21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是探索复杂性的关键环节。为深入理解混沌理论及其在科学、工程领域的应用，集智学园特别策划混沌科学系列课程。课程邀请9位从事混沌及相关跨学科研究的资深学者担任导师，自2022年12月9日起，每周五晚在线授课。
在混沌科学系列课程第一课，著名混沌理论学者、香港城市大学讲座教授陈关荣以历史人物故事串联了混沌科学的发展历程，从三体问题到蝴蝶效应，从对混沌现象有感性认知，到现代混沌科学诞生，再到工程技术、计算机科学、脑科学等各个领域的潜在应用，介绍了混沌相关的基础概念和理论。今天的文章是此次课程的整理。欢迎感兴趣的朋友关注并加入课程，共同探索混沌科学！
研究领域：混沌、初始敏感性、Lorenz系统、Li-Yorke定理、混沌电路、混沌世界
众所周知，由于牛顿运动定律的产生，描述单体问题、二体问题变得比较简单。拉普拉斯也坚信，这个世界上没有什么东西是不确定的，只要知道过去，就能知道今天；知道今天，就能知道未来。然而，后来人们发现事实并非如此，所以将其称为魔咒。
单体、二体问题的运动规律被解决，但却不能将其不失一般性地推广到三体问题。我们不禁追问：为什么三体问题难得多？因为描述三体问题的方程求解过于困难，每个物体有三个自由度，需要3个二阶常微分方程描述，将其化简为一阶方程后，方程总数就变成6个，三个物体一共需要求解18个方程。按照拉普拉斯的观点，只要成功求解便可准确描述三体运动，然而，目前我们只能求解 10 个方程的积分，远未能解决三体问题 。同样道理，要解决N体问题就更困难了。
更直观的理解，视频是一个三体运动的展示。可以将其理解为太阳、月亮和地球，它们之间存在相互的吸引力，所以任何一个都不会跑走。我们看到其相互绕转的轨迹异常复杂：
对于上述问题，牛顿、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、泊松等很多大数学家想要解决，却都未能如愿。至于进入更复杂的N体问题，如下面视频所示的相撞场景，我们可以非常直观地看出其求解和分析的困难程度。
三体问题解决不了，于是人们退而求次，选择对其做一些约束，简化为“平面限制性三体问题”：假定两个大质点作平面圆周运动， 一个小质点作空间运动。例如对下图所示的系统，约束两个大的质点（木星和太阳）只能在平面上运动，小的质点（地球）可以在三维空间中运动。通过该方法可以减少系统的自由度，方程数量也会随之减少，较容易求解。
1772年，拉格朗日在这种限制条件下找到五个特解，即著名的“拉格朗日点”，其中三个点（L1，L2，L3）是不稳定的，两个（L4，L5）是稳定的。
上世纪90年代，在美国休斯顿的美国国家航空航天局——NASA，做过一个很具体的有关围绕拉格朗日点运动的仿真。在太空中，如图所示，拉格朗日点L1在左侧，L2在右侧，月球在中间，“小行星”飞行器绕其旋转。他们希望将飞行器从L1轨道送到L2轨道，但燃料不足以支持。通过模拟仿真，他们寻找到一条路径，即混沌轨道，对初始条件很敏感，只要利用得好，通过其他星球间的吸引力，飞行器只消耗一点能量就能达成轨道转移的目的。在2011年，ARTEMIS计划的第一个探测器成功实践了这个仿真中得出的方法，只消耗很少燃料就实现了从L1轨道到L2轨道的转移。
现在回到三体问题。1887 年，瑞典国王奥斯卡对科学非常有兴趣，拿钱来奖励科学家做研究，看是否能解决N体问题，至少是三体问题。法国数学家庞加莱提交了一份报告。当年的评奖委员会成员包括国王奥斯卡、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，瑞典最好的数学家）和赫米特（Hermite）。庞加莱赢得了大奖。
庞加莱得奖后，按规则要将文章发表在瑞典的数学学报。出版社编辑在文章检查过程中，有个地方始终看不明白，于是就去询问作者。庞加莱在向他解释的过程中发现，有个关键的地方是错误的。
