导语

范畴论是一个研究结构的理论，提供了一种系统、精确、抽象的跨领域科学方法论，可直接付诸于各领域考察的问题，寻求跨领域的解决之道。这种数学语言与复杂性科学有众多相似之处，加之其本身作为数学工具的严密性，后续可能能为解决复杂性科学问题提供一把钥匙。

为了让大家了解范畴论这样一门现代数学语言，克服传统学习范畴论抽象和对前置知识的障碍，集智学园特邀一位正在尝试教中学生范畴论的J-CAT猫圈老师开课，筹划了“集智范畴论入门系列课程”。第二季课程正式推出，在第一季习得的范畴论思维方式基础上，本季课程将站在新的起点上，更多关注范畴论内在的问题，而不用过于关注具体的问题背景。例如在范畴论中，可以直接抽象地讨论一个作为函子的箭头如何运动到另一个函子箭头，这样需要理解函子范畴和自然变换的概念。通过掌握这些越来越抽象的思维工具，学员将逐渐感受到范畴论的强大抽象简化能力，感受到为何不同领域的研究前沿不约而同地应用这些工具。

此系列课程为周更课程，每周日中午12点更新。本文介绍第1-3课，欢迎对范畴论感兴趣的朋友报名加入课程。

课程内容（第1-3课）

第一节：用箭头构造矩阵 （免费公开）

[课程简介]

单点集就像一个探针，通过共变Hom函子去试探集合范畴的特定对象，通过态射探出了集合中的特定元素。这是范畴论的思维方式，把任何集合都用态射集也就是箭头的集合来替代，对集合中的元素的研究变成了对箭头的研究。范畴论就是箭头的科学，它可以脱离集合论来讨论元素。元素是静态的，集合是静态的，态射是动态的，函子是动态的。范畴论更关注动态的联系而非静态的孤立的概念。

箭头有起点和终点，在范畴上对应域和余域的对象。箭头可以被动地描述系统的演化，也可以主动地描述信号处理的系统。集合映射就是信号处理系统的一种实现。类似的有逻辑信号处理、概率信号处理、线性信号处理等等。范畴论所可以囊括的是各式各样的用带有方向的箭头所描述的信号处理系统。

既然可以用箭头描述集合的元素，进一步可以到其它的范畴中，例如用线性映射描述向量。这样能够用动态的线性映射来描述静态的向量。这种思想和集合范畴是一脉相承的。从这里展开线性代数的讨论，向量、线性映射、矩阵，都可以通过箭头来表述。

本课中用箭头方式重构了基础的线性代数，解释了矩阵作为有限维度线性映射的本质特点，即线性映射的乘法性质和线性叠加的加法性质。通过范畴论的态射更深刻地理解矩阵的意义。并且可以用类似的方法把线性代数的研究方法推广到其它范畴，构成图论中的邻接矩阵、关系中的逻辑矩阵、随机过程中的概率矩阵，等等。

[课程大纲]

• 从元素到箭头

• 从向量到箭头

• 矩阵的构造

• 矩阵的乘

第二节：函子范畴（免费公开）

[课程简介]

范畴论提供了逐级抽象问题的方法。最初用态射连接对象，之后用函子连接范畴，进一步还要关注函子和函子之间的连接，这就需要把函子作为对象构造函子范畴。自然变换就是函子范畴中的态射。我们给出一些例子说明静态概念如何通过动态箭头连接。在函子范畴中，为了连接两个函子，需要考虑如何连接函子在目标范畴上映射的像，也就是如何连接对象和箭头。自然变换构成范畴论后继学习的基本工具，需要学者熟练掌握。我们给出了高阶同伦的例子，说明从态射到函子到自然变换的意义。

通常，人们用方程刻画相等的关系，建立事物之间的联系。然而方程的条件太强。范畴论往往用等价来构造类似于方程，却比方程灵活的联系。这种等价是通过函子范畴来构造的。例如结合律和交换律，在代数中表示为满足某些方程的条件。我们引入多元函子，把运算用函子来表示，并通过自然变换的方式建立起更灵活的结合律和交换律。

