导语

威尔逊1971年提出的临界现象重整化群理论，基于卡丹诺夫重整化群变换下哈密尔顿量的非平庸不动点及其附近的渐近行为，已经被广泛应用于研究哈密尔顿量已知系统的临界现象。但当前，人们亟待研究的各类复杂系统的相变与临界现象往往难以给出哈密顿量的具体形式，以至于传统方法面对很大挑战，需要另辟蹊径。最近，北京师范大学系统科学学院陈晓松教授与其合作者们基于之前本征微观态理论的研究，提出了本征微观态重整化群理论，研究卡丹诺夫重整化群变换下本征微观态的非平庸不动点，从而可统一地处理广泛的平衡和非平衡复杂系统临界现象。

研究领域：重整化群，临界，粗粒化，复杂系统

刘腾 | 作者

邓一雪 | 编辑

 

论文题目：

Renormalization Group Theory of Eigen Microstates

论文链接：

http://cpl.iphy.ac.cn/article/10.1088/0256-307X/39/8/080503

1. 卡丹诺夫的块自旋和重整化群变换

连续相变在临界点处重要的特征，就是系统的关联长度 ξ 趋于发散，从而使得系统的关联长度成为唯一特征尺度，并表现在系统的临界性质不依赖于系统在短尺度下的细节信息。因此我们可以采取粗粒化的方式将小尺度下的细节信息平均掉，而不失去系统临界的特征。

卡丹诺夫最早发现了临界系统的这个特质，并提出了“块自旋”（block spin）的粗粒化方法[1]。以伊辛模型为例，我们可以将过于复杂而无法直接处理的伊辛模型网格划分成适当大小的元胞（最小单元的尺寸由变为），每个元胞包含多个自旋。然后计算每个元胞内自旋的平均方向作为整个元胞的自旋指向。通过不断重复这个过程，晶格的具体细节逐渐隐没，系统被不断缩放，并考察系统在该过程下物理量的标度不变性（scale invariance）。

块自旋（block spin）方法

威尔逊在卡丹诺夫的基础上进一步发现，系统经过块自旋变换后，可以通过重标变换的方式恢复到和原有模型一致，并指出这样的变换操作可以构成一个半群（粗粒化过程不可逆，所以没有逆元），并将其命名为重整化群（renormalization group）。

在临界点处，由于关联长度趋于无穷大，无穷大的量在重整化群变换后仍然是无穷大，这同时也对应着群作用下的不动点。所以威尔逊创造性地将物理上的临界点与群作用下的非平庸不动点结合在一起，提出了一系列基于系统哈密顿量的重整化群理论，来研究系统的临界性质 [2][3]。

2. 本征微观态的重整化群变换

对于大量需要研究的复杂系统，其能量函数、系统状态分布函数和序参量都是未知。在这种情况下，前面所介绍的基于哈密顿量的重整化群理论就面临很大的挑战。为研究复杂系统的相变，我们最近提出了基于实验数据或者计算模拟数据的本征微观态方法[4]。

对于N个个体组成的系统，我们通过收集每个个体随时间演化的数据来构成系综矩阵。通过对系综矩阵的奇异值分解，可以将原复杂系统分解成不同的本征模式（特征向量的直积）以及模式所对应的权重（特征值）的线性组合。在该理论体系下复杂系统的相变与临界现象可通过本征微观态的凝聚来确定，这类似于玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚，即宏观数量玻色子在极低温下处于基态能级。

在本文中，作者就利用了本征微观态理论不需要提前预知系统哈密顿量具体形式的优点，将重整化群思想引入到了本征微观态理论中。作者研究了不同维度的伊辛模型在经过卡丹诺夫块变换之后，系统本征微观态的权重，即本征值，在变换前后的关系。发现系统本征值经过变换后存在三个不动点，分别对应系统处于高温极限、低温极限以及临界点处。其中高、低温极限下为平庸的不动点，其变换后的本征值满足：

 

其中高温下ω=d/2，低温下ω=0，d为系统的空间维度。

图一：二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ₁）体现出的低温不动点(a)和高温不动点(b,c)，以及其满足的标度形式

在临界点处为非平庸的不动点，变换后的本征值满足：

其中为重整化的温度和外场强度。结合之前研究所给出σ₁的在临界点处满足的有限尺度标度形式 [4]，我们可以获得系统本征值在重整化群变换后的关系为：

其中为经过尺寸为的元胞变换后的本征值，σ₁为原系统的本征值。该关系分别在一维，二维和三维伊辛模型中得到了检验（下图为二维伊辛模型的结果）。

图二：二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ₁）在临界点处为非平庸不动点，并满足标度关系。

3. 本征微观态重整化群理论的应用

上面所给出的重整化群变换关系具有一系列非常好的性质，可以帮助我们确定系统临界点，求解临界指数。（下面仍以二维伊辛模型为例）

a）确定系统临界点

首先我们可以定义系统第二大本征值和第一大本征值之比，作为描述系统临界性质的一个标度函数。该标度函数经过重整化变换之后与变换之前的比值R，在临界点处具有不动点。即

在t=0或者h=h_c时，R的值与重整化参数b无关，并且R_c=1；根据此性质，我们可以做出不同参数b下的R曲线，根据曲线的交点所对应的温度或者外场强度来确定系统的临界点。

图三：对二维伊辛系统，通过确定重整化变换后的R函数的不动点，可以获得系统的临界温度(a)和临界外场强度(b)。

b）计算临界指数v，v_h与确立普适类

当系统外场（h=0）不变，温度为t₀时，根据系统本征值在重整化群变换下的关系可知:

同时，如果我们考虑一个尺寸为的系统的本征值。通过调节该系统的温度使得在的时候有，。则可求的系统的临界指数v为:

同样的，在只考虑外场的情况下，可得

下图展现了，在b=2，不同的t₀下，我们通过寻找和的交点所对应的，求得二维伊辛模型的

图四：通过构建重整化后的本征值与对应尺寸系统本征值的方程，获得系统的临界指数v，由临界指数v和v_h，我们还可以确立临界现象的其它临界指数和普适类

4. 复杂系统研究的新思路

在还原论思想的指引下，人类对自然到社会系统中的个体已有了广泛深入的研究和了解。但在基于个体的性质推出复杂系统集体行为方面，进展相对有限。当前面临的许多巨大挑战，都涉及到复杂系统的集体行为，其中系统性质发生定性改变的相变与临界现象具有特别重要的意义。该文提出的本征微观态重整化群理论，规避了传统理论需知道系统的哈密尔顿量、微观态的概率分布和序参量的要求，能统一地研究平衡和非平衡复杂系统的临界行为。

参考文献

[1] Kadanoff L P 1966 Phys. Phys. Fiz. 2 263

[2] Wilson K G 1971 Phys. Rev. 4 3174

[3] Wilson K G 1971 Phys. Rev. 4 3184

[4] Hu G K, Liu T, Liu M X, Chen W and Chen X S 2019 Sci. Chin. Phys. Mech. & Astron. 62 990511

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