正是这个错误促使庞加莱转换了方向，从原来的定量分析，即一定要求出解析公式，改变为定性分析。比如说，如果我们能证明存在一条路径最终会收敛于某一目的地并且可以描述这个目的地的话，就无须苛求必须用公式将这条路径准确地表达出来。这思想在当时的科学研究领域是颠覆性的。
凭借这个想法，庞加莱修补了自己的文章并于两年后发表。重要的是，这套定性理论在后来成为了混沌理论研究的最重要的工具，因为好多解析公式都是写不出来的。后来发现，三体问题的运动过程很复杂，根源在于该系统对初始条件过于敏感。一点点误差，比如分析计算过程中的假设与现实有一点差别，就会导致最后的结果跟预想的完全不一样。
这个思想很早就已经存在。古希腊（公元前300年）就已经出现。后来用现代科学的语言表达得更有条理、更为清晰、更具逻辑性。在这个过程中，很多科学家都有贡献，包括麦克斯韦、阿达马等人，而庞加莱是最后做出归纳总结的人，以数学方式清楚说明了系统对初始条件的敏感性使得无法进行定量分析。
上世纪20年代，范德波尔（van der Pol）在研究真空管放大器的过程中，写下了一个振动微分方程。当时人们并没有混沌或是对初始条件敏感的概念。不过，当混沌理论有一定发展后，人们重新回顾这个方程时发现它其实是个混沌方程。当时，范德波尔在 Nature 杂志报告了基于这个微分方程的霓虹灯实验，发现当驱动信号具有某种自然频率时，会听到毫无规律的“噪音”。然而方程如下所示，其中并没有随机噪声项：
他当时不明白这种无规律的振荡从何而来，后来才被搞清楚是混沌波动。多年之后，英国数学家玛丽·卡特赖特和李特尔伍德继续研究范德波尔电路。他们发现参数的不适当选择会导致方程解的不稳定性，而且变得不可预测。这就是后来弄明白了的所谓的“蝴蝶效应”。
洛伦兹一生致力于长期天气预报。1961年的一天，他在校对天气预报数据时发现了一件令他十分疑惑的事。数据曲线如下图所示：
其中蓝色曲线是昨天预测的，红色是今天预测的。原本他是想比对预测的准确性。然而，把两曲线放在一起对比后他却发现，两条曲线一开始明明是重叠的，但随着时间增长却慢慢分开了，到后来变成完全不一样的两条轨迹。这令洛伦兹感到很意外。
面对同样数据的两次不同计算所得预测曲线展现出的奇怪分离现象，洛伦兹展开了细致的研究。他发现两次计算数据过程中，唯一的微小差别仅在于两个初始值之间千分之一级别的小数位数值差异。他弄清楚了，正是这微小的初始误差，随着反复迭代，酿成结果的巨大差异，体现出“系统对初始条件的高度敏感性”。
洛伦兹将他的发现写成一篇文章，结论表明：天气里有很多不明朗因素，一点波动就会引起很大的区别，所以长期天气预报是不可能的。这个结论科学家容易理解，老百姓却不甚明白。于是洛伦兹做了一个比喻：在南半球的巴西有一只蝴蝶扇动了一下翅膀，这是对大气很小的一个扰动，结果却会在北半球的美国德克萨斯州引起一场龙卷风。这就是后来广为人知的“蝴蝶效应”。其体现如下所示（红色与绿色曲线是两个初值很接近的点的运动轨迹）：
前文提到的庞加莱等科学家，他们有关于混沌的思想，但并没有数学公式或物理模型来展示。现代科学中，洛伦兹第一个写出了天气物理系统的数学公式，由三个代数多项式方程构成：
通过给三个参数a，b和c赋值，可以画出该公式描述的轨道，如上图所示。这个轨道具有三个特点——不发散、不收敛和非周期。
上述三个特点，导致洛伦兹系统的解轨道从许多初值的点出发都会陷入无休止的运动，而且这个运动并非周期性的，会绘制出结构复杂、状态繁多的轨道曲线。
后来知道，法国物理学家罗卡德（Y-A Rocard）在1941年出版过一本法文著作《振荡器理论》，其中已经有了一个稍微复杂些的混沌微分方程系统，但因是法文一直没有引起大家注意。
讲到严格混沌数学理论的诞生，则不得不提及混沌理论中斯梅尔的“马蹄理论”。作为对该理论的理解，想象有一块面团，把它压扁拉长再对折，使之成为马蹄状（如下左图所示），这个过程在数学上称作一个映射。重复刚才的步骤，会发现颜色排列变得越来越复杂，甚至不可想象的混乱。斯梅尔证明了，这样打乱了的数学点集合的最后结果是一个康托集。如下右图所示的三分集分形图形就是一个康托集。在马蹄映射的迭代中，端点处颜色的排列可以用来解释混沌理论：原本相隔很远两端的绿色点集合经过一次变换后会挨得比较接近。几次迭代后，得到十分混乱的颜色分布。逆映射则可以把相邻的两种颜色点分离得很远，也就是具有对初始条件的敏感性。
