导语

从人类世进入城市世，城市的发展还在持续加速。被潮流推进的我们又如何窥测城市生长的节奏，以达到自身的“指数”发展？这篇文章是对Luís M. A. Bettencourt等和Geoffrey B. West 在2007于PNAS发表的《Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities》的论文解读。

在 Kleiber 发现生物异速生长的 3/4 标度率后，Geoffery West 等人将其推广到27个数量级的生物尺度，即横跨这些尺度的生物体的新陈代谢率 Y 和体重 M 的 3/4 次幂呈正比 ①：

随后在2007年，Luís Bettencourt 和 Geoffrey West 等人又一起开展了对城市增长标度的研究。

这个研究的背景意义在于，人类早已成为了高度社会化的物种，而集中了其中大多数人口的城市，不仅是社会创新、财富创造的主要来源，也是犯罪、污染和疾病的主要来源。

尤其是，城市的发展还在持续加速，Geoffrey West 认为人类已经从「人类世」进入「城市世」。而城市的发展又表现出类似生物的特点，因此下面提出的这个问题对人类就至关重要了——

城市的发展有没有生物生长的标度规律？

城市的三种标度

如果将城市和生物进行类比，就会发现，城市中的人口类似于生物体中的细胞。而城市的基础物质资源（如基础设施）和社会活动总量（如财富创造和创新）类似于生物的新陈代谢总量。

设在时间 t 城市人口数量为，物质资源和活动总量为Y（初始为)，则有方程 (1)

对专利、总工资、GDP、总住房面积、加油站等计算标度指数，发现普遍存在着近似幂律的标度，不过并没有类似于生物学中观察到的普遍的四分之一率。各个指标和人口之间的异速生长关系如下：

但可以发现，所有指标都可以分为β>1,β=1,β<1三组，如

工资总额（Total Wages)，β=1.12

专业人才（Supercreative），β=1.15

总住房数（Total housing），β=1
道路表面（Road surface），β=0.83

以上三组不同标度可以划分为三种不同类型的城市指标：

由此，我们可以看到，城市的新的特性就在于比生物多增加了超线性增长，即基于人们之间社会互动创造的部分。

城市增长方程

考虑到城市增长特性，会发现物理基础设施（代表基础设施网络）和社会经济活动（代表创新和财富创造）是两个决定因素，其中前者负责效率优化，后者负责财富创造。

二者之和的总资源 Y，对于生活在城市中的人们，也可以分为两块：用于维持的部分，和用于创造的部分。

因此平均来说，设每单位时间需要一个资源数量 R 来维持一个个体，并且需要一个资源数量 E 来增加一个新的个体人口，则对总人口 N(t），资源总量 Y 为：

和上面方程（1）联立，

可得

这是一个 n 阶非线性常微分方程（伯努利方程），

令则化为一阶线性方程

根据一阶线性方程

求解公式，

最后得

三种指数

我们对方程（2）及解（3）的进行分析

β < 1，基础设施

当 β < 1 时，对方程（3），随着 t 时间增大，中间部分趋于 0，故有，t → ∞ ：

此时时间 t 和人口规模关系如下图，我们可以看到，这是一条类似生物增长的 S 曲线。

在这种情况下，城市的增长和生物也类似，是通过自身的基础设施规模驱动，如果没有社会创新，这种增长在一定时间后即开始停止，宛如生物体的老化死亡。

但是同时，规模经济优越在于，人口规模每增加一倍，城市只需要增加 85%的物质基础设施，而不是翻番。即人口每增长一倍都会带来 15%的系统性节余，这种物质基础设施的效率优化，是城市变得越来越大的一个重要原因。

β = 1，个体需求

当 β = 1时，带入（1），发现这是一个一阶线性常微分方程

求解可得

此时时间 t 和人口规模关系是一条指数增长曲线。可以看到随时时间增长，个人需求也呈现指数级增长。这种需求增长仅仅靠亚线性增长的基础规模经济是无法满足的。

β > 1，财富创新

当 β > 1 时，人口增长会有两种增长情况。以奇点值 S 为分界线

当 N(0）< S 时，有限时间奇点

由财富创新驱动的人口呈超指增长，在有限时间 tc 内很快达到奇点

当 N(0）> S 时，人口过载崩溃

此时由于由于人口达到奇点，城市物质资源迅速稀缺，因此城市发展立刻开始崩溃

三种城市指标影响

由此我们看到，要满足个人指数级增长的需求，必须对亚线性增长的基础规模经济，和超指数增长的社会经济活动同时有恰当的干预。

遵循这一简单数学法则的重要相互关系可以表现为一种优雅的普遍形式：基础设施和能量使用的亚线性恰巧与社会经济活动的超线性相反。

因此，按照相同的15%法则，城市越大，每个人的收入、创造、创新和互动越多，每个人所经历的犯罪、疾病、娱乐和机遇也越多，而所有这一切都要求每个人使用的基础设施和能量却越少。——《规模》

在《规模》经过统计，超线性和亚线性的标度的差偏离线性恰好是15%左右，即 β = 1.15 和 β = 0.85 ，从而使城市恰好维持满足人口需求的平衡（在论文中分别是β = 1.2 和 β = 0.8）。

创新循环

我们可以看到，在 N(0） < S 时，人口会在有限时间内增至奇点。要避免城市迅速走向崩溃，就必须在达到奇点前进行干预，以超指数增长的创新活动驱动，这样新增加物质资源以满足现有城市需求。

然而，因为新增加的资源，随后也会导致人口以超指数增长，使得 N(0）i > S。所以，每一次创新，都只是将崩溃推后，而不是彻底解决，并且以后必须不断进行创新活动将崩溃不断推后。

这就是人类社会城市发展的创新循环：