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今天分享复杂性科学领域里面一个非常本质的理论：混沌理论。本文将介绍混沌理论的基本概念，相关概念，著名学者，一些学习资源推介，供大家深入学习。

一、什么是混沌理论？

二、混沌理论的相关概念

三、混沌理论的几个典型示例

四、相关资源推荐

五、集智百科词条志愿者招募

1、什么是混沌理论？

“南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀，就可能会在佛罗里达引起一场飓风。”想必大家对这样一句话都不陌生，这里描述的就是一种典型的混沌现象：蝴蝶效应。

混沌是一个由非线性效应引起的一个相当独特的现象，具有对初值的敏感性、无周期性、长期不可预测性以及分形性和普适性等特点。混沌理论则是研究这一类典型现象的理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。

2.混沌的重要概念

混沌边缘（Edge of chaos）

混沌边缘（Edge of chaos）是一个用来形容由计算机科学家克里斯托弗·朗顿发现的现象。最开始该现象被用来描述一个变量λ的一段取值范围，该变量是作为细胞自动机的一个参数。当λ变化，细胞自动机的行为会产生相变。克里斯托弗·朗顿（Christopher Langton)发现λ的某一小段取值可以使细胞自动机具有通用计算的能力。根据λ的连续变化能够得到四种细胞自动机之间的过渡转化图景即：固定点->周期->复杂->混沌，因此我们说，复杂的结构诞生于混沌的边缘。

点击官网链接体验不同阈值下的混沌边缘状态

http://math.hws.edu/eck/js/edge-of-chaos/CA.html

吸引子（Attractor）

吸引子（Attractor）是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子。例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态，例如洛伦兹吸引子（Lorenz oscillator）。

图1：二维相空间中的点吸引子

非线性系统（Nonlinear System）

非线性就是和线性相对，线性是指成比例，而非线性则指输入和输出不成比例，比如抛物线就是非线性的。在复杂系统中，非线性是最重要的特性之一。

在物理科学中，如果描述某个系统的方程其输入（自变数）与输出（应变数）不成正比，则称为非线性系统。自然界中大部分的系统本质上都是非线性的，非线性系统和线性系统最大的差别在于，非线性系统可能会导致混沌、不可预测，或是不直观的结果，混沌来源于非线性。

费根鲍姆常数（Feigenbaum Constants）

费根鲍姆常数（Feigenbaum Constants）是新近发现的、且在学术界认定的一个普适常数，这个常数与“混沌现象”有关。

1975年，费根鲍姆用HP-65计算器计算，发现倍周期分岔（period-doubling bifurcations）发生时的参数之间的差率是一个常数，并且还进一步揭示了该常数广泛适用于数学领域，这个普适的结论让数学家们能够在对表像不可捉摸的混沌系统的解密道路上迈出了第一步。为了纪念这个突出的贡献，人们通常称这个“极限率”（ratio of convergence）为费根鲍姆常数。

图2：费根鲍姆常数图例

逻辑斯谛克映射（Logistic Map）

逻辑斯谛克映射（Logistic Map）是研究动力系统、混沌、分形等复杂系统行为的一个经典模型。逻辑斯谛克映射又叫逻辑斯谛克迭代，其实就是一个时间离散的动力系统，按照如下方程进行反复迭代：

该模型可以用来模拟生物种群的生长行为，其中x(t)可以解释为在t时刻种群占最大可能种群规模的比例。当μ超过一定的阈值时，就会发生混沌现象。

关于逻辑斯谛克迭代的起源和推导过程，以及逻辑斯谛克迭代和混沌的关系，张江老师的在复杂性思维第二课中有详细的介绍。

复杂性思维：从混沌开始

https://campus.swarma.org/play/coursedetail?id=11137

3.混沌理论的几个典型示例

蝴蝶效应（Butterfly effect）

蝴蝶效应（Butterfly effect）是指对初值敏感的一类混沌现象。1961年美国气象学家爱德华·洛伦兹在模拟大气中空气流动的数学模型，在进行第二次计算时，直接输入前一次模拟结果的数据，却与第一次完全不同，检查后发现是因为受限于计算机的精度，导致二次输入数值的精确位数不同，后来他对这一现象做了缜密的推理研究，发表的“确定性非周期流”一文，揭示了混沌的初值敏感特性。

三体问题（Three-body Problem）

三体问题（Three-body Problem）是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。

1887年，瑞典国王奥斯卡二世为了祝贺自己的60岁寿诞赞助了一项竞赛，征求太阳系的稳定性问题的解答（三体问题的变式）。法国数学家庞加莱指出三体问题不能精确求解，成了第一个发现混沌确定系统的人，并为现代的混沌理论打下了基础。