这个马蹄理论用数学映射对混沌理论进行了清晰的刻画，可做数学计算与证明，把混沌理论严格化和可操作化了。
接下来我们看离散混沌。离散与连续相对应，曲线是由一个个分立的点构成的。想象一下，有两个孩子在踢球，一个站在球场中央把球踢出去，另一个人围绕着球场把球踢回去。这球怎么蹦？它满足刚才提到的混沌轨道三个特点：1）由于一个孩子不让球滚出球场，因此球的运动不发散；2）两孩子踢球不止，因此球的运动不收敛；3）两个孩子踢球的时间周期不可能完全相同，因此球的运动非周期。球的这种“乱蹦”就能帮助理解离散混沌。
那么如何用规范的科学语言来描述这种离散混沌呢？这就不得不提到经典的Logistic映射，它是从生态系统得来的，是一个从差分迭代方程：
它表现出第（k+1）步的位置是基于第k步的位置得出的，由生态系统数学家罗伯特·梅（Robert M. May）加以精细的研究。他画出了这样一条变化复杂的曲线（如下所示）：
当方程中的参数α改变，该系统最后收敛的值以及值的个数也不尽相同，其关系如下图所示。其生成的分岔图还具有自相似特性。
与此同时，它还产生了费根鲍姆常数。在下图中，将初始到第一次分岔的长度记做L0，从第一次分岔到第二次分岔的长度记做L1，以此类推。
将其做比例，会发现比值约等于一个常数4.669，这就是费根鲍姆（M. Feigenbaum）常数，即：
和洛伦兹一样，罗伯特·梅为离散数学提供了一个很好的例子，但仍然缺少数学理论。而这一部分，是由李天岩和约克（J. A. Yorke）完成的。李天岩在美国马里兰大学读博士时，导师约克对他说，“周期三就意味着混沌”。钻研两周后，李天岩证明了约克的想法是正确的。这就是我们今天所说的李-约克定理。
定理分为两部分。第一部分说，从一个区间到另一个区间的映射如果是连续的，且有周期为3的解，那么它就会有周期为任意正整数的解，无论周期为1、2还是10000，等等；第二部分说，它的定义区间中存在无穷多初始点，从它们出发进行迭代，得到的序列不是严格周期的，也不趋于某个周期，这样的状态，他们称之为Chaos，也就是混沌。后来发现，李-约克定理的第一部分只是沙可夫斯基（O M Sharkovsky）定理的特例；但李-约克定理的第二部分是现代数学混沌理论的精髓。
混沌从物理和数学来到工程技术领域后，蔡氏混沌电路引起了很大注意。蔡少棠先生设计了一个电路，其中电容、电阻、电感都是线性的，只有一个电阻是非线性的。这样的电路还可以用来组成更复杂的电路，从示波器中观察会看到多涡卷混沌吸引子（如下图所示）。注意这并非很多个信号拼凑而来，而是由一根信号轨线不断绕转所生成。
利用蔡氏电路产生连续混沌信号，对其采样，然后进行模拟加工，并用处理过的信号来推动马达转动，会发现产生的转动是不均匀且没有规则的。如果用来作搅拌的话，流体的位置和快慢都不均匀。这样的混沌搅拌往往比均匀转速的常规搅拌效果更好，能将溶液拌得更加均匀。然而受制于材料物性和机械加工等问题，乱转会使得马达寿命缩短，这种搅拌器还未能投入到市场。
除此之外，将上述方法应用到花园的旋转喷水器上，使其混沌地喷水，速度、方向和流量都处于无规则状态，可以缩短喷水时间并将水喷洒得更加均匀。
目前混沌理论的思想技术往机械应用方面发展，还需要一些时间来克服成本问题，但大家都看到其前景广阔。
在脑科学领域，混沌理论也派上了用场。大脑里存在非常复杂的动力学行为。医生测脑电图时的EEG信号大多很紊乱，是一个混沌信号，不发散，不收敛，非周期。而这样的混沌信号常常是健康的。当它开始发散，可能意味着精神疾病；若是过于稳定，那是心脏停止跳动了；如果具有周期，那今天所想与昨天所想就一模一样了，显然不可能也不是一件好事。
混沌理论在计算机科学中最广泛的应用就是信息加密。例如，将一幅书法用Logistic映射迭代，由于色块被打得很细很乱，加工过的图形根本看不出是什么，无法看出原图的样子。
当我们进行加密操作，由于每一步的迭代方程或函数自己是清楚的，因此可以逆向恢复。但是，别人并不知道我们是如何加工的。根据混沌对初始条件的敏感依赖性，在恢复过程中只要任何一个地方例如密码或参数有一点点差别，就只能得到另一幅混乱的图片，而不能窥探到原本的图像。
