在伊辛模型中，高温会导致箭头（通常表示粒子自旋）随机翻转，而磁力则会让近邻的箭头同向排列。这两股力量的斗争准确捕捉了现实世界中大量系统的特征。

导语

伊辛模型最初是用于解释铁磁系统相变的一个简单模型，在通过数轮开发后，人们逐渐认识到了它作为相变模型的普适性：无论是铁原子还是水分子组成的系统，在临近相变时，它们都具有相同的临界指数。到今天，伊辛模型已经被应用于科学领域的方方面面，但精确求解三维伊辛模型的问题仍然困扰着物理学家，这呼唤着科学方法的新变革。

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水在寒冷的冬天结冰，热汤蒸汽腾腾，物质形态的这种突然而根本的变化人们很早就已经熟悉，但直到20世纪，人们始终没能揭开这背后的神秘面纱。

图1：烧杯中的水相变为水蒸汽

科学家们观察到，物质形态通常是渐进变化的：比如加热一团原子，每加热一些，它就膨胀一点。但当这团物质的温度超过某个临界点时，它就会产生显著的改变，变成另一种完全不同的状态。物质的状态在物理学中又称为相，比如水的液态气态、磁铁的磁性状态等，而物质从一种相转变为另一种相的过程就是相变（Phase transition）。

恰好在100年前，解开相变问题的数学钥匙登场，并且改变了整个自然科学，这把钥匙就是伊辛模型。

伊辛模型最早是作为一种模拟磁性物体的简化模型被提出来的，它设计简单却用途广泛，可以说，伊辛模型在物理学中的普遍程度，就像果蝇在生物学中一样。

一本不久前出版的统计物理学教科书认为，伊辛模型“能用来对几乎所有有趣的热力学现象进行建模”。事实上，这个模型也已经渗透到了物理学以外的各个学科里，可以用来对地震、蛋白质、大脑甚至种族隔离进行建模。

书名：

Statistical Mechanics: An Introductory Graduate Course

地址：

https://www.springer.com/gp/book/9783030281861

那么，伊辛模型这样一个原本用来研究物质磁性的简化模型，它如何阐明了相变的机制，渗透到各个科学领域，并且至今仍在帮助我们拓宽知识的边界呢？

从提出到沉寂，

伊辛模型的最初五年

1920年，当全世界正从西班牙大流感中恢复时，德国物理学家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）开始研究：为什么将磁铁加热到超过某个温度后，磁性就会丧失。事实上，这正是皮埃尔·居里（Pierre Curie）在25年前通过实验发现的现象，当铁磁系统的温度超过居里温度时，原本具有的磁性就会丧失。

图2：威廉·楞次（左）与恩斯特·伊辛（右）

楞次设想用一个排布着小箭头的网格来表示磁铁，其中每个小箭头表示一个原子，它的指向要么朝上、要么朝下（原子具有内秉磁性，因此可以认为原子像小磁铁一样具有南北两极，从而具有朝向）。每个箭头都会影响与它相邻的箭头，并不断地尝试用磁力翻转它们，使周围箭头的方向和自己保持一致。

楞次注意到，如果大多数原子指向一致，它们各自的微小磁场便会融合，使物体在整体层面表现出磁性，就像磁铁一样。而如果朝上的原子和朝下的原子均匀混合，它们的磁性将会中和，使得整体不会表现出磁性。

物理学家们发表了数以千计的论文，讨论热和磁在网格上的较量。热，也就是粒子的随机振动，它制造无序；而磁力则抵抗着这股混沌之力。楞次认为，在低温情况下，磁力会成为主导；而当温度足够高时，随机振动将瓦解掉原子们整体的协同状态——这就解释了为什么居里会观察到高温的磁铁会失去磁性。

楞次向他的研究生恩斯特·伊辛（Ernst Ising）派出任务：解决磁铁受热相变过程中的细节问题。尽管真实的磁铁是三维的，伊辛却首先将它简化为一维的线性箭矢链，其中每个箭头都能感应到左右两个相邻箭头的影响。这个模型如今也被称作一维伊辛模型。

伊辛证明，这条一维的箭矢链无法保持磁性。在任何温度情况下，箭头的随机翻转都会压制磁场让它们的指向保持一致的努力。

图3：一维伊辛模型。对于铁磁系统而言，当原子的磁矩指向相同时，它们相互作用的能量比较低，整个系统较为稳定，因此磁力让原子的磁矩方向倾向于保持一致。但热量会导致原子的磁矩随机翻转。

加拿大麦 McMaster 大学的凝聚态物理学家 John Berlinsky 解释说，一维情况不符合现实世界的铁磁相变过程。

伊辛于1925年发表了他的成果。他和楞次认为，该结论同样适用于二维和三维的箭矢网格，因此，他们的模型事实上没有成功解释真实磁铁的特性。这个理论似乎注定要走入失败理论的墓园。

论文题目：

History of the Lenz-Ising Model 1920–1950: From Ferromagnetic to Cooperative Phenomena

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-004-0088-3

复活又蒙尘：二维伊辛模型

尽管不能解决最初试图研究的问题，但由于数学方法上的突破，伊辛模型在短暂沉寂后又活了过来。上世纪40年代，它引起了理论物理学家、后来的诺奖得主拉斯·昂萨格（Lars Onsager）的注意。