[课程大纲]

• 函子

• 自然变换

• 多元函子

• 结合律和交换律

第三节：可表函子I

[课程介绍]

映射到集合范畴上的函子范畴是一类特别重要的范畴，构成了可表函子问题的基本设定。

为了引入相关概念，首先讨论单点集。单点集发出的共边Hom函子，构造了集合对象和态射集的同构。这是集合元素的态射式定义，它相当于用共边Hom函子构造了集合范畴上的恒等函子。

在(有限维)线性空间上可以构造线性对偶空间。对偶空间的元素是从原线性空间到域的线性函数。对偶空间相当于这样的线性函数构成的集合，它可以用线性空间范畴上反变Hom函子描述。这样通过反变Hom函子构造了线性对偶空间函子。

另一个常见的可表函子的例子是幂集的构造。幂集由子集族构成，而子集和特征函数是一一对应的，这样建立起了幂集和特征函数集在集合范畴中的同构。我们用反变Hom函子，把集合对象转化成集合到二元集的态射集，它就是特征函数集。这样通过反变Hom函子构造了幂集函子。

幂集函子的机构是许多数学问题的基础，如实分析和概率中的sigma-环/sigma-代数，以及点集拓扑的公理。拓扑结构是在幂集的基础上，按照特定公理规定的子集族，是更精细的结构。类似于用特征函数作为态射集来构造幂集函子的过程，我们引入Sierpiński空间，用拓扑空间中的态射集，也就是连续函数的集合，来构造对应的函子，即通过反变Hom函子构造开集函子。

[课程大纲]

• 集合范畴上的单点集与恒等函子

• Hom双函子和线性对偶空间

• 幂集函子和Sierpiński空间的相关Hom函子

课程讲师

J-CAT猫圈，教育法尝试者，同时给小学、中学、大学、研究生、科研人员授课，寻找从基础到前沿的最短路径。

研究兴趣包括：范畴论、动力系统、人工智能。

范畴论第二季：跨学科的科学方法论

每周更新，持续报名中

课程大纲（第二季）

1. 用箭头构造矩阵（免费公开）

2. 函子范畴（免费公开）

3. 可表函子I

4. 可表函子II

5. Yoneda引理

6. 伴随函子

7. 张量积

8. 张量代数

9. 幺半范畴

10. 单子

11. 泛性质

12. Abel范畴

学习建议

集智范畴论入门系列课程第一季的学员从在读的大学生、在职的数学爱好者、研究生、教学科研人士，到一个研究课题组的师生。他们的研究兴趣包括数学、物理、量子信息、人工智能、计算理论、生命科学、经济学等，这既体现了集智社区活跃的交叉学科学习氛围，也体现了范畴论第一季的设计初衷，打造一个“人人可学”的范畴论入门课程。第一季收到了很多学员积极的反馈，想听听大家怎么说，可见文章：范畴论人人皆可入门？老师和同学们这样说——

如果您满足以下任意条件，但尚未有基础的范畴论知识，请先学习第一季课程：

• 对现代数学体系和方法论有兴趣

• 具有专业的数学训练，希望了解范畴论，从新的角度研究的科研工作者

• 有高等代数/线性代数背景的大学生、研究生、科研工作者

• 希望了解范畴论的思维方式

• 有兴趣的中学生

第一季课程报名链接，可见推文：

人人可学的范畴论——跨领域的科学方法论 | 精品入门系列课

如果您已经具备范畴论第一季课程大体所覆盖的知识，便可以开始第二季课程的学习之旅。

报名途径（长期有效）

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2. 如果你已购买范畴论第一季课程，推荐选择“打包购买”，仅需支付第二季的85折优惠后价格 595 元（11月30日之前有效）~

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