纠缠结构[25]。

图 3 张量网络态和体态量子比特。

(a) 张量网络态的构造方式示意图。首先制备每个链接上的EPR纠缠对，然后在起中继作用的“服务器”节点S1,S2上做一个纠缠测量，就得到了其余量子比特ABCD的张量网络态。

(b) 两个区域A和B具有同样大小，但是熵的上限不同。因为有两个EPR对把A跟图的其余部分相连接，A的纠缠熵较大。

张量网络跟全息对偶和RT公式联系起来是很自然的，因为张量网络的纠缠结构取决于它的几何（也就是张量之间的连接方式）。

例如图3b中的张量网络，描述了一个5个量子比特的态。区域A和区域B都包含两个量子比特，但是A比B可以有更多的纠缠熵，因为有更多的量子纠缠对（Einstein-Poldolsky-Rosen pair）媒介了A和系统其余部分之间的纠缠。

对任何一个区域而言，它的熵都小于或等于联结它和其余区域的纠缠对的数目，乘以每个纠缠对的最大熵log⁡D。这里D是纠缠对中每个成员的状态数。

如果每个区域的熵都能达到这个几何允许的最大值，就自然地给出了RT公式，但并不是每个张量网络都能满足这个要求。

目前已知的有两类满足RT公式的张量网络，包括稳定子码（stabilizer code）[26,27]和高维随机张量网络[28]。

粗略地讲，一个随机张量网络可以看成是给定网络几何的所有张量网络态中随机取出来的一个态。我们知道在希尔伯特空间中的一个随机选取的态几乎是最大纠缠的[29]。

因为同样的原因，随机张量网络态具有这个网络的几何所允许的最高纠缠熵，也就是RT公式给出的熵。在随机张量网络态中，体态中的量子算符可以看成是对张量进行一些微扰。张量网络的随机性保证了这样定义的体态量子态在边界上一个小区域内是无法探测到的，也就是说它具有我们之前说过的量子纠错性质。

随机张量网络给出了一大类可以帮助描述全息对偶的玩具模型。

有趣的是，随机张量网络的纠缠熵和极小曲面的关系并不局限于反德西特空间，而是对任何空间都适用。这似乎暗示着当我们考虑更一般的时空中的量子引力时[30-32]，也许随机张量网络还是有用的。但是随机张量网络态毕竟只是玩具模型，还有很多全息对偶的性质无法用它来刻画。

一个主要的问题是如何描述引力系统的动力学。张量的随机选取使得研究动力学问题变得很困难。（在三维时空的情形，张量网络跟离散化的引力作用量（Regge calculus）可以建立起联系[33]。）

动力学和混沌

既然我们认为时空几何刻画量子纠缠的结构，那么时空几何的动力学——爱因斯坦引力场方程——自然也应该从量子纠缠的动力学中得出来。

在一个特殊情况下，即在共形场论的真空态上考虑低能激发的情形，Van Raamsdonk和合作者从全息对偶中推导出了线性化的爱因斯坦方程[34,35]。

这个推导背后的原理可以总结为图4的三角关系。一方面，RT公式把几何和纠缠熵联系起来。另一方面，共形场论的共形对称性把纠缠熵和能量联系起来了。

这样，几何和能量就建立了联系，这个联系正好给出（线性化的）爱因斯坦方程。在远离真空态的其他几何上如何推导爱因斯坦方程还不清楚。

图 4. 纠缠、几何和能量动量的关系。RT公式把几何和量子纠缠熵联系起来。共形场论的性质把基态附近的量子态的纠缠熵和能量动量涨落联系起来。能量动量和几何之间的联系则是爱因斯坦方程。

虽然对于更一般的几何我们还不知道怎么推导爱因斯坦方程，但体态的引力动力学的一些特别的方面在边界上有着有趣的对应。如果我们考虑边界处于热平衡态的情况，对应的体态中就有一个黑洞。

考虑图5中的情况，有两个粒子a和b在黑洞的视界附近发生散射。

粒子b朝边界运动，而a朝向黑洞。为了让b能够以一定的能量到达边界，b在视界附近必须有一个高得多的能量。粒子b离视界越近，它跟a散射时的能量越高，散射也就越强烈，另一方面它在散射之后到达边界的时间也就越晚。

从边界的角度来说，这意味着a和b对应的算符的对易子随着时间指数增长：

有趣的是，这个指数增长的速率2πT是一个完全由温度决定的常数。

从边界的角度来看，这样一个性质告诉我们边界的动力学是混沌的，因此一个单粒子算符会演化成一个复杂的多体算符[36]，因此跟越来越多的单粒子算符变得不对易。这种对易子的增长可以由非时序关联函数来刻画[36-38]。

更进一步，文献[39]证明了增长速率2πT是所有物理系统中最快的，也就是说，跟引力系统对偶的量子场论不仅是一个混沌的多体系统，而且（在某种意义上）是多体系统中混沌程度最高的。

近年来，有一个具有“最高混沌度”性质的模型被提出来，成了研究全息对偶的另一个重要的玩具模型，这就是Sachdev-Ye-Kitaev（SYK）模型[40-42]。