混沌运动还可以放大到宇宙中。天文学家有许多报告，说能观测到的天体运行都是混沌的，也就是不发散、不收敛、非严格周期。例如地球上计算时间，每年都有“闰秒”的调整。霍金曾在 arXiv 发表过一篇文章，讲黑洞的形成是一个经典意义下的混沌过程。可见，混沌背后还藏着很多学问亟待探索与发现。
最初人们只是隐隐约约感觉到，一个小小的误差，也许会对未来产生很大的影响。正如约公元前210年中国《礼记 · 经解》中所说：“差若毫厘，谬以千里”；又如亚里士多德那句“对真实性极小的初始偏离，往后会被成千地放大”。这个思想在探索和认知物质世界的过程中被不断逻辑化，直到庞加莱将其归纳为“初始条件的微小误差在最后结果中产生极大差别的情况可能发生……于是预测变为不可能，从而我们就看到了许多偶然现象”。经过一个曲折漫长的过程，混沌理论的种子在不知不觉中被哲学家和科学家们埋下。
随着科学发展，混沌的深刻意义和广泛影响渐渐引起人们的注意。由于确定性方程中非线性项的存在而引发的系统随机状态，勾起越来越多人的好奇心，进行了很多探究。直到洛伦兹在研究天气系统的过程中，给出了一个明确的方程式模型来描述混沌。他的“对初始条件敏感性”，或称“蝴蝶效应”走进了大众视野。这个现象终于开始让人们尝试去进行理论分析，最终由梅尔斯的“马蹄映射”将其做了数学意义上的严格证明。
继连续混沌之后，离散混沌也开始逐渐被人探索，其过程与连续混沌形式不同但本质一样。Logistic映射给了离散混沌一个很具体的例子。这个模型最终在李-约克定理的解释下，产生Chaos一词，混沌理论终于进化成一门独立的学问。
混沌理论由一种思想，经过模型实现后又经由数学的证明与完善，最终成为一套较为完备的理论体系，并进入多个不同学科领域，如工程技术和计算机科学，为实践与应用提供指导。而我们稍加注意后也越来越发现，混沌在我们生活中其实无处不在。
当然，对于混沌的探索还远远没有结束，我们周边的世界充满奥秘的事物似乎都与混沌有所关联。未来它还会带来怎样的惊喜？我们拭目以待。最好的认知和学习方式，当然就是参与其中！
陈关荣教授1981年获广州中山大学计算数学硕士学位，1987年获美国Texas A&M 大学应用数学博士学位，其后在美国Rice和Houston大学任教。自2000年起，他接受香港城市大学讲座教授职位工作至今，在该校成立了“复杂性与复杂网络”学术研究中心并任主任。陈关荣教授长期从事非线性科学研究，多年来被评定为工程学高被引研究人员，现任“分叉与混沌”国际学术杂志主编。他于1997年被选为IEEE Fellow，于2008、2012、2016年获国家自然科学二等奖，2011年获俄罗斯圣彼得堡国立大学授予荣誉博士学位和俄罗斯欧拉基金会颁发欧拉金质奖章，2014年获法国诺曼底大学授予荣誉博士学位，并于2014年当选为欧洲科学院院士、2015年当选为发展中国家科学院院士。
个人主页：http://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/brief.html
21世纪是复杂性的世纪，理解混沌是探索复杂性的关键环节。在科学、工程中，混沌与非线性方法已经成为研究动态系统的主要手段，加深了对气候、生态、大脑、流行病等诸多复杂系统问题的理解，并在湍流、加密、数据分析以及生命科学中有广泛应用。在社会、商业领域，混沌理论在通讯、交通、金融市场、疾病与信息传播等问题中亦有诸多启发和应用。随着混沌现象的进一步系统研究和广泛应用，它正在从一套理论发展为一门科学。
集智学园特别策划混沌科学系列课程，带领学员走近混沌理论，理解各类混沌系统，并尝试跨学科应用。课程邀请9位从事混沌及相关跨学科研究的资深学者担任导师，导师团队由著名混沌理论学者、香港城市大学讲席教授、欧洲科学院院士陈关荣领衔。课程自2022年12月9日起，每周五晚在线授课，学员群答疑交流。更有导师们梳理好的系列资料推荐。加入课程请扫海报中的二维码。
让我们一起进入混沌世界，探索不确定系统中的确定性规律！