昂萨格尝试研究二维的伊辛模型，其中每个箭头有四个最近邻而不是两个，并计算在任何给定的温度下，朝上的原子所占的比例。

无论是在一维还是二维情况，要求解这个问题，都需要列出每个箭头对相邻的其他箭头的影响。因为某个箭头对远处不相邻箭头的影响，是通过一个一个相邻的箭头传导过去的。而在二维平面上，情况远比一维复杂。

昂萨格的解法于1944年发表。计算机学家索林·以色列（Sorin Istrail）称这是一种“非人类”的数学方法，至今仍然很难理解。“你一行一行地跟着他的步骤走，最后发现证明是对的，但你对证明过程却一无所知”。

论文题目：

Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition

论文地址：

https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.65.117

昂萨格证明，对于二维伊辛模型，在低温情况下箭头会保持朝向一致，磁力将获胜。而当系统超过一个特定的“临界温度”时，导致无序的混沌之力将胜出，正如同楞次最初猜想的一样。一个简单的箭矢网格就可以解释相变，而不需要像许多物理学家所想的那样，要考虑真实粒子自带的各种复杂属性。

不过伊辛模型仍在蒙尘。它似乎过于简化，只是展现了一种抽象的现实。丹麦 Roskilde 大学的物理学史专家马丁·尼斯（Martin Niss）说，当时人们对伊辛模型是持怀疑态度的。

再度崛起：

伊辛模型背后的普适性

不过，随着人们对稀有气体氩和氦的物理特性的精确测定，伊辛模型的处境再次改变。此前昂萨格解出了一系列“临界指数”（Critical exponent），来描述在发生相变时，物质的不同属性（例如密度、比热容、磁性等）的变化速度。而实验结果与昂萨格通过理论计算得到的临界指数是吻合的。

尼斯回顾这段历史时说，到1965年，大多数物理学家已经接收了楞次和伊辛的模型，尽管物理学家们也同样很好奇：一个物理上不那么真实的模型如何求解出了临界指数这样的具体细节？

论文题目：

History of the Lenz-Ising Model 1950-1965:from irrelevance to relevance

论文地址：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00407-008-0039-5

答案是，伊辛模型抓住了本质。

伊辛模型之所以强大，是因为一系列不相关的物质在临近发生相变时，都具有相同的临界指数——现在我们称这种现象为普适性（Universality）。1971年，美国物理学家肯尼斯·威尔逊（Kenneth Wilson）解决了有关普适性的数学问题，并因此获得1982年诺贝尔物理学奖。

论文题目：

Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture

论文地址：

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.4.3174

威尔逊证明，虽然在高温环境下，箭头指向是随意的，但随着系统逐步冷却并接近相变临界点，磁力相互作用会驱使相邻箭头指向一致，逐渐聚集起许多有序的“岛屿”，并越长越大，在这些岛屿内部，所有箭头都指向同一方向。临界指数可以描述这一过程的细节，例如最大的岛屿的是怎样生长的。

图4：当伊辛模型接近其临界温度时，指向相同的箭头形成了大大小小各种尺寸的“岛屿”

在临界温度下，各种规模的岛屿都可以共存，不论是芝麻大的小岛，还是广阔的大陆。并且在这种特殊情况下，一个箭头的变化可以直接影响另一个距离遥远的箭头，尽管它们并不相邻。

系统在临界状态时具有的这些性质表明，其宏观属性已从微观细节中分离了出来，而这便是普适性的魔力。任何系统，只要具有相同的维数和对称性，不论它们的微观组成是铁原子、水分子还是小箭头，都会经历相同的相变。

普适性意味着，对于由很多相互作用的个体组成的系统，当它们的特性可以用“上-下”、“有-无”这样的一对反义词来描述时，就可以用伊辛模型来研究。

正如加州大学伯克利分校的凝聚态物理学家弗朗西斯·赫尔曼（Frances Hellman）所说，在处理一些特定问题时，伊辛模型是最简单的可解模型，运用伊辛模型对于理解这些难题大有帮助。

与此同时，研究者也可以将这个模型适当扩展，以适应不同的物理系统，例如可以让箭头在平面上自由旋转。

窥探未来的物理理论：

三维伊辛模型的精确解在哪里？

虽然伊辛模型帮助物理学家重新理解了物质，但在精确求解三维伊辛模型时，研究者却遭遇了重重阻碍。在任意给定温度下，要如何找到一个简洁的公式，来刻画三维箭矢网格的磁性呢？伊辛在1920年留下的这个问题，即便是理查德·费曼（Richard Feynman）也没能成功解决。

今天，计算机可以模拟三维伊辛模型，并在合理的精度范围内找到临界指数的近似值，于是精确求解三维伊辛模型也变得不很紧要了。不过人们仍然心向往之。2012年，物理学家发起了一个联合协作项目，旨在探索逻辑上可能的物理理论空间，这个理论空间中的每一个点都对应一组临界指数。他们已经锁定了包含三维伊辛模型的精确临界指数的区域，并且还在不断缩小这一区域的范围。