图 5. 黑洞视界附近的一对粒子的散射。散射振幅随着b到达边界的时间指数增长。

这里描述的算符的复杂度增长也跟前面讨论的量子纠错性质是相关的。当一个粒子掉到黑洞视界附近时，它变得越来越难从边界上探测到，因为从边界的角度来看它变得越来越非局域。

从这个意义上来说，正是边界的混沌动力学保证了体态中的量子信息具有量子纠错性质，而藏在黑洞视界背后的信息则是被保护得最好的。

这就带来了很多新的问题：

（从边界的角度来看）粒子掉入黑洞之后撞到奇点的时候发生了什么？
如果我们能在边界上做任意非局域的测量，我们能获取已经掉入黑洞视界背后的量子信息吗？
如果可以的话，又如何对体态的时空结构和黑洞视界附近的几何给出一个自洽的理解呢？

这些问题跟各种形式的黑洞信息悖论密切相关，包括近年被提出来的火墙悖论[43]。

对量子引力的展望

显然我们离一个完备的量子引力理论还很遥远。但是我们已经可以说，近年来这个领域的进展已经深刻地改变了我们对引力和时空的认识。

来自量子信息理论的概念，例如量子纠缠和量子纠错，开始成为理解时空结构的基础。量子力学的其他基本性质，例如量子电路的复杂度，也开始和引力理论建立了联系[44,45]。未来的目标是更定量地描述时空几何是如何从量子多体动力学中演生出来的。

如果我们大胆地猜想一下未来的量子引力理论会是什么样子，大概会有这样两种可能性。一种可能是量子力学是最基本的理论，而引力是从量子力学中演生出来[46]。另一种可能是描述超出反德西特空间的引力需要超越量子力学，引力和量子力学是真正的基本理论的两种不同的近似。

译注

最近，我应Nature Physics的邀请，对量子引力方面近年来的研究写了一个简单的介绍[47]。作为同一个专题在这期杂志上一起发表的上还有Brian Swingle[48]和Ehud Altman[49]的两篇概述文章，也是关于量子纠缠、量子混沌的近期发展。

非常感谢毛淑德老师的邀请，现在我把这篇文章译成中文发表在《赛先生天文》上，希望能够抛砖引玉。在翻译过程中我对一些部分的表述方式做了一些小改动。

也要感谢Nature Physics的编辑李筠向我约稿，并特别为中文版向大家提供了免注册的原文链接（点击文末左下方“阅读原文”跳转）。另外顺便说一下，之前有其他公众号发表了我的文章的翻译，但发表前我不知情。

参考资料

[1] Bekenstein, J. D. Black holes and the second law. Lett. Nuovo Cim. 4, 737–740 (1972).

[2] Bekenstein, J. D. Black holes and entropy. Phys. Rev. D 7, 2333–2346 (1973).

[3] Hawking, S. W. Gravitational radiation from colliding black holes. Phys. Rev.

Lett. 26, 1344–1346 (1971).

[4] Hawking, S. W. Black hole explosions? Nature 248, 30–31 (1974).

[5] Susskind, L. The world as a hologram. J. Math. Phys. 36, 6377–6396 (1995).

[6] Bousso, R. The holographic principle. Rev. Mod. Phys. 74, 825–874 (2002).

[7] ’t Hoot, G. Dimensional reduction in quantum gravity. Preprint at https://arxiv.org/abs/gr-qc/9310026 (1993).

[8] Maldacena, J. The large-N limit of superconformal Field theories and supergravity. Int. J. Theor. Phys. 38, 1113 (1999).

[9] Witten, E. Anti de Sitter space and holography. Adv. Theor. Math. Phys. 2, 253–291 (1998).

[10] Gubser, S. S., Klebanov, I. R. & Polyakov, A. M. Gauge theory correlators from non-critical string theory. Phys. Lett. B 428, 105–114 (1998).

[11] Ryu, S. & Takayanagi, T. Holographic derivation of entanglement entropy from the anti–de Sitter space/conformal field theory correspondence.

Phys. Rev. Lett. 96, 181602 (2006).

[12] Hubeny, V. E., Rangamani, M. & Takayanagi, T. A covariant holographic entanglement entropy proposal. J. High Energy Phys. 2007, 062 (2007).

[13] Faulkner, T., Lewkowycz, A. & Maldacena, J. Quantum corrections to holographic entanglement entropy. J. High Energy Phys. 2013, 074 (2013).

[14] Van Raamsdonk, M. Building up spacetime with quantum entanglement.

Gen. Relativ. Gravit. 42, 2323–2329 (2010).

[15] Maldacena, J. & Susskind, L. Cool horizons for entangled black holes.

Fortschr. Phys. 61, 781–811 (2013).

[16] Hayden, P., Headrick, M. & Maloney, A. Holographic mutual information is monogamous. Phys. Rev. D 87, 046003 (2013).

[17] Almheiri, A., Dong, X. & Harlow, D. Bulk locality and quantum error correction in AdS/CFT. J. High Energy Phys. 2015, 163 (2015).