图3：三体问题示例

3. 知名学者简介

詹姆士·约克 James A. Yorke

图4：詹姆士·约克 James A. Yorke

马里兰大学物理科技所数学与物理学杰出校聘教授，美国数学家和理论物理学家，马里兰大学学院市分校数学和物理和数学系前任系主任。在1975年与李天岩一同发表的一篇题为《周期三则混沌》（Period Three Implies Chaos）论文中创造了混沌这个数学术语。

米切尔·费根鲍姆 Mitchell J. Feigenbaum

图5：米切尔·费根鲍姆 Mitchell J. Feigenbaum

美国数学物理学家，康奈尔大学教授，洛克菲勒大学教授，混沌理论的先驱，费根鲍姆常数的发现者，1975年8月，他就是拿着计算器而发现一个和混沌、单峰映象的周期点有关的数，即后来的费根鲍姆常数，之后发现了分析在地图学的应用。

爱德华·诺顿·洛伦兹 Edward Norton Lorenz

图6：爱德华·诺顿·洛伦兹 Edward Norton Lorenz

美国数学与气象学家。混沌理论之父，蝴蝶效应的发现者。1963年获美国气象学会迈辛格奖。

李天岩 Tien-Yien Li

图7：李天岩 Tien-Yien Li

生于中国福建省的美籍数学家，密歇根州立大学杰出数学教授。1974年在马里兰大学取得博士学位，他和詹姆士·约克合写的论文《周期三则混沌》（Period Three Implies Chaos），是混沌动力系统的重要论文。这个研究结果是沙可夫斯基定理（Sharkovskii’s theorem）的特殊情况。

陈关荣 Guanrong Chen

图8：陈关荣 Guanrong Chen

香港城市大学教授，国内外多所知名大学客座教授。在混沌控制及分岔理论分析与应用方面做出奠基性贡献而被选为国际电子工程学会(IEEE) Fellow。

5.相关资源推荐

书籍：

混沌与分形：简介

Chaos and Fractals: An Elementary Introduction

这本书为读者提供了对混沌和分形的基本介绍，适合没有学习微积分或物理学但具有初等代数背景的学生。此书通过简单迭代函数介绍了混沌的重要现象——非周期性、对初始条件的敏感依赖性、分岔现象。本书还阐释了二维动力系统，奇异吸引子，元胞自动机，和混沌微分方程等概念。

混沌与分形：简介

Chaos and Fractals: An Elementary Introduction

http://rrd.me/gr3Cq

混沌与分形 Chaos and Fractals

这本书的十四个章节涵盖了混沌和分形的中心思想和概念，以及许多相关的主题如：分形与自相似、分形的维数与测度、细胞元自动机与吸引子、分形构造中的随机性、确定性混沌、灵敏度、混合与周期点、有序与混沌、奇异吸引子等，重点介绍了分形与混沌的物理意义、两者之间的关系、与数学的其它方面以及自然现象的联系。

混沌与分形 Chaos and Fractals

http://rrd.me/gr3Jn

混沌与时间序列分析

Chaos and Time-series Analysis

此书介绍混沌的发展和非线性动力学的有关主题内容，包括检测和实验数据中的混沌量化，分形和复杂系统。涉及非线性动力学中绝大多数重要的基本概念，重点阐述了物理概念和效用结果，而不是在数学上进行证明和推导。

混沌与时间序列分析

Chaos and Time-series Analysis

http://rrd.me/gr3KC

混沌：创造新的科学

Chaos: Making a new science

本书并没有尝试去解释Julia集合、洛伦兹吸引子和庞大复杂的Mandelbort集合，而是依靠草图、照片和作者精彩的描述性散文来构成了整本书的内容。在本书中读者会遇到许多非凡而又古灵精怪的人。例如，米切尔·费根鲍姆 Mitchell J. Feigenbaum，他用一个26小时的时钟构建和调整自己的生活，并且观察他醒着的时间与他在洛斯阿拉莫斯国家实验室的同事的时间是否相同。

混沌：创造新的科学

Chaos: Making a new science

http://rrd.me/gr3L7

涌现：从混沌到有序

Emergence: From Chaos to Order

本书作者约翰·霍兰德（John H. Holland）是当今最具有创新意识的思想家之一，在本书中，作者比较了显示涌现现象的不同系统和模型，展现了它们之间共同的规则或规律，讲述了从“蕴含着规范、能够生成像巨大的红杉和普通的雏菊那样复杂而独特结构”的微小种子，到能够通过自学习在西洋跳棋游戏中让设计者一败涂地的计算机；从能够修建桥梁、跨越深沟和驾驭树叶之舟在溪流上航行的蚁群，到诗人充满感情的创作等涌现现象的具体表现。