[18] Hubeny, V. E. & Rangamani, M. Causal holographic information.

J. High Energy Phys. 2012, 114 (2012).

[19] Headrick, M., Hubeny, V. E., Lawrence, A. & Rangamani, M. Causality & holographic entanglement entropy. J. High Energy Phys. 2014, 162 (2014).

[20] Harlow, D. The Ryu–Takayanagi formula from quantum error correction.

Commun. Math. Phys. 354, 865–912 (2017).

[21] Swingle, B. Entanglement renormalization and holography. Phys. Rev. D 86, 065007 (2012).

[22] White, S. R. Density matrix formulation for quantum renormalization groups.

Phys. Rev. Lett. 69, 2863–2866 (1992).

[23] Verstraete, F., Murg, V. & Cirac, J. I. Matrix product states, projected entangled pair states, and variational renormalization group methods for quantum spin systems. Adv. Phys. 57, 143–224 (2008).

[24] Vidal, G. Class of quantum many-body states that can be efficiently simulated. Phys. Rev. Lett. 101, 110501 (2008).

[25] DiVincenzo, D. P. et al. in Quantum Computing and Quantum

Communications (ed. Williams, C. P.) 247–257 (Springer, Berlin, 1999).

[26] Pastawski, F., Yoshida, B., Harlow, D. & Preskill, J. Holographic quantum error-correcting codes: toy models for the bulk/boundary correspondence.

J. High Energy Phys. 2015, 149 (2015).

[27] Yang, Z., Hayden, P. & Qi, X.-L. Bidirectional holographic codes and sub-AdS locality. J. High Energy Phys. 2016, 175 (2016).

[28] Hayden, P. et al. Holographic duality from random tensor networks.

J. High Energy Phys. 2016, 9 (2016).

[29] Page, D. N. Average entropy of a subsystem. Phys. Rev. Lett. 71, 1291–1294 (1993).

[30] Strominger, A. The dS/CFT correspondence. J. High Energy Phys. 2001, 034 (2001).

[31] Nomura, Y., Salzetta, N., Sanches, F. & Weinberg, S. J. Toward a holographic theory for general spacetimes. Phys. Rev. D 95, 086002 (2017).

[32] Verlinde, E. Emergent gravity and the dark universe. SciPost Phys. 2, 016 (2017).

[33] Han, M. & Huang, S. Discrete gravity on random tensor network and holographic Rényi entropy. J. High Energy Phys. 2017, 148 (2017).

[34] Lashkari, N., McDermott, M. B. & Van Raamsdonk, M. Gravitational dynamics from entanglement “thermodynamics”. J. High Energy Phys. 2014, 195 (2014).

[35] Swingle, B. & Van Raamsdonk, M. Universality of gravity from entanglement. Preprint athttps://arxiv.org/abs/1405.2933 (2014).

[36] Shenker, S. H. & Stanford, D. Black holes and the butterfly effect.

J. High Energy Phys. 2014, 67 (2014).

[37] Larkin, A. & Ovchinnikov, Y. N. Quasiclassical method in the theory of superconductivity. J. Exp. Theor. Phys. 28, 1200–1205 (1969).

[38] Shenker, S. H. & Stanford, D. Stringy effects in scrambling. J. High Energy

Phys. 2015, 132 (2015).

[39] Maldacena, J., Shenker, S. H. & Stanford, D. A bound on chaos.

J. High Energy Phys. 2016, 106 (2016).

[40] Sachdev, S. & Ye, J. Gapless spin-fluid ground state in a random quantum Heisenberg magnet. Phys. Rev. Lett. 70, 3339–3342 (1993).

[41] Kitaev, A. A simple model of quantum holography. KITP http://online.kitp.ucsb.edu/online/entangled15/kitaev/; http://online.kitp.ucsb.edu/online/entangled15/kitaev2/ (2015).

[42] Maldacena, J. & Stanford, D. Remarks on the Sachdev-Ye-Kitaev model.

Phys. Rev. D 94, 106002 (2016).

[43] Almheiri, A., Marolf, D., Polchinski, J. & Sully, J. Black holes: complementarity or firewalls? J. High Energy Phys. 2013, 62 (2013).

[44] Stanford, D. & Susskind, L. Complexity and shock wave geometries.

Phys. Rev. D 90, 126007 (2014).

[45] Brown, A. R., Roberts, D. A., Susskind, L., Swingle, B. & Zhao, Y. Holographic complexity equals bulk action? Phys. Rev. Lett. 116, 191301 (2016).

[46] Susskind, L. Dear Qubitzers, GR= QM. Preprint at https://arxiv.org/abs/1708.03040 (2017).

[47] Qi, X. L. 2018, Nature Physics 14 984-987 (https://www.nature.com/articles/s41567-018-0297-3)

[48]Brian Swingle. 2018, Nature Physics 14, 988–990(https://www.nature.com/articles/s41567-018-0295-5)

[49]Ehud Altman. 2018, Nature Physics 14, 979–983(https://www.nature.com/articles/s41567-018-0305-7)